Wellenoptik und Beugung

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Wellenoptik und Beugung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=4|Abschnitt=4}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__

Betrachte Ausbreitung elektromagnetischer Wellen bei gegebenen lokalisierten Quellen

$\rho \left({\bar {r}},t\right)$ und ${\bar {j}}\left({\bar {r}},t\right)$

und bei vorgegebenen Leitern

${{L}_{\alpha }}$

im Vakuum:

Ziel

ist die Berechnung des Wellenfeldes im Außenraum V

Anwendung: Radiowellen

$\lambda =1-{{10}^{4}}$

m Radar Optik

$\lambda =400-800nm$

-> Beugung

Rückführung auf Randwertaufgabe

Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentzeichung ( Potenzialgleichungen) ( vergleiche dazu 1.6 in der Elektrostatik)

${\begin{aligned}&\#\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\&\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\\end{aligned}}$

Zu vorgegebenen Ladungen und Strömen. Gleichzeitig haben wir Randbedingungen auf

${{L}_{\alpha }}$

und schließlich die Kausalitätsbedingung ( Ausstrahlungsbedingung) -> Retardierung, § 4.2

Annahme:

${\begin{aligned}&\rho \left({\bar {r}},t\right)=\rho \left({\bar {r}}\right){{e}^{-i\omega t}}\\&{\bar {j}}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {j}}\left({\bar {r}}\right){{e}^{-i\omega t}}\\\end{aligned}}$

Dies sollte wegen Fourier- Zerlegung bei periodischer Erregung beliebiger Art grundsätzlich möglich sein.

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}},t\right)=\Phi \left({\bar {r}}\right){{e}^{-i\omega t}}\\&{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {A}}\left({\bar {r}}\right){{e}^{-i\omega t}}\\\end{aligned}}$

eingesetzt in die Wellengleichung

${\begin{aligned}&\#\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}=\left(\Delta -{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\right)\Phi \left({\bar {r}},t\right)\\&\Rightarrow \left(\Delta +{{k}^{2}}\right)\Phi \left({\bar {r}}\right)=-{\frac {\rho \left({\bar {r}}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}\\&k:={\frac {\omega }{c}}\\\end{aligned}}$

Mit der Greenschen Funktion der Wellengleichung

$\#\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}$

$\#G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)=-\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\delta \left(t-t{\acute {\ }}\right)$

Haben wir formal sofort die allgemeine Lösung:

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}},t\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\int _{-\infty }^{t}{dt{\acute {\ }}}}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\int _{-\infty }^{t}{dt{\acute {\ }}}}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}{{e}^{-i\omega t{\acute {\ }}}}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)\\&t-t{\acute {\ }}:=\tau \\&\Rightarrow \int _{-\infty }^{t}{dt{\acute {\ }}}{{e}^{-i\omega t{\acute {\ }}}}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)=\int _{-\infty }^{t}{dt{\acute {\ }}}{{e}^{-i\omega t{\acute {\ }}}}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\\&=\left[\int _{0}^{\infty }{d\tau }{{e}^{i\omega \tau }}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\right]{{e}^{-i\omega t}}:={\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){{e}^{-i\omega t}}\\&\int _{0}^{\infty }{d\tau }{{e}^{i\omega \tau }}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right):={\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Somit kann die periodische Zeitabhängigkeit absepariert werden:

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}}\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}\\&mit\\&\left(\Delta +{{k}^{2}}\right){\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Problem: Die Randbedingungen für

$\Phi \left({\bar {r}}\right),{\bar {A}}$

sind im stationären Fall nicht bekannt, sondern müssen selbstkonsistent bestimmt werden. Man kann das Problem jedoch mit Hilfe des Greenschen Satzes umformulieren:

Skalare Kirchhoff- Identität

( eine notwendige, nicht hinreichende Bedingung für Lösung):

Skalar: Wir beschreiben keine Polarisationseffekte !!! Alle Polarisationseffekte sind vernachlässigt. Das hat man unter dem Begriff Skalar an dieser Stelle zu verstehen !

