Dynamik des 2- Zustands- Systems

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Dynamik des 2- Zustands- Systems basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins${\bar {\mu }}$

im äußeren Magnetfeld ${\bar {B}}=B{{\bar {e}}_{3}}$

beträgt:

$V=-{\hat {\bar {\mu }}}\cdot {\bar {B}}$

mit ${\hat {\bar {\mu }}}=+g{\frac {e}{2{{m}_{0}}}}{\hat {\bar {S}}}=+{\frac {e\hbar }{2{{m}_{0}}}}{\hat {\bar {\sigma }}}$

mit g~ 2 und e<0

Somit:

${\hat {V}}=-{\frac {e\hbar }{2{{m}_{0}}}}{\hat {\bar {\sigma }}}\cdot {\bar {B}}=-{\frac {e\hbar B}{2{{m}_{0}}}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}=\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}$

Mit der Larmor- Frequenz ${{\omega }_{l}}:={\frac {|e|B}{2{{m}_{0}}}}$

Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist ${\hat {H}}={\hat {V}}$ der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum). Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator: ${{\hat {\bar {\sigma }}}^{\circ }}={\frac {i}{\hbar }}\left[{\hat {H}},{\hat {\bar {\sigma }}}\right]=i{{\omega }_{l}}\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right]$

Berechnung der Erwartungswerte mit $\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{j}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{k}}\right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{l}}$

${\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle \left[H,{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right]\right\rangle =i{{\omega }_{l}}\left\langle \left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right]\right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle$

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle =-2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle =2{{\omega }_{l}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle \\&{\frac {d}{dt}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle =0\\\end{aligned}}$

Dies läßt sich reduzieren: ${\frac {{d}^{2}}{d{{t}^{2}}}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle +{{\left(2{{\omega }_{l}}\right)}^{2}}\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle =0$ Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene. Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird. Die Lösung der Diffgleichung liefert: ${\begin{aligned}&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}\sin \left(2{{\omega }_{l}}t\right)+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}\cos \left(2{{\omega }_{l}}t\right)\\&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}\cos \left(2{{\omega }_{l}}t\right)-{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}\sin \left(2{{\omega }_{l}}t\right)\\&{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{t}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}\\\end{aligned}}$

Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems ( feste x-y- Ebene) beeinflusst werden. Wähle: o.B. d.A.: ${{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{0}}=0$

Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :

${{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right\rangle }_{t}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{t}}^{2}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}^{2}\left[{{\cos }^{2}}\left(2{{\omega }_{l}}t\right)+{{\sin }^{2}}\left(2{{\omega }_{l}}t\right)\right]+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}^{2}={{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right\rangle }_{0}}^{2}+{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right\rangle }_{0}}^{2}$

Mit anderen Worten:

${{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{t}}\right|}^{2}}={{\left|{{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{}}\right\rangle }_{0}}\right|}^{2}}=const$ , der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !

Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz $2{{\omega }_{l}}$ um das Magnetfeld.

Schrödingergleichung für die Spinzustände ( Pauli- Gleichungen)

$\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|a(t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|a(t)\right\rangle$ Achtung ! Nur Spin- Hamiltonian ! Dabei muss der Zustand $\left|a(t)\right\rangle$ in der Spinbasis entwickelbar sein: $\left|a(t)\right\rangle ={{a}_{1}}(t)\left|\uparrow \right\rangle +{{a}_{2}}(t)\left|\downarrow \right\rangle$

Matrix- Darstellung:

$\hbar {{\omega }_{l}}\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{a}_{1}}(t)\\{{a}_{2}}(t)\\\end{matrix}}\right)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\begin{matrix}{{a}_{1}}(t)\\{{a}_{2}}(t)\\\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow {\begin{matrix}-i{{\omega }_{l}}{{a}_{1}}={{\dot {a}}_{1}}\\i{{\omega }_{l}}{{a}_{2}}={{\dot {a}}_{2}}\\\end{matrix}}$

Die Lösung lautet:

${\begin{aligned}&{{a}_{1}}(t)={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\\&{{a}_{2}}(t)={{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\\\end{aligned}}$

$\left|a(t)\right\rangle ={{a}_{10}}{{e}^{-i{{\omega }_{l}}t}}\left|\uparrow \right\rangle +{{a}_{20}}{{e}^{i{{\omega }_{l}}t}}\left|\downarrow \right\rangle$

Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man ${{\left\langle {{\hat {\bar {\sigma }}}_{j}}\right\rangle }_{t}}$ , also die Spinpräzession wie oben !

