Maxwell- Gleichungen in Materie: Difference between revisions
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*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
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Somit folgt für die vollständigen Potenziale: | Somit folgt für die vollständigen Potenziale: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\ | & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\ | ||
& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\ | & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\ | ||
Line 20: | Line 20: | ||
Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung | Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{\acute{\ }0}}\left[ \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right] \\ | & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{\acute{\ }0}}\left[ \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right] \\ | ||
& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left[ \rho +{{\rho }_{P}} \right] \\ | & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left[ \rho +{{\rho }_{P}} \right] \\ | ||
Line 28: | Line 28: | ||
Für die Felder in Materie folgt: | Für die Felder in Materie folgt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
Line 35: | Line 35: | ||
Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen: | Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ | & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ | ||
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | ||
Line 42: | Line 42: | ||
* Wie im Vakuum | * Wie im Vakuum | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& 3)\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi \\ | & 3)\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi \\ | ||
& \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \\ | & \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \\ | ||
Line 50: | Line 50: | ||
In Lorentz Eichung ! | In Lorentz Eichung ! | ||
<math>\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho +{{\rho }_{p}} \right)=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho -\nabla \cdot \bar{P} \right)</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho +{{\rho }_{p}} \right)=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho -\nabla \cdot \bar{P} \right)</math> | ||
per Definition von | per Definition von | ||
<math>{{\rho }_{p}}</math> | :<math>{{\rho }_{p}}</math> | ||
. | . | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \Rightarrow 3)\nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\ | & \Rightarrow 3)\nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right):=\bar{D}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right):=\bar{D}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
Line 66: | Line 66: | ||
4) Letzte Gleichung: | 4) Letzte Gleichung: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \\ | & \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \\ | ||
Line 83: | Line 83: | ||
Mit dem Magnetfeld | Mit dem Magnetfeld | ||
<math>H\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>H\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
, welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird: | , welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird: | ||
<u>'''Zusammenfassung:'''</u> | <u>'''Zusammenfassung:'''</u> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ | & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ | ||
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)</math> | ||
<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math> | :<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math> | ||
<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}</math> | :<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}</math> | ||
Dabei beschreibt | Dabei beschreibt | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ | & 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ | ||
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | ||
Line 108: | Line 108: | ||
die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und | die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und | ||
<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)</math> | ||
<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}</math> | :<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}</math> | ||
die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme | die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme | ||
Line 116: | Line 116: | ||
Weiter: | Weiter: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& \bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
Line 123: | Line 123: | ||
Im Gauß System ( weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson): | Im Gauß System ( weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson): | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\ | & 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\ | ||
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)</math> | ||
<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math> | :<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math> | ||
die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme | die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme | ||
Line 136: | Line 136: | ||
Weiter: | Weiter: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\ | & 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\ | & 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
Line 143: | Line 143: | ||
Unsere 6 Feldgleichungen ( wenn man so will, also ( es kann nicht oft genug gezeigt werden): | Unsere 6 Feldgleichungen ( wenn man so will, also ( es kann nicht oft genug gezeigt werden): | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\ | & 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\ | ||
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | & 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)</math> | ||
