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| [[Bild:Fermi-Bose]] | | [[Bild:Fermi-Bose]] |
| aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als: | | aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als: |
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| | <math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)=\left\langle {{{\vec{r}}}_{i}} | N,n \right\rangle \to \left| N,n \right\rangle </math> |
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| | <math>\left| N,n \right\rangle =?</math> |
| | ist gekennzeichnet durch |
| | # die Gesamtteilchenzahl '''N''' |
| | # wo man die Teilchen sitzen hat '''n''' |
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| | <math>\left| N,n \right\rangle =\left| \begin{matrix} |
| | {{n}_{1}} & {{n}_{2}} & \cdots & {{n}_{k}} & \cdots & {{n}_{N}} \\ |
| | {{N}_{1}} & {{N}_{2}} & \cdots & {{N}_{k}} & \cdots & {{N}_{N}} \\ |
| | \end{matrix} \right\rangle =\left| \begin{matrix} |
| | {{N}_{1}} & {{N}_{2}} & \cdots & {{N}_{k}} & \cdots & {{N}_{N}} \\ |
| | \end{matrix} \right\rangle </math> |
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| | <math>{{n}_{k}}</math> als Quantenzahl mit |
| | <math>{{N}_{k}}</math> Teilchen |
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| | * Fermionen <math>{{N}_{k}}=0,1</math> |
| | * Bosonen <math>{{N}_{k}}=0,1,...,N</math> |
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| | {{Beispiel| |
| | 2 Bosonen <math>\left| 1,1 \right\rangle oder\left| 0,2 \right\rangle oder\left| 2,0 \right\rangle </math> |
| | 2 Fermionen <math>\left| 1,1 \right\rangle </math> |
| | }} |
| | verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen Würfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen. |
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| | Es gibt 2 Sorgen von Bosonen: |
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| | ; {{FB|massive Bosonen}} : Masse beliebig z.B. Atom Molekül, \alpha-Teilchen |
| | ; {{FB|masselose Bosonen}}: z.B. Photon, Ponon, etc (Quantenanregung von Feldern) |
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| | man kann sich H anschauen: |
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| | <math>\frac{\partial H}{\partial N}\ne 0</math> -->massive Bosonen |
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| | <math>\frac{\partial H}{\partial N}=0</math> -->masselose Bosonen |
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| | {{Def| |
| | <math>\frac{\partial H}{\partial N}:=\mu </math> chemisches Potential|chemisches Potential}} |
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| | muss am Beispiel später klargemacht werden. |
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| | ; massive Bosonen : <math>\mu \neq 0</math> |
| | ; masselose Bosonen: <math>\mu =0 </math> |
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| ==Wechselwirkung von System und Umgebung== | | ==Wechselwirkung von System und Umgebung== |
Einteilchenzustände im Kasten
Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.
für unendlich hohe Wände
Einteilchenfunktion
mit
und Energieeigenwerten
Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert
(3-Quantenzahlen)
Großer Kasten, dichtliegende Zustände
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen
periodisch angeordnete Kästen nebeneinander
Ansatz:
freie Teilchen im Kasten:
Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:
man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil:
man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)
k's zu zählen ist oft leichter als n's
z.B
sind dicht ~
Summe über die k-Quantenzahlen werden also
So übersetzt:
Vielteilchenzustände
Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?
- N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt
-> nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas
Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:
i: Teilchennummer
mit Quantenzahln n
-> in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch Produktzustände{{#set:Fachbegriff=Produktzustände|Index=Produktzustände}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)
wobei
die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist
Vorläuftig :
aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte
die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein
Das geht für:
Beide Lösungen werden realisiert und als symmetrisch{{#set:Fachbegriff=symmetrisch|Index=symmetrisch}}(+) und antisymmetrisch{{#set:Fachbegriff=antisymmetrisch|Index=antisymmetrisch}}(-) bezeichnet:
- Fermionen (-)
- antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin
- Bosonen (-)
- symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940))
|
{{#set:Definition=Fermionen, Bosonen|Index=Fermionen, Bosonen}}
Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.
(klassich: Grenzfall beider
)
((3 Teilchen als Übung))
Interpretation:
- In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) --> Pauliprinzip
- In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 --> Bosekondensation)
--> völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.
- allgemin Ansätzte für N-Teilchen
recht komplizierte Schreibweise:
besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.
jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen
Bild:Fermi-Bose
aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als:
ist gekennzeichnet durch
- die Gesamtteilchenzahl N
- wo man die Teilchen sitzen hat n
als Quantenzahl mit
Teilchen
verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen Würfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen.
Es gibt 2 Sorgen von Bosonen:
- massive Bosonen{{#set
- Fachbegriff=massive Bosonen|Index=massive Bosonen}} : Masse beliebig z.B. Atom Molekül, \alpha-Teilchen
- masselose Bosonen{{#set
- Fachbegriff=masselose Bosonen|Index=masselose Bosonen}}: z.B. Photon, Ponon, etc (Quantenanregung von Feldern)
man kann sich H anschauen:
-->massive Bosonen
-->masselose Bosonen
{{#set:Definition=chemisches Potential|Index=chemisches Potential}}
muss am Beispiel später klargemacht werden.
- massive Bosonen
![{\displaystyle \mu \neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff2b68dc21692b0fe4c1e1220806e6d88b8ace8)
- masselose Bosonen
![{\displaystyle \mu =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3753282c0ad2ea1e7d63f39425efd13c37da3169)
Wechselwirkung von System und Umgebung