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| Übergangswahrscheinlichkeitsamplituden von <math>\left| n \right\rangle \to \left| m \right\rangle </math> | | Übergangswahrscheinlichkeitsamplituden von <math>\left| n \right\rangle \to \left| m \right\rangle </math> |
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| Was man braucht um <math>\left\langle {{O}_{s}} \right\rangle </math> zu berechnen sind <math>\rho_{nm}(t)</math> , für <math>m=n</math> und auch für <math>n\neq m</math>. | | Was man braucht um <math>\left\langle {{O}_{s}} \right\rangle </math> zu berechnen sind <math>\rho_{nm}(t)</math>, für <math>m=n</math> und auch für <math>n\neq m</math>. |
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| Gleichungen dafür sind Dichtematrixgleichungen: | | Gleichungen dafür sind Dichtematrixgleichungen: |
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr
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Der Artikel Dynamik des statistischen Operators basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. A. Knorr|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=2}}
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Suche eine Gleichung für
![{\displaystyle \rho \left(t\right)=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d788b098f45000dae7cdad4cf3dc9961c85e0544)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho \left(t\right)=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\\&{\text{S}}{\text{.GL:}}i\hbar {{\partial }_{t}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle =H\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \quad |\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\\&{\text{h}}{\text{.c}}:-i\hbar {{\partial }_{t}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|=\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|H\quad |\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\\&\Rightarrow i\hbar {{\partial }_{t}}\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle =\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left(H\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|-\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|H\right)}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c84278590e4e0a6f6cf544da3381c3f09df5ab0)
{{#set:Definition=von Neimanngleichung|Index=von Neimanngleichung}}
![{\displaystyle {\text{H}}={{\text{H}}_{s}}+H_{S}^{\alpha }\left(t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec1b3adb6c378ec3f0e19b66be595533d962d782)
wirkt nur im System!
oder
![{\displaystyle i\hbar {{\partial }_{t}}\operatorname {Tr} \left(\rho {{O}_{s}}\right)=\operatorname {Tr} \left(\left[H,\rho \right]{{O}_{s}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/005a2483f70a1b0dba2ed2569690831c2b4fbe35)
erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung
aber Vorsicht ist keine: sind Schrödingerbild und 1 anderes Vorzeichen
Die von Neumanngleichung tritt an die Stelle der Schrödingergleichung in der statistischen Physik. (Bedeutungsgesmäß)
Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente[edit | edit source]
(kann ich damit etwas) anfangen?
Interpreation der Dichtematrixelmente[edit | edit source]
![{\displaystyle {{p}_{n}}=\operatorname {Tr} \left(\rho \left|n\right\rangle \left\langle n\right|\right)={{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d542dc17e6000e9050e9533bc89d32b8bb9bd300)
Wahrschienlichkeit System im Eigenzustand
, von z.B
zu finden
![{\displaystyle {{p}_{nm}}=\operatorname {Tr} \left(\rho \left|n\right\rangle \left\langle m\right|\right)={{\rho }_{nm}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ac72a7410872390003dc63626a6caa725d3f55)
Übergangswahrscheinlichkeitsamplituden von
Was man braucht um
zu berechnen sind
, für
und auch für
.
Gleichungen dafür sind Dichtematrixgleichungen:
aus von Neumanngleichung
![{\displaystyle i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[H,\rho \right]\to {{\dot {\rho }}_{nn}},{{\dot {\rho }}_{nm}}=?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e05705a70e8addcfbd423c83d3cd493e37ab94)
![{\displaystyle \left\langle n\right|\ldots \left|n\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4843f71acc706b73c73cdcab7d69bd2a0c03fc7c)
also
![{\displaystyle {\begin{aligned}&i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left(t\right)=\left\langle n\right|\left[H,\rho \right]\left|n\right\rangle \\&=\sum \limits _{m}{\left(\left\langle n\right|H\left|m\right\rangle \left\langle m\right|\rho \left|n\right\rangle -\left\langle n\right|\rho \left|m\right\rangle \left\langle m\right|H\left|n\right\rangle \right)}\\&i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left(t\right)=\sum \limits _{m}{\left({{H}_{nm}}{{\rho }_{mn}}-{{\rho }_{nm}}{{H}_{mn}}\right)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d34a2b5afbd34d239e7cc9571969b2bbb849d26)
Die Bewegungsgleichung für
koppelt an
braucht also Gleichung für
analog
einschieben
![{\displaystyle i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{mn}}\left(t\right)=\sum \limits _{i}{\left({{H}_{mi}}{{\rho }_{in}}-{{\rho }_{mi}}{{H}_{in}}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a58172a67ea5cc8c01cc2af2804d6b5ef133fd8e)
man hat ein geschlossens Gleichunssystem für
die Dichtematrix in der Darstellung von dem Eigenwertproblem
![{\displaystyle {{H}_{n}}\left|n\right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left|n\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db381385b814c62f645193d8ceb26bf98ff6847f)
![{\displaystyle {\text{H}}={{\text{H}}_{s}}+\underbrace {H_{S}^{\alpha }} _{\begin{smallmatrix}{\text{externe Felder sind}}\\{\text{ nicht diagonal}}\end{smallmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5743e1e22ac6bbe83413588bc1a1a647f1a50112)
Interpretation:
Datei:??
((Kennen Siv in Fermis Goldener Regel ohne Umgebung))
wenn H_{ij} bekannt wären, könnte man bei bekannten Anfangsbedingungen System lösen, daher ist der nsch Schritt.
Siehe nächstes Kapitel.