Weiter: Greenscher Satz:

$\int _{\partial V}^{}{d{\bar {f}}}\left(\phi \nabla \Psi -\Psi \nabla \phi \right)=\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r}\left(\phi \Delta \Psi -\Psi \Delta \phi \right)$

Setze:

${\begin{aligned}&\Psi ({\bar {r}})={\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\\&\phi ({\bar {r}})=\Phi \left({\bar {r}}\right)\\\end{aligned}}$

Dabei sei das Potenzial als Lösung angenommen:

${\begin{aligned}&\int _{\partial V}^{}{d{\bar {f}}}\left(\Phi \left({\bar {r}}\right)\nabla {\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)-{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\nabla \Phi \left({\bar {r}}\right)\right)=\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r}\left(\Phi \left({\bar {r}}\right)\Delta {\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)-{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\Delta \Phi \left({\bar {r}}\right)\right)\\&\Delta {\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)-{{k}^{2}}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\\&\Delta \Phi \left({\bar {r}}\right)={\frac {-\rho }{{\varepsilon }_{0}}}-{{k}^{2}}\Phi \left({\bar {r}}\right)\\&\Rightarrow \int _{V}^{}{{{d}^{3}}r}\left(\Phi \left({\bar {r}}\right)\Delta {\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)-{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\Delta \Phi \left({\bar {r}}\right)\right)=-\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\\&\int _{\partial V}^{}{d{\bar {f}}}\left({\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\nabla \Phi \left({\bar {r}}\right)-\Phi \left({\bar {r}}\right)\nabla {\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\right)=\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Also:

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=\int _{\partial V}^{}{d{\bar {f}}}\left({\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\nabla \Phi \left({\bar {r}}\right)-\Phi \left({\bar {r}}\right)\nabla {\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\right)\\&{\bar {r}}{\acute {\ }}\in V\\\end{aligned}}$

Dabei ist

$\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)$

im inneren von V durch

$\Phi$ und $\nabla \Phi$

auf dem Rand festgelegt, falls die Greensfunktion

${\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)$

bekannt ist

Freier Raum: Greensfunktion des unendlichen Raumes:

Randbedingung

${\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=0$

• Retardierte Potenziale ( Vergl. § 4.2):

$G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{4\pi \left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\delta \left(\tau -{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\quad \tau >0\\0\quad \quad \quad \quad \tau <0\\\end{matrix}}\right.$

Somit:

${\begin{aligned}&{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=\int _{0}^{\infty }{d}\tau G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right){{e}^{i\omega \tau }}={\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{4\pi \left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\&k:={\frac {\omega }{c}}\\\end{aligned}}$

Es folgt für das Potenzial:

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}},t\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){{e}^{-i\omega t}}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}}=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{4\pi \left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{e}^{-i\omega t}}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}}\\&\Phi \left({\bar {r}},t\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{e}^{i\left(k\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|-\omega t\right)}}{4\pi \left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}}\\\end{aligned}}$

beschreibt eine Überlagerung auslaufender Kugelwellen-> Lösung als Entwicklung in Kugelwellen. ( Ausstrahlbedingung, Konsequenz der Kausalität).

Mit

${\bar {R}}:={\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}$

lautet die Kirchhoff- Identität:

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }},t\right)={\frac {1}{4\pi }}\int _{\partial V}^{}{d{{\bar {f}}_{R}}}\left[{\frac {{e}^{ikR}}{R}}{{\nabla }_{r}}\Phi \left({\bar {r}}\right)-\Phi \left({\bar {r}}\right){{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ikR}}{R}}\right]\\&{{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ikR}}{R}}={\frac {{e}^{ikR}}{R}}\left(ik-{\frac {1}{R}}\right){\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\\end{aligned}}$

Dazu eine Grafik:

Mittels

$d{\bar {f}}{\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}=df\cos \vartheta$

und über Beschränkung auf Fernzone von

$\partial V$

, also R >> 1/k gilt:

$\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }},t\right)={\frac {1}{4\pi }}\int _{\partial V}^{}{d{{f}_{R}}}\left[{\frac {\partial }{\partial n}}\Phi \left({\bar {r}}\right)-ik\Phi \left({\bar {r}}\right)\cos \vartheta \right]{\frac {{e}^{ikR}}{R}}$

Mit der richtungsabhängigen Amplitude

$\left[{\frac {\partial }{\partial n}}\Phi \left({\bar {r}}\right)-ik\Phi \left({\bar {r}}\right)\cos \vartheta \right]$

und der Kugelwelle

${\frac {{e}^{ikR}}{R}}$

. Beides zusammen ergeben sogenannte Sekundärwellen.