<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math> | :<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\ | & 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\ | & 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
Line 163: | Line 163: | ||
# isotrope Materie: | # isotrope Materie: | ||
<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)||\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)||\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
und für paramagnetische Stoffe | und für paramagnetische Stoffe | ||
<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \uparrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \uparrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
für diamagnetische Stoffe: | für diamagnetische Stoffe: | ||
<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \downarrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \downarrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
, | , | ||
also ein skalarer Zusammenhang | also ein skalarer Zusammenhang | ||
Line 175: | Line 175: | ||
# bei nicht zu hohen Feldern: | # bei nicht zu hohen Feldern: | ||
<math>\bar{E}\tilde{\ }\bar{P}</math> | :<math>\bar{E}\tilde{\ }\bar{P}</math> | ||
<math>\bar{B}\tilde{\ }\bar{M}</math> | :<math>\bar{B}\tilde{\ }\bar{M}</math> | ||
also ein linearer Zusammenhang | also ein linearer Zusammenhang | ||
Line 183: | Line 183: | ||
# ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung ( keine Phasenkohärenzen): | # ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung ( keine Phasenkohärenzen): | ||
<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang ! | neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang ! | ||
Line 191: | Line 191: | ||
Dann kann man schreiben: | Dann kann man schreiben: | ||
<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
<math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)={{\chi }_{M}}\bar{H}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)={{\chi }_{M}}\bar{H}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität | Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität | ||
<math>{{\chi }_{e}}</math> | :<math>{{\chi }_{e}}</math> | ||
und der magnetischen Suszeptibilität | und der magnetischen Suszeptibilität | ||
<math>{{\chi }_{M}}</math> | :<math>{{\chi }_{M}}</math> | ||
( Materialkonstanten). | ( Materialkonstanten). | ||
Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien ( z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden. | Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien ( z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden. | ||
<math>\bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}={{\varepsilon }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)\bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\varepsilon \bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}={{\varepsilon }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)\bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\varepsilon \bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math> mit <math>\varepsilon =\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)</math> | ||
mit | |||
<math>\varepsilon =\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)</math> | |||
, der relativen Dielektrizitätskonstante ( permittivity) | , der relativen Dielektrizitätskonstante ( permittivity) | ||
<math>\bar{B}={{\mu }_{0}}\left( \bar{H}+\bar{M} \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}</math> | :<math>\bar{B}={{\mu }_{0}}\left( \bar{H}+\bar{M} \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}</math> mit <math>\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)=\mu </math> | ||
mit | |||
<math>\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)=\mu </math> | |||
, der relativen Permeabilität | , der relativen Permeabilität | ||
<math>\Rightarrow \bar{M}={{\chi }_{M}}\bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\mu }\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}\bar{B}</math> | :<math>\Rightarrow \bar{M}={{\chi }_{M}}\bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\mu }\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}\bar{B}</math> | ||
Man sagt: | Man sagt: | ||
Ein Stoff ist paramagnetisch für | Ein Stoff ist paramagnetisch für | ||
<math>\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}>0</math> | :<math>\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}>0</math> | ||
diamagnetisch für | diamagnetisch für | ||
<math>\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}<0</math> | :<math>\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}<0</math> | ||
paramagnetisch: | paramagnetisch: | ||
<math>{{\chi }_{M}}>0\Rightarrow \mu >1</math> | :<math>{{\chi }_{M}}>0\Rightarrow \mu >1</math> diamagnetisch <math>0>{{\chi }_{M}}>-1\Rightarrow 0<\mu <1</math> | ||
diamagnetisch | |||
<math>0>{{\chi }_{M}}>-1\Rightarrow 0<\mu <1</math> | |||
Bemerkungen | Bemerkungen | ||
<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)=0\Rightarrow \bar{P}=0</math> | :<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)=0\Rightarrow \bar{P}=0</math> | ||
beschreibt kein Ferroelektrikum | beschreibt kein Ferroelektrikum | ||
<math>\bar{B}=0\Rightarrow \bar{M}=0</math> | :<math>\bar{B}=0\Rightarrow \bar{M}=0</math> | ||
kein Ferromagnet | kein Ferromagnet | ||
Es gilt stets | Es gilt stets | ||
<math>{{\chi }_{e}}>0</math> | :<math>{{\chi }_{e}}>0</math> | ||
( Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit -> es existiert keine negative Polarisierbarkeit) | ( Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit -> es existiert keine negative Polarisierbarkeit) | ||
<math>{{\chi }_{M}}\begin{matrix} | :<math>{{\chi }_{M}}\begin{matrix} | ||
> \\ | > \\ | ||
< \\ | < \\ | ||
Line 251: | Line 240: | ||
