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| Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math> um das Magnetfeld. | | Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz <math>2{{\omega }_{l}}</math> um das Magnetfeld. |
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| ==Schrödingergleichung für die Spinzustände == | | ==Schrödingergleichung für die Spinzustände== |
| {{Gln|<math>\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| a(t) \right\rangle </math>|Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}} | | {{Gln|<math>\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}\left| a(t) \right\rangle =i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| a(t) \right\rangle </math> '''(Schrödingergleichung für Spinzustände)'''|Schrödinger-Gleichung für Spinzustände}} |
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| Achtung! Nur Spin- Hamiltonian! | | Achtung! Nur Spin- Hamiltonian! |
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| <math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left| \downarrow \right\rangle </math> | | <math>\left| a(t) \right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left| \downarrow \right\rangle </math> |
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| Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben ! | | Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man <math>{{\left\langle {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}} \right\rangle }_{t}}</math>, also die Spinpräzession wie oben! |
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| ===Zustände mit Bahn- und Spinvariablen===
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| Sei nun <math>\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>
| |
| ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
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| <math>\begin{align}
| |
| & \left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle =\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}} \\
| |
| & \left| nlm \right\rangle \in {{H}_{B}} \\
| |
| & \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt.
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| Allgemein gilt für separable oder Produktzustände <math>\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>
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| ( äquivalente Sprechweise):
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| <math>\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>
| |
| | |
| Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math>
| |
| zerlegt werden:
| |
| <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}\left| \downarrow \right\rangle </math>
| |
| | |
| mit
| |
| <math>{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}</math>
| |
| In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand <math>\alpha =1,2</math>
| |
| | |
| In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:
| |
| <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left( \begin{matrix}
| |
| {{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| {{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| \end{matrix} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \begin{matrix}
| |
| \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
| |
| | |
| Mit
| |
| <math>\left( \begin{matrix}
| |
| {{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| {{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
| |
| entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math>
| |
| | |
| Die Vollständigkeit der Zustände <math>\left| \bar{r}\uparrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle ,\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle </math>
| |
| | |
| folgt aus:
| |
| <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\{ \left| \bar{r}\uparrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\uparrow \right|+\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\downarrow \right| \right\}}=1\quad \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}</math>
| |
| | |
| Weiter:
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & \left\langle \bar{r}\uparrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| & \left\langle \bar{r}\downarrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| Also die Komponenten von <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>
| |
| am Ort <math>\bar{r}</math>
| |
| , einmal die Komponente mit Spin <math>\uparrow </math>
| |
| und einmal die Komponente mit Spin <math>\downarrow </math>
| |
| . Dabei gilt:
| |
| {{#ask:[[Kategorie:Mechanik]] [[Abschnitt::0]]
| |
| |format=ol
| |
| |order=ASC
| |
| |sort=Kapitel
| |
| |offset=0
| |
| |limit=20
| |
| }} entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei <math>\bar{r}</math>
| |
| mit Spin <math>\uparrow </math>
| |
| bzw. Spin <math>\downarrow </math>
| |
| zu finden.
| |
| <u>'''Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum'''</u>
| |
| Hamilton- Operator für Bahn:
| |
| <math>{{\hat{H}}_{B}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math>
| |
| Elektron mit Ladung e<0
| |
| Wirkt alleine im Hilbertraum <math>{{H}_{B}}</math>
| |
| | |
| Hamilton- Operator für Spin:
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\hat{H}}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
| |
| & {{\omega }_{l}}=\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
| |
| wirkt dabei nur im Hilbertraum <math>{{H}_{S}}</math>
| |
| | |
| Ohne Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
| |
| :
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| & \alpha =1,2 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in <math>{{H}_{B}}</math>
| |
| :
| |
| Es gilt (äquivalente Darstellung):
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1 \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\
| |
| & \alpha =1,2 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei
| |
| <math>1</math>
| |
| = Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix}
| |
| 1 & 0 \\
| |
| 0 & 1 \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
| |
| | |
| MIT Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
| |
| :
| |
| <math>\left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{{\hat{H}}}_{S}} \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>
| |
| | |
| In Matrix- Darstellung:
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & \left( \begin{matrix}
| |
| {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} & 0 \\
| |
| 0 & {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \\
| |
| \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
| |
| {{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| {{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| \end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix}
| |
| {{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| {{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| \end{matrix} \right) \\
| |
| & \Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| & \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| PAULI- GLEICHUNG
| |
| '''Anwendung'''
| |
| - einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math>
| |
| | |
| <math>\hat{H}={{\hat{H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>
| |
| | |
| Dabei wird durch <math>{{\hat{H}}_{B}}\times 1</math>
| |
| der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & \hat{H}={{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
| |
| & \hat{H}\cong \left[ \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right) \\
| |
| & \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)={{H}_{0}} \\
| |
| & {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm \right\rangle \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm <math>\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)</math>
| |
| eine Korrektur an die Energie.
| |
| '''Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin'''
| |
| <math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>
| |
| | |
| Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math>
| |
| fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
| |
| <math>B\ne 0</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \hat{H}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\} \\
| |
| & {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle =\hbar m\left| nlm \right\rangle \\
| |
| & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle =2{{m}_{S}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \\
| |
| & {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\}=\left[ {{E}_{nl}}-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}\left( m+2{{m}_{s}} \right) \right]\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Das bedeutet:
| |
| teilweise Aufhebung der <math>2(2l+1)</math>
| |
| - fachen Entartung
| |
| ( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !)
| |
| <math>E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>
| |
| | |
| Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment
| |
| <math>{{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>
| |
| | |
| Dabei entspricht
| |
| <math>2</math>
| |
| vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
| |
| Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von <math>{{\mu }_{B}}</math>
| |
| angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):
| |
| Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben !
| |
| Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen !
| |
| '''Tabelle: Landé- Faktoren'''
| |
| '''Teilchen''' '''s''' '''g''' '''Q'''
| |
| '''Elektron''' '''1/2''' '''2''' '''-e'''
| |
| '''Proton''' '''1/2''' '''5,59''' '''e'''
| |
| '''Neutron''' '''1/2''' '''-3,83''' '''0'''
| |
| '''Neutrino''' '''1/2''' '''0''' '''0'''
| |
| '''Photon''' '''1''' '''0''' '''0'''
| |