Spezielle Verteilungen: Difference between revisions
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Vergleiche Kapitel 1.3 | Vergleiche Kapitel 1.3 | ||
mit | mit <math>\beta =\beta \left( U \right)</math> wegen <math>U=\frac{tr\left( H{{e}^{-\beta H}} \right)}{tr\left( {{e}^{-\beta H}} \right)}</math> und <math>\frac{\partial \Psi }{\partial \beta }=U</math> folgt: | ||
<math>\beta =\beta \left( U \right)</math> | |||
wegen | |||
und <math>\frac{\partial \Psi }{\partial \beta }=U</math> | |||
folgt: | |||
:<math>\begin{align} | |||
& dS(U)=\frac{1}{T}dU \\ | & dS(U)=\frac{1}{T}dU \\ | ||
& \Rightarrow \frac{\partial S}{\partial U}=\frac{1}{T} \\ | & \Rightarrow \frac{\partial S}{\partial U}=\frac{1}{T} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Merke: | Merke: | ||
<math>I(U)</math> | <math>I(U)</math> ist Legendre- Transformierte von <math>\Psi \left( \beta \right)</math> | ||
ist Legendre- Transformierte von <math>\Psi \left( \beta \right)</math> | |||
Energie <math>U(S)=TS+kT\Psi \left( \beta \right)</math> | Energie <math>U(S)=TS+kT\Psi \left( \beta \right)</math> | ||
Legendre- Transformation von <math>U(S)</math> | Legendre- Transformation von <math>U(S)</math> mit <math>dU(S)=TdS\Rightarrow \frac{\partial U}{\partial S}=T</math> | ||
mit <math>dU(S)=TdS\Rightarrow \frac{\partial U}{\partial S}=T</math> | |||
* Energieform | * Energieform | ||
<math>F(T)=U-TS=kT\Psi \left( \beta \right)=-kT\ln \left( tr\left( {{e}^{-\beta H}} \right) \right)=-kT\ln Z</math> | <math>F(T)=U-TS=kT\Psi \left( \beta \right)=-kT\ln \left( tr\left( {{e}^{-\beta H}} \right) \right)=-kT\ln Z</math> | ||
Freie Energie oder auch Helmholtzsche Energie | {{FB|Freie Energie}} oder auch Helmholtzsche Energie | ||
==Druck - Ensemble== | ==Druck - Ensemble== |
Revision as of 20:35, 11 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Spezielle Verteilungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 5) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=5}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__
Durch Angabe eines Satzes der oder des Satzes der intensiven Parameter ist die Verteilung vollständig festgelegt.
Letztere sind die Lagrange- Parameter, die durch die Art des Kontaktes mit der Umgebung ( "großes" reservoir oder Bad, dessen intensive Variable sich nicht durch den Kontakt ändert), bestimmt:
kanonische Verteilung
Vergleiche Kapitel 1.3
Merke:
ist Legendre- Transformierte von
Legendre- Transformation von mit
- Energieform
Freie Energie{{#set:Fachbegriff=Freie Energie|Index=Freie Energie}} oder auch Helmholtzsche Energie
Druck - Ensemble
Wärmekontakt + mechanischer Arbeitskontakt
Entropie
Gibbsche Fundamnetalgleichung
Energie
Legendre- Transformation bezüglich
Gibbsche Freie Energie
Magnetfeld - Ensemble
Wärmeaustausch+ Magnetisierungsarbeit:
Mit der magnetischen Induktion
.
Gibbsche Fundmanetalgleichung
Entropie:
- Energie
Legendre- Transformation bezüglich
Gibbsche Freie Energie
Großkanonische Verteilung
.
als chemisches Potenzial der Species .
großkanonische Verteilung:
hängt parametrisch von V (FEST) ab
mit der großkanonischen Zustandssumme
Also:
Gibbsche Fundamentalgleichung für dV=0
mit
Definition des chemischen Potenzials !!
Also gilt für die innere Energie:
Vergleich mit der phänomenologischen Relation des Energiesatzes:
ergibt:
Experiment:
2 Gefäße sind miteinander verbunden, tragen die Teilchenzahlen
Vor Einstellung des Gleichgewichts gilt:
( Die Teilchen können nur von dem einen Gefäß ins andere)
folgt aus
Also: Der Teilchenstrom erfolgt vom höheren z.B.
abgelitten aus der Gibbschen Fundamentalrelation:
Mikrokanonische Verteilung
Alle extensiven Größen sind scharf, also keine Zufallsgrößen. SOndern: feste Parameter der Verteilung:
Volumen V
Teilchenzahl N
Die Messung des Hamiltonoperators ergibt eine Energie im Rahmen der Messunschärfe. Alle Größen sind festgelegt heisst: Es gibt kein Ensemble, das einen statistischen Mittelwert bildet, sondern: Die Energie ist so genau, wie die Energie eines Teilchens, nämlich an die Unschärfe gebunden !
Physikalisch:
Dünne Energieschale im Phasenraum, z.B.
( Kugelschale)
Nebenbemerkung:
( scharfe Energiefläche)
ist die Normierung der Wahrscheinlichkeit
zu erfüllen, da
Vorurteilsfreie Schätzung
charakteristische Funktion !
Mit der Normierung
Dabei ist also
eingeschlossene Phasenraumvolumen !
Entropie:
In Übereinstimmung mit der allgemeinen Formel:
für
Große Systeme:
Raum
Raum.
Kleine Änderung:
Also:
, selbst bei winzigen Änderungen von U !
Also: In hochdimensionalen Räumen ist das Volumen praktisch an der Oberfläche einer Kugel lokalisiert !
Definition der Temperatur:
Die Änderung der Entropie über der inneren Energie ist gerade das Inverse der Temperatur !!