Dynamik des 2- Zustands- Systems: Difference between revisions
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Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins<math>\bar{\mu }</math> | Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins<math>\bar{\mu }</math> | ||
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65px|Kein GFDL | Der Artikel Dynamik des 2- Zustands- Systems basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=4|Abschnitt=2}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__
Die potenzielle Energie des magnetischen Moments des Elektronen- Spins
beträgt:
mit g~ 2 und e<0
Somit:
Wenn der Spin an keine weitere Variable ankoppelt, so ist der Hamiltonoperator der Spinvariable ( im Spin- Hilbertraum). Die Dynamik eines Spins im Magnetfeld ergibt sich über den Zeitableitungsoperator:
Berechnung der Erwartungswerte mit
Dies läßt sich reduzieren: Die Dynamik der Spins bildet also einen Oszillator in der x-y- Ebene. Die zeitliche Unabhängigkeit der Spin3- Komponente liegt dabei alleine an der Wahl des Koordinatensystems, bzw. der Basis ! Wir haben diese gerade so gewählt, dass die 3- Komponente zeitlich unabhängig wird. Die Lösung der Diffgleichung liefert:
Die Anfangsbedingungen können ebenfalls durch Wahl des Koordinatensystems ( feste x-y- Ebene) beeinflusst werden. Wähle: o.B. d.A.:
Wir können uns den Betrag des Erwartungswertes des gesamten Spinvektors ansehen und es zeigt sich :
Mit anderen Worten:
, der Betrag des Spins ändert sich zeitlich nicht !
Der Erwartungswert des Spins präzediert also mit der Frequenz um das Magnetfeld.
Schrödingergleichung für die Spinzustände ( Pauli- Gleichungen)
Achtung ! Nur Spin- Hamiltonian ! Dabei muss der Zustand in der Spinbasis entwickelbar sein:
Matrix- Darstellung:
Die Lösung lautet:
Nebenbemerkung: Hieraus gewinnt man , also die Spinpräzession wie oben !
Zustände mit Bahn- und Spinvariablen
Sei nun ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt. Allgemein gilt für separable oder Produktzustände ( äquivalente Sprechweise):
Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen zerlegt werden:
mit In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand
In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:
Mit entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend
Die Vollständigkeit der Zustände
Weiter: Also die Komponenten von am Ort , einmal die Komponente mit Spin und einmal die Komponente mit Spin . Dabei gilt: {{#ask:Kategorie:Mechanik Abschnitt::0 |format=ol |order=ASC |sort=Kapitel |offset=0 |limit=20 }} entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei mit Spin bzw. Spin zu finden. Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum Hamilton- Operator für Bahn: Elektron mit Ladung e<0 Wirkt alleine im Hilbertraum
wirkt dabei nur im Hilbertraum
Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in
Es gilt (äquivalente Darstellung):
Dabei = Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum:
In Matrix- Darstellung: PAULI- GLEICHUNG Anwendung - einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld
Dabei wird durch der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm eine Korrektur an die Energie. Für B=0 -> Eigenzustände mit Spin
Insgesamt fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
Das bedeutet: teilweise Aufhebung der - fachen Entartung ( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !)
Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment
Dabei entspricht vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben). Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ): Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben ! Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen ! Tabelle: Landé- Faktoren Teilchen s g Q Elektron 1/2 2 -e Proton 1/2 5,59 e Neutron 1/2 -3,83 0 Neutrino 1/2 0 0 Photon 1 0 0