Insgesamt ist dies die exakte ( mathematische) Formulierung des Huygensschen Prinzips ( jeder Punkt an der Oberfläche des Hindernisses ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle). deren phasengerechte Überlagerung ergibt dann das Wellenfeld in r´

b) Greensfunktion zu Randbedingungen

${\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){{\left.{}\right|}_{\begin{smallmatrix}{\bar {r}}\in \partial V\\{\bar {r}}{\acute {\ }}\in V\end{smallmatrix}}}=0$

$\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-\int _{\partial V}^{}{d{\bar {f}}\Phi \left({\bar {r}}\right){{\nabla }_{r}}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}$

Die neue Greensfunktion unterscheidet sich von der alten nur durch eine additive Lösung g der homogenen Wellengleichung:

${\begin{aligned}&{\tilde {G}}\left({\bar {R}}\right)=g\left({\bar {R}}\right)+{\frac {1}{4\pi }}{\frac {{e}^{ikR}}{R}}\\&\left(\Delta +{{k}^{2}}\right)g=0\\\end{aligned}}$

Mit Randbedingung

$g{{\left.{}\right|}_{\partial V}}=-{\frac {1}{4\pi }}{{\left.{\frac {{e}^{ikR}}{R}}\right|}_{\partial V}}$

Beispiel für die Konstruktion von

${\tilde {G}}\left({\bar {R}}\right)$

Ebener Schirm:

Spiegelladungsmethode:

Hinter dem Schirm wird die Halbkugel im UNENDLICHEN geschlossen.

Hinter dem ebenen Schirm wenden wir die Spiegelladungsmethode an:

${\begin{aligned}&{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}-{\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}\right)\\&\Rightarrow {{\nabla }_{r}}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)={\frac {1}{4\pi }}\left({{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}-{{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}\right):={\frac {1}{4\pi }}\left({{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ikR}}{R}}-{{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ikR{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}{R{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}\right)\\\end{aligned}}$

Dieser Gradient wurde einige Seiten vorher bereits gelöst:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)={\frac {1}{4\pi }}\left({{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}-{{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}\right):={\frac {1}{4\pi }}\left({{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ikR}}{R}}-{{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ikR{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}{R{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}\right)\\&={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {{e}^{ikR}}{R}}\left(ik-{\frac {1}{R}}\right){\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}-{\frac {{e}^{ikR{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}{R{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}\left(ik-{\frac {1}{R{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}\right){\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}\right)\\\end{aligned}}$

Mit

${\begin{aligned}&R=R{\acute {\ }}{\acute {\ }}\\&d{\bar {f}}\cdot {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}=-d{\bar {f}}\cdot {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}=+df\cos \vartheta \\&\Rightarrow d{\bar {f}}\cdot {{\nabla }_{r}}{\tilde {G}}=df{\frac {1}{2\pi }}{\frac {{e}^{ikR}}{R}}\left(ik-{\frac {1}{R}}\right)\cos \vartheta \\\end{aligned}}$

Für

$\lambda <<R$

( Fernzone):

$\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-\int _{\partial V}^{}{d{\bar {f}}\Phi \left({\bar {r}}\right){{\nabla }_{r}}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}=-{\frac {i}{\lambda }}\int _{F}^{}{df\Phi \left({\bar {r}}\right){\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}}\cos \vartheta$

Zur Konstruktion der Lösung müssen die Randwerte

${{\left.\Phi \left({\bar {r}}\right)\right|}_{F}}$

erraten werden.

Kirchhoffsche Näherung

Beugung an Blenden B in einem ebenen Schirm:

Annahme:

${{\left.\Phi \left({\bar {r}}\right)\right|}_{S}}=0$

Das Potenzial verschwindet auf dem Schirm ( leitender Schirm)

${{\left.\Phi \left({\bar {r}}\right)\right|}_{B}}={\frac {{e}^{ik{{R}^{Q}}}}{{R}^{Q}}}$

freie einfallende Welle -> Kugelwellen in der Blende

Ro rage dabei zum Schwerpunkt der Blende

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-{\frac {i}{\lambda }}\int _{B}^{}{df{\frac {{e}^{ik\left|R+{{R}^{Q}}\right|}}{R{{R}^{Q}}}}}\cos \vartheta \\&\cos \vartheta \approx const.\\\end{aligned}}$

