Dynamik des statistischen Operators

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

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Der Artikel Dynamik des statistischen Operators basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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Suche eine Gleichung für $\rho \left(t\right)=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}$

${\begin{aligned}&\rho \left(t\right)=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\\&{\text{S}}{\text{.GL:}}i\hbar {{\partial }_{t}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle =H\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \quad |\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\\&{\text{h}}{\text{.c}}:-i\hbar {{\partial }_{t}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|=\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|H\quad |\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\\&\Rightarrow i\hbar {{\partial }_{t}}\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle =\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left(H\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|-\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|H\right)}\\\end{aligned}}$

$i\hbar {{\partial }_{t}}\rho =\left[H,\rho \right]$ von Neumanngleichung für die Dynamik des statistischen Operators

{{#set:Definition=von Neimanngleichung|Index=von Neimanngleichung}}

${\text{H}}={{\text{H}}_{s}}+H_{S}^{\alpha }\left(t\right)$ $\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle$ wirkt nur im System!

oder

$i\hbar {{\partial }_{t}}\operatorname {Tr} \left(\rho {{O}_{s}}\right)=\operatorname {Tr} \left(\left[H,\rho \right]{{O}_{s}}\right)$ erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung

aber Vorsicht ist keine: sind Schrödingerbild und 1 anderes Vorzeichen

Die von Neumanngleichung tritt an die Stelle der Schrödingergleichung in der statistischen Physik. (Bedeutungsgesmäß)

Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente

• was kann man mit

${{\rho }_{nn}}=,\left\langle n\right|\rho \left|n\right\rangle$ (kann ich damit etwas) anfangen?

• in Quantenmechanik: ${{p}_{n}}=\left\langle {{\Psi }_{i0}}|n\right\rangle \left\langle n|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle$ ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand $\left|n\right\rangle$ zu finden, wenn $\left|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle$ vorliegt
• in der Statistik: ${\begin{aligned}&{{p}_{n}}=\operatorname {Tr} \left(\rho \left|n\right\rangle \left\langle n\right|\right)\\&=\sum \limits _{j}{\left\langle j\right|\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|n\right\rangle \left\langle n\right|\left|j\right\rangle }\\&=\sum \limits _{j}{\underbrace {\left\langle j\right|\left|j\right\rangle } _{1}\sum \limits _{i}{\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|\left|n\right\rangle }\left\langle n\right|{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle }\\&=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle n\right|\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|\left|n\right\rangle }=\left\langle n\right|\rho \left|n\right\rangle \end{aligned}}$ Der Wert $\left\langle n\right|\rho \left|n\right\rangle$ stellt die Wahrscheinlichkeit dar, System im Zustand $\left|n\right\rangle$ bei einer Messung zu finden. (Observable mit eigensystem $\left|n\right\rangle$).