Prüfungsfragen:Statistische Physik

Warum betreibt man statistische Physik

• Beschreibung von Vielteilchensystemen --> viele Freiheitsgrade-->unmöglich Lösung anzugeben
• Mangel an Informationen --> Mangel an Fragen

Ziel Gesetzte für makroskopische/mikroskopische Systemvariablen unter Einfluss externer Felder finden Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Quantenmechanischen Zustände ${\mathrm{\Psi }}_i$ )

BILD $G_{\nu }$ als Funktion von ${\lambda }_{\nu },h_{\alpha }$ auffassen

Was sind die Konzepte der statistischen Physik

-Konzept zur Mittelung von Vielteilchensystemen.

Shannon Information: Maß für Informationsgehelt von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Entropie: Maß des Nichtwissens-

Shannon Information

Shannon Information $I\left[p_{\alpha }\right]:=\sum _{\alpha }{p}_{\alpha }\ln p_{\alpha }$

Minimierung der Shannon-Information

Schöll S21 $\lambda =-(\mathrm{\Psi }+1)$ Variation unter NB $\sum _{\alpha }{p}_{\alpha }=1$ ist eine Observable Annahme N_m andere Observable

D[x Log[x], x]=Log[x]+1

$0=\sum _{\alpha }\delta p_{\alpha }(\ln p_{\alpha }+1+\sum _{n=1}^{N_M}{\lambda }_n{A}_{\alpha }^n)$

$p_{\alpha }=exp(\mathrm{\Psi }-{\lambda }_n{A}_{\alpha }^n)$

$\mathrm{\Psi }=-1-{\lambda }_0$

verallgmeinerte kanonische Verteilung

?Volumenabhängigkeit

Entropie

Über negative Shannon Info *k $S:=-kI\left[p_{\alpha }\right]=-k\sum _{\alpha }{p}_{\alpha }\ln p_{\alpha }$

Über Dichtematrix/operator $S:=-k⟨\ln \rho ⟩=-k\mathrm{Tr}(\ln \rho ⟩=-k\sum _{\alpha }{p}_{\alpha }\ln p_{\alpha }$

Minimum bei reinen Zuständen? $S(\rho )\ge 0$

TD $dS=\frac{dQ}{T}$

Dichteoperator f kanonisches Ensemble

$\rho =\sum _{a}lpha{p}_{\alpha }ketbra\alpha \alpha$

\alpha Eigenstate

$p_{\alpha }=\frac{1}{Z}exp(-\beta {ϵ}_{\alpha })$

Z Zustandssumme

Bose-Verteilung

$⟨n(E)⟩=\frac{1}{e^{\beta (E-\mu )}-1}$,$\beta =\frac{1}{kT}$

Bei Photonen µ=0

hohe Temperatur ?

Kurve schneidet Y nicht

File:Bose-einstein-fermi-dirac.png

Fermi-Verteilung

$⟨n(E)⟩=\frac{1}{e^{\beta (E-\mu )}+1}$,$\beta =\frac{1}{kT}$ T=0 Fermi Energie µ->E_f bei T=0 und als Fermienergie bezeichnet Bild:Fermi_dirac_distr.svg

Boltzmann-Verteilung

$⟨n(E_i)⟩=\frac{1}{e^{\beta (E_i-\mu )}}$ Schneidet bei 1 ideales Gas (kein eWW)

Chemisches Potential? klassischer Grenzfall geringe Teilchendichte, hohe Temperatur

Wärmekapazität

Speicherfähigkeit der thermischen Energie pro Temperaturänderung

   C_X= \left.\frac{\delta Q}{\mathrm{d} T}\right|_X 

?Elektronen ?Photonen ?klassisch

GKSO

gerneralisierter kanonischer statistischer Operator ?Zustandssumme

Zustandssumme

kanonische Verteilung $Z=e^{\psi }=e^{1+{\lambda }_0}=\sum _{a}lpha{e}^{-{\lambda }_n{A}_{\alpha }^n}$