Der Winkel ist näherungsweise konstant für kleine Blenden:

$\lambda <<d$

${\begin{aligned}&{\bar {R}}={\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\\&{{\bar {R}}^{Q}}={\bar {r}}-{{\bar {r}}^{Q}}\\&df={{d}^{2}}r\\\end{aligned}}$

Somit:

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-{\frac {i}{\lambda }}{\frac {\cos {{\vartheta }_{0}}}{{{R}_{0}}{{R}_{0}}^{Q}}}\int _{B}^{}{df}{{e}^{ik\left|R+{{R}^{Q}}\right|}}\\&\cos \vartheta \approx const.\\\end{aligned}}$

im schnell oszillierenden Exponenten darf man R und RQ nicht so ohne weiteres durch Ro / RQo ersetzen !

• typisches Näherungsverfahren in Fernfeldoptik

Grenzfälle

1. Fraunhofersche Beugung ( Fernzone:
2. $\lambda <<d<<R$
3. )

Setze

${\bar {R}}={{\bar {R}}_{0}}+{\bar {s}}$

${{R}^{2}}\approx {{R}_{0}}^{2}+2{{\bar {R}}_{0}}{\bar {s}}$

${\begin{aligned}&\Rightarrow R\approx {{R}_{0}}+{\bar {\alpha }}{\bar {s}}\\&{\bar {\alpha }}:={\frac {{\bar {R}}_{0}}{{R}_{0}}}\\\end{aligned}}$

Analog:

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{R}^{Q}}\approx {{R}_{0}}^{Q}+{{\bar {\alpha }}_{0}}{\bar {s}}\\&{{\bar {\alpha }}_{0}}:={\frac {{{\bar {R}}_{0}}^{Q}}{{{R}_{0}}^{Q}}}\\\end{aligned}}$

$\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\approx -{\frac {i}{\lambda }}{{e}^{ik\left({{R}_{0}}+{{R}_{0}}^{Q}\right)}}{\frac {\cos {{\vartheta }_{0}}}{{{R}_{0}}{{R}_{0}}^{Q}}}\int _{B}^{}{{{d}^{2}}s}{{e}^{ik\left({\bar {\alpha }}+{{\bar {\alpha }}_{0}}\right){\bar {s}}}}$

Fresnelsche Beugung ( Mittelzone:

$\lambda <<R\approx d$

hier:

${{R}^{2}}={{R}_{0}}^{2}+2{{\bar {R}}_{0}}{\bar {s}}+{{s}^{2}}$

nicht genähert !!

Beispiel: Fraunhofersche Beugung am Spalt ( eindimensional):

Bei senkrechtem Einfall gilt:

${{\bar {\alpha }}_{0}}{\bar {s}}=0$

${\begin{aligned}&\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=C\int _{-d/2}^{d/2}{d{{s}_{1}}}{{e}^{ik\alpha {{s}_{1}}}}\\&\alpha :=\sin {{\vartheta }_{0}}\\&{\bar {\alpha }}{\bar {s}}={{s}_{1}}\sin {{\vartheta }_{0}}\\&\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)={\frac {C}{ik\alpha }}\left({{e}^{ik\alpha {\frac {d}{2}}}}-{{e}^{-ik\alpha {\frac {d}{2}}}}\right)\\&\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=Cd{\frac {\sin \left(k\alpha {\frac {d}{2}}\right)}{k\alpha {\frac {d}{2}}}}\\\end{aligned}}$

Die Spaltfunktion, Fouriertransformierte der Rechteckfunktion ( Blende)

Wir finden Beugungsminima bei den Nullstellen des Sinus ( Außer in der Mitte), also

$\sin {{\vartheta }_{0}}=n\cdot {\frac {\lambda }{d}}$

ebenso ( als ÜBUNG !!!) können dann Beugung am Gitter und an kreisförmigen Blenden berechnet werden.

