Dynamik des statistischen Operators: Difference between revisions

Revision as of 18:23, 12 September 2010

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

Der Artikel Dynamik des statistischen Operators basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. A. Knorr|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=2}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__

Suche eine Gleichung für

ρ (t) = \sum_{i} w_{i} | Ψ_{i} ⟩ ⟨ Ψ_{i} |

\begin{array}{l} ρ (t) = \sum_{i} w_{i} | Ψ_{i} ⟩ ⟨ Ψ_{i} | \\ S .GL: i ℏ \partial_{t} | Ψ_{i} ⟩ = H | Ψ_{i} ⟩ | \sum_{i} w_{i} ⟨ Ψ_{i} | \\ h .c : - i ℏ \partial_{t} ⟨ Ψ_{i} | = ⟨ Ψ_{i} | H | \sum_{i} w_{i} ⟨ Ψ_{i} | \\ \Rightarrow i ℏ \partial_{t} \sum_{i} w_{i} ⟨ Ψ_{i} | | Ψ_{i} ⟩ = \sum_{i} w_{i} (H | Ψ_{i} ⟩ ⟨ Ψ_{i} | - | Ψ_{i} ⟩ ⟨ Ψ_{i} | H) \end{array}

i ℏ \partial_{t} ρ = [H, ρ]

von Neumanngleichung für die Dynamik des statistischen Operators

{{#set:Definition=von Neimanngleichung|Index=von Neimanngleichung}}

H = H_{s} + H_{S}^{α} (t)

| Ψ_{i} ⟩

wirkt nur im System!

oder

i ℏ \partial_{t} T r (ρ O_{s}) = T r ([H, ρ] O_{s})

erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung

aber Vorsicht ist keine: sind Schrödingerbild und 1 anderes Vorzeichen

Die von Neumanngleichung tritt an die Stelle der Schrödingergleichung in der statistischen Physik. (Bedeutungsgesmäß)

Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente

was kann man mit

ρ_{n n} =, ⟨ n | ρ | n ⟩

(kann ich damit etwas) anfangen?

in Quantenmechanik: $p_{n} = ⟨ Ψ_{i 0} | n ⟩ ⟨ n | Ψ_{i 0} ⟩$ ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand $| n ⟩$ zu finden, wenn $| Ψ_{i 0} ⟩$ vorliegt
in der Statistik: $\begin{array}{l} p_{n} = T r (ρ | n ⟩ ⟨ n |) \\ = \sum_{j} ⟨ j | \sum_{i} w_{i} | Ψ_{i} ⟩ ⟨ Ψ_{i} | | n ⟩ ⟨ n | j ⟩ \\ = \sum_{j} \underset{1}{\underset{⏟}{⟨ j | j ⟩}} \sum_{i} ⟨ Ψ_{i} | n ⟩ ⟨ n | w_{i} | Ψ_{i} ⟩ \\ = \sum_{i} w_{i} ⟨ n | Ψ_{i} ⟩ ⟨ Ψ_{i} | n ⟩ = ⟨ n | ρ | n ⟩ \end{array}$ Der Wert $⟨ n | ρ | n ⟩$ stellt die Wahrscheinlichkeit dar, System im Zustand $| n ⟩$ bei einer Messung zu finden. (Observable mit eigensystem $| n ⟩$ ).

Interpreation der Dichtematrixelmente

p_{n} = T r (ρ | n ⟩ ⟨ n |) = ρ_{n n} \equiv ρ_{n}

Wahrschienlichkeit System im Eigenzustand $| n ⟩$ , von z.B

H_{n} | n ⟩ = ε_{n} | n ⟩

zu finden

p_{n m} = T r (ρ | n ⟩ ⟨ m |) = ρ_{n m}

Übergangswahrscheinlichkeitsamplituden von $| n ⟩ \to | m ⟩$

Was man braucht um $⟨ O_{s} ⟩$ zu berechnen sind $ρ_{n m} (t)$ , für $m = n$ und auch für $n \neq m$ .

Gleichungen dafür sind Dichtematrixgleichungen: aus von Neumanngleichung

i ℏ \partial_{t} ρ = [H, ρ] \to {\dot{ρ}}_{n n}, {\dot{ρ}}_{n m} = ?

⟨ n | \dots | n ⟩

also

\begin{array}{l} i ℏ \partial_{t} ρ_{n n} (t) = ⟨ n | [H, ρ] | n ⟩ \\ = \sum_{m} (⟨ n | H | m ⟩ ⟨ m | ρ | n ⟩ - ⟨ n | ρ | m ⟩ ⟨ m | H | n ⟩) \\ i ℏ \partial_{t} ρ_{n n} (t) = \sum_{m} (H_{n m} ρ_{m n} - ρ_{n m} H_{m n}) \end{array}

Die Bewegungsgleichung für

ρ_{n n} \equiv ρ_{n}

koppelt an

ρ_{n m} (n \neq m)

braucht also Gleichung für

ρ_{n m}

analog

\sum_{i} | i ⟩ ⟨ i |

einschieben

i ℏ \partial_{t} ρ_{m n} (t) = \sum_{i} (H_{m i} ρ_{i n} - ρ_{m i} H_{i n})

man hat ein geschlossens Gleichunssystem für

ρ_{m n}

die Dichtematrix in der Darstellung von dem Eigenwertproblem

H_{n} | n ⟩ = ε_{n} | n ⟩

H = H_{s} + \underset{\begin{matrix} externe Felder sind \\ nicht diagonal \end{matrix}}{\underset{⏟}{H_{S}^{α}}}

Interpretation:

Bild:??

