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| k's zu zählen ist oft leichter als n's | | k's zu zählen ist oft leichter als n's |
| z.B <math>\sum\limits_{\text{Zust }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nde}}{...}\triangleq \sum\limits_{\text{k }\!\!'\!\!\text{ s}}{...}</math> | | z.B <math>\sum\limits_{\text{Zust }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nde}}{...}\triangleq \sum\limits_{\text{k }\!\!'\!\!\text{ s}}{...}</math> |
| <math>\begin{align} | | <math>{{\sum }_{\text{\vec{k}}\in \text{3-Dim Raum}}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace{{{\Delta }^{\text{3}}}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{\text{3}}}k}</math> |
| & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\
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| & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\
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| & \sum\limits_{\text{Zust }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nde}}{...}\triangleq \sum\limits_{\text{k }\!\!'\!\!\text{ s}}{...} \\
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| & \sum\limits_{\text{\vec{k}}\in 3\text{-Dim Raum}}{{}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{\Delta {}^\text{3}k}{\underbrace{\Delta {}^\text{3}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{\Delta {}^\text{3}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int_{{}}^{{}}{d{}^\text{3}k} \\
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| \end{align}</math>
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| <math>\Delta k</math> sind dicht ~ <math>\frac{1}{L}\to \int_{{}}^{{}}{{}}</math> | | <math>\Delta k</math> sind dicht ~ <math>\frac{1}{L}\to \int_{{}}^{{}}{{}}</math> |
| Summe über die k-Quantenzahlen werden also so übersetzt | | Summe über die k-Quantenzahlen werden also so übersetzt |
Revision as of 15:20, 29 August 2010
Einteilchenzustände im Kasten
Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.
für unendlich hohe Wände
Einteilchenfunktion
mit
und Energieeigenwerten
Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert
(3-Quantenzahlen)
Großer Kasten, dichtliegende Zustände
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen
periodisch angeordnete Kästen nebeneinander
Ansatz:
freie Teilchen im Kasten:
Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:
man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil:
man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)
k's zu zählen ist oft leichter als n's
z.B
Failed to parse (syntax error): {\displaystyle {{\sum }_{\text{\vec{k}}\in \text{3-Dim Raum}}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace{{{\Delta }^{\text{3}}}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{\text{3}}}k}}
sind dicht ~
Summe über die k-Quantenzahlen werden also so übersetzt