$\begin{array}{rl}{Z}_k(N,V,T)& =\sum _i{\mathrm{e}}^{-\beta E_i}.\\ Z_{gk}(\mu ,V,T)& =\sum _i{\mathrm{e}}^{-\beta (E_i-\mu N_i)}\\ Z_{\mathrm{m}}(U,N,V)& =\sum _{E_{\psi }(N,V)\le U}1\\ Z_{\mathrm{m}}(U,N,V)& =\underset{H(p,q,N,V)\le U}{\int }\frac{d^{3N}p{d}^{3N}q}{h^{3N}N!}\end{array}$

Wie kann man Potentiale berechnen?

$\begin{array}{rl}S(N,V,E)& =k_{\mathrm{B}}\log Z_m(N,V,E)\\ F(N,V,T)& =-k_{\mathrm{B}}T\log Z_k(N,V,T)\\ \mathrm{\Omega }(\mu ,V,T)& =-k_{\mathrm{B}}T\log Z_g(\mu ,V,T)\end{array}$

[1]

Zustandsgleichung

Wie erhält man sie

Zustandsdichte

Die Zustandsdichte D(E) bzw. D(ω) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls [E,E + dE] bzw. [ω,ω + dω] existieren. $D(E)=2\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}E}\left(\frac{N(E)}{V}\right)\text{mit}V=L_{\mathrm{x}}\cdot L_{\mathrm{y}}\cdot L_{\mathrm{z}}.$ [2]

Enthalpie

$H:=U+pV:=U(S,V,N)-{\frac{\partial U}{\partial V}}_{S,N}V$ $dH=TdS+Vdp+\mu dN$ dU: änderung der inneren Energie d(pV) Änderung der Volumenarbeit

Freie Energie

Von Variablen Volumen Temperatur und Teilchenzahl abhängig Zusammenhang mit Zustandssumme $F(T,V,N)-kT\ln Z_k$

also dem kanonischen Ensemble zugeordnet thermodynamisches Potential

• partielle Ableitung?

Großkanonisches Potential

[3]

$\mathrm{\Omega }:=F-\mu N=U-TS-\mu N$

   dΩ = − SdT − Ndμ − pdV 

Ω = − pV.

thermische Wellenlänge

f ideales Gas $\lambda =\frac{h}{\sqrt{2\pi mhT}},E=\pi hT$?

Temperatur

$T^{-1}=\frac{\partial S}{\partial E}$

mikroskopisches Ensemble

chemisches Potential

-Einschränkung: Bosegas nur kleiner 0 Zulässig

Ensemble Theorie

Liste: mikrokanonisch N,V,E kanonisch NTV -->F großkanonisch µ V T \Omeaga (kanonisch harmonisch) N P T

Skizzen

Plancksche Strahlungsformel

-herleitung

Potentialtopf

${ϵ}_n=\frac{{\hslash }^2{\pi }^2}{2m{L}^2}$

${\phi }_n\left(\overrightarrow{r}\right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n_x\pi }{L}x\right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n_y\pi }{L}y\right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n_z\pi }{L}z\right)$mit

${\sum }_k\triangleq {\left(\frac{L}{2\pi }\right)}^3\int d^{\text{3}}k$

$\begin{array}{rl}& {\phi }_{\overrightarrow{k}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{e}^{i\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}},k_i=\frac{2\pi }{L}{m}_i,m_i\in \mathbb{\mathbb{Z}}\\ & \overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}=\sum _i{k}_i{x}_i\\ \end{array}$

Quantentheoretischer_Zugang

Druck

$p=\frac{\partial F}{\partial V}$

kanonisches Ensemble

Dichteoperator \rho=Z^{-1} e^{-\beta H} N,V Fest $\mu =\frac{1}{\beta }{\partial }_{N}lnZ$ Energieeigenmwerte \epsilon_r $Z=\sum _{r}exp(-\beta {ϵ}_r)$