Einwurf: 1. Der holografische Prozess

• 1. Aufzeichnung und Rekonstruktion

Lichtintensität einer Lichtwelle:

$I(x,y)=|O(x,y)|{}^{\text{2}}=O(x,y)\bullet O*(x,y)$

• Phaseninformationen gehen verloren
• Idee: Phaseninfo durch Interferenz aufzeichnen
• Lösung mittels eines Zweistufenprozesses: Aufzeichnung und Rekonstruktion
• Kohärenz erforderlich
• monochromatisches Licht
• unpolarisiertes Licht

1. Schritt: Die Aufzeichnungsphase

• Problem: Speichern komplexer Funktionen in einem reellen Medium
• Überlagerung der Objektwelle

$O(x,y)=|O(x,y)|\bullet \exp(i{{\varphi }_{O}}(x,y))$

• Mit einer Referenzwelle

$R(x,y)=|R(x,y)|\bullet \exp(i{{\varphi }_{R}}(x,y))$

• Auch in diesem Fall werden nur Intensitäten gespeichert. Doch diese sind nun:

$I(x,y)=|O(x,y)+R(x,y)|{}^{\text{2}}\ =\quad |O|{}^{\text{2}}\ +\ |R|{}^{\text{2}}\ +\ OR*\ +\ O*R$

$I(x,y)=|O|{}^{\text{2}}\ +\ |R|{}^{\text{2}}\ +2RO\cos[{{\varphi }_{R}}(x,y)-{{\varphi }_{O}}(x,y)]$

• Diese Intensitätsverteilung kann verstanden werden als " Hologrammfunktion" oder "Aperturefunktion"
• Planare Wellen: Fraunhofer Hologramme
• Divergierende Wellen: Fresnelhologramme
• Im obigen Bild dargestellt: Trägerfrequenzholografie
• Eigentliche Holografie: ohne Trägerfrequenz: Referenzstrahl, in den auch das Objekt gestellt wird.
• Dabei überlagern sich jedoch mehrere Ordnungen.
• Generell: verschiedenste Aufzeichnungstechniken:
• Trägerfrequenzholografie ( wie oben)
• Denisyukhologramm

2. Schritt: Rekonstruktionsphase

• Gleiche Wellenlänge wie bei Aufzeichnung rekonstruiert das Objekt
• Ansonsten: Verzerrung
• Beugung durch Hologrammstrukturen vergleichbar mit Gitter
• Motivation: Gittergeister an Gitterspektrographen
• Das Gitter kann als leeres Hologramm verstanden werden ( Überlagerung zweier ebener Wellen)
• Die Hologrammfunktion / Aperturefunktion ( bei optischen Hologrammen eine Intensitätsfunktion -> reell) moduliert dabei die einfallende Rekonstruktionswelle:

$O{\acute {\ }}=R\cdot I(x,y)=R\cdot (|O|{}^{\text{2}}+|R|{}^{\text{2}})+O\cdot |R|{}^{\text{2}}+R\cdot R\cdot O*$

• Zu beachten: komplexe Funktionen

Fresnel- und Fourier- Hologramme

• Wesentlich für Fourier- Hologramme: Aufzeichnung mittels ebener Wellen
• Linse
• Objekt in weiter Entfernung
• Wesentlich für Fresnelhologramme: Die Objektwelle ist eine Kugelwelle. Das Objekt muss sich also in der Nähe der Hologrammebene befinden.

• Fouriernäherung des Beugungsintegrals
• Fresnel- Näherung des Beugungsintegrals

• 1. Grundlagen der Beugung

• Das Beugungsintegral beschreibt die Lichterregung in der Beobachtungsebene.
• Keine Berücksichtigung der Polarisation
• Voraussetzung: kohärente Beleuchtung

• Die einfallende Welle wird mit der Aperturefunktion A(x1, y1) ( z.B. Amplitudentransparenz einer Blende oder Phasenaddition durch ein Phasenobjekt) multipliziert und dann über den gesamten Raum integriert.

• Fällt das Licht durch ein Hologramm, so muss in die Gleichungen die entsprechende Funktion der Lichttransmission, die das Hologramm beschreibt, gesetzt werden ( Hologramm-/ Aperturefunktion).