Ein Term | Ein Term | ||
<math>\tilde{\ }\bar{B}</math> | :<math>\tilde{\ }\bar{B}</math> in <math>\bar{P}</math> oder <math>\tilde{\ }\bar{E}</math> in <math>\bar{M}</math> | ||
in | |||
<math>\bar{P}</math> | |||
oder | |||
<math>\tilde{\ }\bar{E}</math> | |||
in | |||
<math>\bar{M}</math> | |||
kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens ! | kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens ! | ||
<math>\bar{E}</math> | :<math>\bar{E}</math> | ||
ist polarer Vektor, | ist polarer Vektor, | ||
<math>\bar{B}</math> | :<math>\bar{B}</math> | ||
ist axialer Vektor ! | ist axialer Vektor ! | ||
<math>{{\rho }_{P}}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>{{\rho }_{P}}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
ist ein Skalar | ist ein Skalar | ||
<math>{{\bar{j}}_{M}}=rot\bar{M}</math> | :<math>{{\bar{j}}_{M}}=rot\bar{M}</math> | ||
ist ein polarer Vektor. | ist ein polarer Vektor. | ||
Line 274: | Line 257: | ||
1)Für anisotrope Kristalle : | 1)Für anisotrope Kristalle : | ||
<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}\bar{E}</math> | :<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}\bar{E}</math> | ||
drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor | drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor | ||
<math>{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}</math> | :<math>{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}</math> | ||
. | . | ||
2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen: | 2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen: | ||
<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\left( {{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(1)}\bar{E}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(2)}{{{\bar{E}}}^{2}}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(3)}{{{\bar{E}}}^{3}}+... \right)</math> | :<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\left( {{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(1)}\bar{E}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(2)}{{{\bar{E}}}^{2}}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(3)}{{{\bar{E}}}^{3}}+... \right)</math> | ||
Anwendung: optische Nichtlinearität, | Anwendung: optische Nichtlinearität, | ||
Line 290: | Line 273: | ||
Für hochfrequente Felder folgt: | Für hochfrequente Felder folgt: | ||
<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }dt\acute{\ }{{\chi }_{e}}\left( \bar{r},\bar{r}\acute{\ },t,t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math> | :<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }dt\acute{\ }{{\chi }_{e}}\left( \bar{r},\bar{r}\acute{\ },t,t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math> | ||
( räumliche bzw. zeitliche Dispersion): | ( räumliche bzw. zeitliche Dispersion): | ||
<math>\hat{\bar{P}}\left( \bar{k},\omega \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\hat{\chi }}_{e}}\left( \bar{k},\omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \bar{k},\omega \right)</math> | :<math>\hat{\bar{P}}\left( \bar{k},\omega \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\hat{\chi }}_{e}}\left( \bar{k},\omega \right)\hat{\bar{E}}\left( \bar{k},\omega \right)</math> |
Revision as of 17:56, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Maxwell- Gleichungen in Materie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=3}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__
Die vollständigen Potenziale enthalten
Somit folgt für die vollständigen Potenziale:
Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung
Für die Felder in Materie folgt:
Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen:
- Wie im Vakuum
In Lorentz Eichung !
per Definition von
.
Die Dielektrische Verschiebung
4) Letzte Gleichung:
Mit dem Magnetfeld
, welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:
Zusammenfassung:
Dabei beschreibt
die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und
die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme
Weiter:
Im Gauß System ( weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):
die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme
Weiter:
Unsere 6 Feldgleichungen ( wenn man so will, also ( es kann nicht oft genug gezeigt werden):
sind nicht vollständig. Es muss noch der Zusammenhang zwischen Polarisation und E- Feld, bzw. B- Feld und Magnetisierung angegeben werden. Dies sind die sogenannten " Materialgleichungen".
Einfachster Fall:
- isotrope Materie:
und für paramagnetische Stoffe
für diamagnetische Stoffe:
, also ein skalarer Zusammenhang
- bei nicht zu hohen Feldern:
also ein linearer Zusammenhang
- ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung ( keine Phasenkohärenzen):
neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang !
Dann kann man schreiben:
Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität
und der magnetischen Suszeptibilität
( Materialkonstanten). Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien ( z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.
, der relativen Dielektrizitätskonstante ( permittivity)
, der relativen Permeabilität
Man sagt: Ein Stoff ist paramagnetisch für
diamagnetisch für
paramagnetisch:
Bemerkungen
beschreibt kein Ferroelektrikum
kein Ferromagnet
Es gilt stets
( Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit -> es existiert keine negative Polarisierbarkeit)
Para- ODER Diamagnet
Ein Term
kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens !
ist polarer Vektor,
ist axialer Vektor !
ist ein Skalar
ist ein polarer Vektor.
Abweichungen
1)Für anisotrope Kristalle :
drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor
.
2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:
Anwendung: optische Nichtlinearität, Beispiel: optische Bistabilität, optische Schalter:
Für hochfrequente Felder folgt:
( räumliche bzw. zeitliche Dispersion):