Dynamik des statistischen Operators: Difference between revisions

Revision as of 10:31, 30 August 2010

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

Der Artikel Dynamik des statistischen Operators basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. A. Knorr|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=2}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__

Suche eine Gleichung für $ρ (t) = \sum_{i} w_{i} | Ψ_{i} ⟩ ⟨ Ψ_{i} |$

$\begin{aligned} ρ (t) = \sum_{i} w_{i} | Ψ_{i} ⟩ ⟨ Ψ_{i} | \\ S .GL: i ℏ \partial_{t} | Ψ_{i} ⟩ = H | Ψ_{i} ⟩ | \sum_{i} w_{i} ⟨ Ψ_{i} | \\ h .c : - i ℏ \partial_{t} ⟨ Ψ_{i} | = ⟨ Ψ_{i} | H | \sum_{i} w_{i} ⟨ Ψ_{i} | \\ \Rightarrow i ℏ \partial_{t} \sum_{i} w_{i} ⟨ Ψ_{i} | | Ψ_{i} ⟩ = \sum_{i} w_{i} (H | Ψ_{i} ⟩ ⟨ Ψ_{i} | - | Ψ_{i} ⟩ ⟨ Ψ_{i} | H) \end{aligned}$

$i ℏ \partial_{t} ρ = [H, ρ]$ von Neumanngleichung für die Dynamik des statistischen Operators

{{#set:Definition=von Neimanngleichung|Index=von Neimanngleichung}}

$H = H_{s} + H_{S}^{α} (t)$ $| Ψ_{i} ⟩$ wirkt nur im System!

oder

$i ℏ \partial_{t} Tr (ρ O_{s}) = Tr ([H, ρ] O_{s})$ erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung

aber Vorsicht ist keine: sind Schrödingerbild und 1 anderes Vorzeichen

Die von Neumanngleichung tritt an die Stelle der Schrödingergleichung in der statistischen Physik. (Bedeutungsgesmäß)

Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente

was kann man mit

$ρ_{n n} =, ⟨ n | ρ | n ⟩$ (kann ich damit etwas) anfangen?

in Quantenmechanik: $p_{n} = ⟨ Ψ_{i 0} | n ⟩ ⟨ n | Ψ_{i 0} ⟩$ ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand $| n ⟩$ zu finden, wenn $| Ψ_{i 0} ⟩$ vorliegt
in der Statistik: $\begin{aligned} p_{n} = Tr (ρ | n ⟩ ⟨ n |) \\ = \sum_{j} ⟨ j | \sum_{i} w_{i} | Ψ_{i} ⟩ ⟨ Ψ_{i} | | n ⟩ ⟨ n | | j ⟩ \\ = \sum_{j} \underset{1}{\underset{⏟}{⟨ j | | j ⟩}} \sum_{i} ⟨ Ψ_{i} | | n ⟩ ⟨ n | w_{i} | Ψ_{i} ⟩ \\ = \sum_{i} w_{i} ⟨ n | | Ψ_{i} ⟩ ⟨ Ψ_{i} | | n ⟩ = ⟨ n | ρ | n ⟩ \end{aligned}$ Der Wert $⟨ n | ρ | n ⟩$ stellt die Wahrscheinlichkeit dar, System im Zustand $| n ⟩$ bei einer Messung zu finden. (Observable mit eigensystem $| n ⟩$ ).

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 <noinclude>{{ScriptKnorr|Thermodynamik|2|2}}</noinclude>
+Suche eine Gleichung für
+<math>\rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}</math>
+:
+<math>\begin{align}
+  & \rho \left( t \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|} \\
+ & \text{S}\text{.GL:}i\hbar {{\partial }_{t}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =H\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \quad |\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|} \\
+ & \text{h}\text{.c}:-i\hbar {{\partial }_{t}}\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|=\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|H\quad |\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|} \\
+ & \Rightarrow i\hbar {{\partial }_{t}}\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left( H\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|-\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|H \right)} \\
+\end{align}</math>
+{{Def|
+<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[ H,\rho  \right]</math> '''von Neumanngleichung''' für die Dynamik des statistischen Operators
+|von Neimanngleichung}}
+<math>\text{H}={{\text{H}}_{s}}+H_{S}^{\alpha }\left( t \right)</math>
+<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> wirkt nur im System!
+oder
+<math>i\hbar {{\partial }_{t}}\operatorname{Tr}\left( \rho {{O}_{s}} \right)=\operatorname{Tr}\left( \left[ H,\rho  \right]{{O}_{s}} \right)</math>
+erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung
+aber Vorsicht ist <u>keine</u>: sind Schrödingerbild und 1 anderes Vorzeichen
+Die von Neumanngleichung tritt an die Stelle der Schrödingergleichung in der statistischen Physik. (Bedeutungsgesmäß)
+==Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente==
+* was kann man mit
+<math>{{\rho }_{nn}}=,\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle </math> (kann ich damit etwas) anfangen?
+* in Quantenmechanik: <math>{{p}_{n}}=\left\langle  {{\Psi }_{i0}} | n \right\rangle \left\langle  n | {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand <math>\left| n \right\rangle </math> zu finden, wenn <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> vorliegt
+* in der Statistik: <math>\begin{align}
+  & {{p}_{n}}=\operatorname{Tr}\left( \rho \left| n \right\rangle \left\langle  n \right| \right) \\
+ & =\sum\limits_{j}{\left\langle  j \right|\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|\left| j \right\rangle } \\
+ & =\sum\limits_{j}{\underbrace{\left\langle  j \right|\left| j \right\rangle }_{1}\sum\limits_{i}{\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|\left| n \right\rangle }\left\langle  n \right|{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle } \\
+ & =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  n \right|\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|\left| n \right\rangle }=\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle
+\end{align}</math> Der Wert <math>\left\langle  n \right|\rho \left| n \right\rangle </math> stellt die Wahrscheinlichkeit dar, System im Zustand  <math>\left| n \right\rangle </math> bei einer Messung zu finden. (Observable mit eigensystem <math>\left| n \right\rangle </math>).
+==Interpreation der Diochtematrixelmente==

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Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente

Interpreation der Diochtematrixelmente

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