• Ausgangspunkt:

Helmholtz- Gleichung

$(\nabla {}^{\text{2}}+k{}^{\text{2}})\,U({\bar {r}})=0$ mit $U({\bar {r}})={\frac {{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}o1}}{ro1}}$

• lauter Kugelwellen in x1/y1

$O(xo,yo){\tilde {\ }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{A(x1,y1)\bullet U({\bar {r}})dx1dy1}}$

$\approx {\tilde {\ }}{\frac {1}{z}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{{e}^{ikr}}\bullet A(x1,y1)}}dx1dy1$

• Komposition des Objekts durch Interferenz aufgrund von Phasenunterschieden im Raum hinter der Blende

Reihenentwicklung des Abstandes als Näherung:

$r={\sqrt {(xo-x1){}^{\text{2}}+(yo-y1){}^{\text{2}}+z{}^{\text{2}}}}$

$\approx z\left[1+{\frac {(xo-x1){}^{\text{2}}+(yo-y1){}^{\text{2}}}{2z{}^{\text{2}}}}\right]$

Fresnel- Näherung:

• Die Hologrammfunktion / Aperturfunktion kodiert das Fresnelsche Beugungsbild

$O(xo,yo)\approx {\tilde {\ }}{\frac {{e}^{ikz}}{z}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{A(x1,y1)}}\bullet {{e}^{{\frac {i\pi }{\lambda z}}\left[(xo-x1){}^{\text{2}}+(yo-y1){}^{\text{2}}\right]}}dx1dy1$

Fraunhofer- Näherung:

• Aufzeichnung allgemein mit Linse
• Zur Aufzeichnung: ebene Welle erforderlich

• Das Integral entspricht einer Fouriertransformation der Hologrammfunktion/ Aperturefunktion

Aufzeichnung:

1.3 Beispiele: Einfach- und Doppelspalt

Hintergrund

• Laufstreckenunterschiede von kohärenten Lichtstrahlen bestimmen Interferenzerscheinungen

Fernfeldnäherungen/ Fouriernäherungen:

• Für schmalen Doppelspalt gilt:

$d\varphi (P)=k\cdot ds=k(r2-r1)\approx k\cdot \sin \theta \cdot a=2\pi \sin \theta \cdot {\frac {a}{\lambda }}$

$\Rightarrow \sin \theta \cdot a=m\lambda$

als Maximabedingung

Sofort ersichtlich:

• Variation des Spaltabstands variiert Phase
• Variation der Spaltbreite variiert Amplitude

• Breiter Spalt: Interferenz der Strahlen untereinander
• 1. Strahl <-> n/2 +1 , 2. Stahl <-> N/2 + 2



$\sin \theta \cdot b=m\lambda$

als Minimabedingung

Der Einfachspalt:

Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:

$O{\tilde {\ }}{\text{sinc(}}{\frac {k}{2}}\cdot b\cdot \sin \theta )$

entspricht Feldverteilung des E-Feldes:

$E{\tilde {\ }}{\text{sinc(}}{\frac {k}{2}}\cdot b\cdot \sin \theta )$

$I(\theta )={{I}_{o}}\cdot {\text{sinc }}\!\!{}^{\text{2}}\!\!{\text{ (}}{\frac {k}{2}}\cdot b\cdot \sin \theta )$

2. Doppelspalt mit endlicher Spaltbreite/ Minimalgitter:

• Lösung Gesamtproblem: Reihe von Beugungsintegralen

Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:

$E{\tilde {\ }}{\text{sinc(}}{\frac {k}{2}}\cdot b\cdot \sin \theta )$

• Entspricht den Beugungserscheinungen an einer Periode

Amplitudenverteilung bei mehreren schmalen Spalten/ Vielstrahlinterferenz:

$E{\tilde {\ }}\left\{{\frac {\sin({\frac {Nka}{2}}\sin(\theta ))}{\sin({\frac {ka}{2}}\sin(\theta ))}}\right\}$

$I(\theta )={{I}_{o}}{\text{sin}}{{\text{c}}^{\text{2}}}{\text{(}}{\frac {k}{2}}\cdot b\cdot \sin \theta )\cdot {{\left\{{\frac {\sin({\frac {Nka}{2}}\sin(\theta ))}{\sin({\frac {ka}{2}}\sin(\theta ))}}\right\}}^{2}}$

• Der Abstand der Spalte ist immer größer als die Breite: a>b
• Die Interferenzstreifen aus Spaltbreite modulieren mit niedriger Frequenz
• Interferenzstreifen aus Spaltanzahl modulieren mit hoher Frequenz
• Für schmale Spalte: Kammfunktion