Zustände mit Bahn- und Spinvariablen

Sei nun $\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle$ ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt: ${\begin{aligned}&\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle =\left|nlm\right\rangle \left|{{m}_{s}}\right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}\\&\left|nlm\right\rangle \in {{H}_{B}}\\&\left|{{m}_{s}}\right\rangle \in {{H}_{S}}\\\end{aligned}}$

Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt. Allgemein gilt für separable oder Produktzustände $\left|{{n}_{1}}{{n}_{2}}\right\rangle =\left|{{n}_{1}}\right\rangle \left|{{n}_{2}}\right\rangle$ ( äquivalente Sprechweise): $\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}\right|\left|{{n}_{1}}{{n}_{2}}\right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}\right|\left|{{n}_{1}}\right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}\right|\left|{{n}_{2}}\right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}\right|\left|{{n}_{1}}\right\rangle \left\langle {{m}_{2}}\right|\left|{{n}_{2}}\right\rangle$

Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen $\left|\uparrow \right\rangle ,\left|\downarrow \right\rangle$ zerlegt werden: ${{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}={{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\left|\uparrow \right\rangle +{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\left|\downarrow \right\rangle$

mit ${{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r}\left|{\bar {r}}\right\rangle \left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}$ In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand $\alpha =1,2$

In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies: ${{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r}\left|{\bar {r}}\right\rangle \left({\begin{matrix}\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)$

Mit $\left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)$ entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend $\left|\uparrow \right\rangle ,\left|\downarrow \right\rangle$

Die Vollständigkeit der Zustände $\left|{\bar {r}}\uparrow \right\rangle =\left|{\bar {r}}\right\rangle \left|\uparrow \right\rangle ,\left|{\bar {r}}\downarrow \right\rangle =\left|{\bar {r}}\right\rangle \left|\downarrow \right\rangle$

folgt aus: $\int _{}^{}{{{d}^{3}}r\left\{\left|{\bar {r}}\uparrow \right\rangle \left\langle {\bar {r}}\uparrow \right|+\left|{\bar {r}}\downarrow \right\rangle \left\langle {\bar {r}}\downarrow \right|\right\}}=1\quad \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}$

Weiter: ${\begin{aligned}&\left\langle {\bar {r}}\uparrow \right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\&\left\langle {\bar {r}}\downarrow \right|{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar {r}}\right|{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{aligned}}$ Also die Komponenten von ${{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}$ am Ort ${\bar {r}}$ , einmal die Komponente mit Spin $\uparrow$ und einmal die Komponente mit Spin $\downarrow$ . Dabei gilt: {{#ask:Kategorie:Mechanik Abschnitt::0 |format=ol |order=ASC |sort=Kapitel |offset=0 |limit=20 }} entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei ${\bar {r}}$ mit Spin $\uparrow$ bzw. Spin $\downarrow$ zu finden. Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum Hamilton- Operator für Bahn: ${{\hat {H}}_{B}}={\frac {1}{2{{m}_{0}}}}{{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}+V(r)$ Elektron mit Ladung e<0 Wirkt alleine im Hilbertraum ${{H}_{B}}$

Hamilton- Operator für Spin: ${\begin{aligned}&{{\hat {H}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&{{\omega }_{l}}={\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\\\end{aligned}}$

${{\hat {H}}_{S}}$ wirkt dabei nur im Hilbertraum ${{H}_{S}}$

Ohne Berücksichtigung von ${{\hat {H}}_{S}}$

${\begin{aligned}&{{\hat {H}}_{B}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}\\&\alpha =1,2\\\end{aligned}}$

Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in ${{H}_{B}}$

Es gilt (äquivalente Darstellung): ${\begin{aligned}&{{\hat {H}}_{B}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{\alpha }}\right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left({{\hat {H}}_{B}}\times 1\right){{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}\\&\alpha =1,2\\\end{aligned}}$

Dabei $1$ = Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: $1=\left({\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}}\right)$

MIT Berücksichtigung von ${{\hat {H}}_{S}}$

$\left({{\hat {H}}_{B}}\times 1+{{\hat {H}}_{S}}\right){{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|\Psi \right\rangle }_{t}}$

In Matrix- Darstellung: ${\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}{{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}+\hbar {{\omega }_{l}}&0\\0&{{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}-\hbar {{\omega }_{l}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\begin{matrix}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{matrix}}\right)\\&\Leftrightarrow \left({{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}+\hbar {{\omega }_{l}}\right){{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle }_{t}}\\&\left({{\hat {H}}_{{\acute {\ }}B}}-\hbar {{\omega }_{l}}\right){{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{{\left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle }_{t}}\\\end{aligned}}$ PAULI- GLEICHUNG Anwendung - einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld ${\bar {B}}=B{{\bar {e}}_{3}}$

${\hat {H}}={{\hat {H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[{\frac {1}{2{{m}_{0}}}}{{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}+V(r)\right]\times 1-{\frac {\left|e\right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}$

Dabei wird durch ${{\hat {H}}_{B}}\times 1$ der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert. ${\begin{aligned}&{\hat {H}}={{\hat {H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[{\frac {1}{2{{m}_{0}}}}{{\left({\bar {p}}-e{\bar {A}}\right)}^{2}}+V(r)\right]\times 1-{\frac {\left|e\right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&{\hat {H}}\cong \left[{\frac {{\bar {p}}^{2}}{2{{m}_{0}}}}+V(r)\right]\times 1-{\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left({{\hat {L}}_{3}}\times 1+\hbar {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right)\\&{\frac {{\bar {p}}^{2}}{2{{m}_{0}}}}+V(r)={{H}_{0}}\\&{{H}_{0}}\left|nlm\right\rangle ={{E}_{nl}}\left|nlm\right\rangle \\\end{aligned}}$

Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm ${\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left({{\hat {L}}_{3}}\times 1+\hbar {{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right)$ eine Korrektur an die Energie. Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin $\left({{H}_{0}}\times 1\right)\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle ={{E}_{nl}}\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle$

Insgesamt $2\left(2l+1\right)$ fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung $B\neq 0$

${\begin{aligned}&{\hat {H}}\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle ={{H}_{0}}\left|nlm\right\rangle \left|{{m}_{s}}\right\rangle -{\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left\{\left({{\hat {L}}_{3}}\left|nlm\right\rangle \right)\left|{{m}_{s}}\right\rangle +\hbar \left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle \right)\left|nlm\right\rangle \right\}\\&{{\hat {L}}_{3}}\left|nlm\right\rangle =\hbar m\left|nlm\right\rangle \\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle =2{{m}_{S}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle \\&{{H}_{0}}\left|nlm\right\rangle \left|{{m}_{s}}\right\rangle -{\frac {\left|e\right|B}{2{{m}_{0}}}}\left\{\left({{\hat {L}}_{3}}\left|nlm\right\rangle \right)\left|{{m}_{s}}\right\rangle +\hbar \left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|{{m}_{s}}\right\rangle \right)\left|nlm\right\rangle \right\}=\left[{{E}_{nl}}-{\frac {\left|e\right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}}\left(m+2{{m}_{s}}\right)\right]\left|nlm{{m}_{s}}\right\rangle \\\end{aligned}}$

Das bedeutet: teilweise Aufhebung der $2(2l+1)$ - fachen Entartung ( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !) $E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left(m+2{{m}_{s}}\right)$

Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment ${{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left(m+2{{m}_{s}}\right)$

Dabei entspricht $2$ vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben). Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von ${{\mu }_{B}}$ angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ): Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben ! Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen ! Tabelle: Landé- Faktoren Teilchen s g Q Elektron 1/2 2 -e Proton 1/2 5,59 e Neutron 1/2 -3,83 0 Neutrino 1/2 0 0 Photon 1 0 0