((Kennen Siv in Fermis Goldener Regel ohne Umgebung))

wenn H_{ij} bekannt wären, könnte man bei bekannten Anfangsbedingungen System lösen, daher ist der nsch Schritt. Siehe nächstes Kapitel.

@@ Line 2: / Line 2: @@
 Suche eine Gleichung für
-<math>\rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}</math>
+:<math>\rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}</math>
 :
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
    & \rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|} \\
   & \text{S}\text{.GL:}i\hbar {{\partial }_{t}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =H\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \quad |\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|} \\
@@ Line 14: / Line 14: @@
 {{Def|
-<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho  \right]</math> '''von Neumanngleichung''' für die Dynamik des statistischen Operators
+:<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho  \right]</math> '''von Neumanngleichung''' für die Dynamik des statistischen Operators
 |von Neimanngleichung}}
-<math>\text{H}={{\text{H}}_{s}}+H_{S}^{\alpha }\left( t \right)</math>
+:<math>\text{H}={{\text{H}}_{s}}+H_{S}^{\alpha }\left( t \right)</math>
-<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> wirkt nur im System!
+:<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> wirkt nur im System!
 oder
-<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\operatorname{Tr}\left( \rho {{O}_{s}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \left[ H,\rho  \right]{{O}_{s}} \right)</math>
+:<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\operatorname{Tr}\left( \rho {{O}_{s}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \left[ H,\rho  \right]{{O}_{s}} \right)</math>
 erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung
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 ==Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente==
 * was kann man mit
-<math>{{\rho }_{nn}}=,\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle </math> (kann ich damit etwas) anfangen?
+:<math>{{\rho }_{nn}}=,\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle </math> (kann ich damit etwas) anfangen?
 * in Quantenmechanik: <math>{{p}_{n}}=\left\langle  {{\Psi }_{i0}} | n \right\rangle \left\langle  n | {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand <math>\left| n \right\rangle </math> zu finden, wenn <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> vorliegt
 * in der Statistik: <math>\begin{align}
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 ==Interpreation der Dichtematrixelmente==
-<math>{{p}_{n}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle  n \right| \right)={{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}</math>
+:<math>{{p}_{n}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle  n \right| \right)={{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}</math>
 Wahrschienlichkeit System im Eigenzustand <math>\left| n \right\rangle </math>, von z.B
-<math>{{H}_{n}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math> zu finden
+:<math>{{H}_{n}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math> zu finden
-<math>{{p}_{nm}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle  m \right| \right)={{\rho }_{nm}}</math>
+:<math>{{p}_{nm}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle  m \right| \right)={{\rho }_{nm}}</math>
 Übergangswahrscheinlichkeitsamplituden von <math>\left| n \right\rangle \to \left| m \right\rangle </math>
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 Gleichungen dafür sind Dichtematrixgleichungen:
 aus von Neumanngleichung
-<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho  \right]\to {{{\dot{\rho }}}_{nn}},{{{\dot{\rho }}}_{nm}}=?</math>
+:<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho  \right]\to {{{\dot{\rho }}}_{nn}},{{{\dot{\rho }}}_{nm}}=?</math>
-<math>\left\langle  n \right|\ldots \left| n \right\rangle </math>
+:<math>\left\langle  n \right|\ldots \left| n \right\rangle </math>
 also
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
    & i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{nn}}\left( t \right)=\left\langle  n \right|\left[ H,\rho  \right]\left| n \right\rangle  \\
   & =\sum\limits_{m}{\left( \left\langle  n \right|H\left| m \right\rangle \left\langle  m \right|\rho \left| n \right\rangle -\left\langle  n \right|\rho \left| m \right\rangle \left\langle  m \right|H\left| n \right\rangle  \right)} \\
@@ Line 72: / Line 72: @@
 Die Bewegungsgleichung für
-<math>{{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}</math> koppelt an <math>{{\rho }_{nm}}\,\left( n\ne m \right)</math> braucht also Gleichung für <math>{{\rho }_{nm}}</math>  analog <math>\sum\limits_{i}{\left| i \right\rangle \left\langle  i \right|}</math> einschieben
+:<math>{{\rho }_{nn}}\equiv {{\rho }_{n}}</math> koppelt an <math>{{\rho }_{nm}}\,\left( n\ne m \right)</math> braucht also Gleichung für <math>{{\rho }_{nm}}</math>  analog <math>\sum\limits_{i}{\left| i \right\rangle \left\langle  i \right|}</math> einschieben
-<math>i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{mn}}\left( t \right)=\sum\limits_{i}{\left( {{H}_{mi}}{{\rho }_{in}}-{{\rho }_{mi}}{{H}_{in}} \right)}</math>
+:<math>i\hbar {{\partial }_{t}}{{\rho }_{mn}}\left( t \right)=\sum\limits_{i}{\left( {{H}_{mi}}{{\rho }_{in}}-{{\rho }_{mi}}{{H}_{in}} \right)}</math>
 man hat ein geschlossens Gleichunssystem für
-<math>{{\rho }_{mn}}</math> die Dichtematrix in der Darstellung von dem Eigenwertproblem
+:<math>{{\rho }_{mn}}</math> die Dichtematrix in der Darstellung von dem Eigenwertproblem
-<math>{{H}_{n}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math>
+:<math>{{H}_{n}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math>
-<math>\text{H}={{\text{H}}_{s}}+\underbrace{H_{S}^{\alpha }}_{\begin{smallmatrix}
+:<math>\text{H}={{\text{H}}_{s}}+\underbrace{H_{S}^{\alpha }}_{\begin{smallmatrix}
   \text{externe Felder sind} \\
   \text{ nicht diagonal}

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