Spin- Operatoren und Zustände

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Spin- Operatoren und Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Stern-Gerlach Experiment{{#set:Fachbegriff=Stern-Gerlach Experiment|Index=Stern-Gerlach Experiment}}: (1922)

Für das inhomogene Magnetfeld gilt: $\nabla {{B}_{3}}\bot {\text{Strahl}}$

Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß

${\bar {F}}=\nabla \left({{\mu }_{3}}{{B}_{3}}\right)={{\mu }_{3}}\nabla {{B}_{3}}$

Somit: Ablenkung proportional zu µ3!!

Bahndrehimpuls l ergäbe $2l+1$- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)

Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!

$\Rightarrow {\bar {\mu }}\sim {\bar {S}}$

Eigendrehimpuls (Spin{{#set:Fachbegriff=Spin|Index=Spin}}) des Elektrons !

${{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar$

${\begin{aligned}&{{m}_{S}}=\pm {\frac {1}{2}}\\&l\equiv s={\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}$

Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:

${\begin{aligned}&\Rightarrow {\bar {\mu }}={\frac {+e}{2{{m}_{0}}}}{\bar {S}}\quad e<0\\&\Rightarrow {{\mu }_{3}}={\frac {+e}{2{{m}_{0}}}}{{S}_{3}}=\pm {\frac {+e\hbar }{4{{m}_{0}}}}\\\end{aligned}}$

Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:

${{\mu }_{3}}=+g{\frac {+e}{2{{m}_{0}}}}{{S}_{3}}$

mit g=2,0023 g sogenannter Lande-Faktor{{#set:Fachbegriff=Lande-Faktor|Index=Lande-Faktor}} (gyromagnetischer Faktor)

Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!!

Spin als Freiheitsgrad des Elektrons

Spin-Eigenzustände{{#set:Fachbegriff=Spin-Eigenzustände|Index=Spin-Eigenzustände}}: $\left|{{m}_{s}}\right\rangle \in {{H}_{S}}$

Spin-Hilbertraum{{#set:Fachbegriff=Spin-Hilbertraum|Index=Spin-Hilbertraum}} (zweidimensional !)

Notation:

Spin up

$\left|+{\frac {1}{2}}\right\rangle =\left|\uparrow \right\rangle$

Spin down

$\left|-{\frac {1}{2}}\right\rangle =\left|\downarrow \right\rangle$

Dimensionsloser Spinoperator ${\hat {\bar {\sigma }}}$

Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:

${\begin{aligned}&{{\hat {\bar {S}}}_{3}}\left|\uparrow \right\rangle ={\frac {\hbar }{2}}\left|\uparrow \right\rangle \Rightarrow {\hat {\bar {\sigma }}}\left|\uparrow \right\rangle =\left|\uparrow \right\rangle \\&{{\hat {\bar {S}}}_{3}}\left|\downarrow \right\rangle =-{\frac {\hbar }{2}}\left|\downarrow \right\rangle \Rightarrow {\hat {\bar {\sigma }}}\left|\downarrow \right\rangle =-\left|\downarrow \right\rangle \\\end{aligned}}$

${{\hat {S}}_{3}}$ ist hermitesch

Eigenwerte: $\pm 1$

Orthonormierung: ${\begin{aligned}&\left\langle \uparrow |\uparrow \right\rangle =\left\langle \downarrow |\downarrow \right\rangle =1\\&\left\langle \uparrow |\downarrow \right\rangle =0\\\end{aligned}}$

Vollständigkeit: $\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|+\left|\downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|=1$

Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als

${\begin{aligned}&\left|a(t)\right\rangle =\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow |a(t)\right\rangle +\left|\downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow |a(t)\right\rangle \\&\left\langle \uparrow |a(t)\right\rangle :={{a}_{1}}(t)\\&\left\langle \downarrow |a(t)\right\rangle :={{a}_{2}}(t)\\\end{aligned}}$

Aus:

${\hat {S}}\times {\hat {S}}=i\hbar {\hat {S}}$

(ganz allgemeine Drehimpuls-Vertauschungs-Relation{{#set:Fachbegriff=Drehimpuls-Vertauschungs-Relation|Index=Drehimpuls-Vertauschungs-Relation}})

(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !)

folgt:

${\begin{aligned}&{\hat {\bar {\sigma }}}\times {\hat {\bar {\sigma }}}=2i{\hat {\bar {\sigma }}}\\&\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{j}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{k}}\right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{l}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{\hat {\bar {S}}}^{2}}\left|\uparrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left|\uparrow \right\rangle \Rightarrow s={\frac {1}{2}}\Rightarrow {{\hat {\bar {\sigma }}}^{2}}\left|\uparrow \right\rangle =3\left|\uparrow \right\rangle \\&{{\hat {\bar {S}}}^{2}}\left|\downarrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left|\downarrow \right\rangle \Rightarrow s={\frac {1}{2}}\Rightarrow {{\hat {\bar {\sigma }}}^{2}}\left|\downarrow \right\rangle =3\left|\downarrow \right\rangle \\\end{aligned}}$

Spin-Leiteroperatoren{{#set:Fachbegriff=Spin-Leiteroperatoren|Index=Spin-Leiteroperatoren}}:

${\begin{aligned}&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{\pm }}:={{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\pm i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{+}}\left|\uparrow \right\rangle ={{\hat {\bar {\sigma }}}_{-}}\left|\downarrow \right\rangle =0\\\end{aligned}}$

Somit folgt:

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\left|\uparrow \right\rangle =-i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\left|\uparrow \right\rangle \\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\left|\downarrow \right\rangle =i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\left|\downarrow \right\rangle \\\end{aligned}}$

Andererseits gilt:

${\begin{aligned}&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{+}}\left|\downarrow \right\rangle =\alpha \left|\uparrow \right\rangle \\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{-}}\left|\uparrow \right\rangle =\beta \left|\downarrow \right\rangle \\\end{aligned}}$

Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen !

Berechnung der Koeffizienten $\alpha ,\beta$:

${\begin{aligned}&\alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{+}}^{+}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{+}}\left|\downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}-i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right)\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}+i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right)\left|\downarrow \right\rangle \\&=\left\langle \downarrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}^{2}+{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}^{2}+i\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right]\left|\downarrow \right\rangle \\&\left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}},{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right]=2i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}^{2}+{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}^{2}={{\hat {\bar {\sigma }}}^{2}}-{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}^{2}\\&\Rightarrow \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}^{2}}-{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}^{2}-2{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\left|\downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|3-1+2\left|\downarrow \right\rangle =4\\&\Rightarrow \left|\alpha \right|=2\\\end{aligned}}$

Weiter:

$\left\langle \uparrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{+}}\left|\downarrow \right\rangle =\alpha \left\langle \uparrow |\uparrow \right\rangle =\alpha$

Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:

O.B. d. A.: wähle

$\alpha =\beta =2$

Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt !

So folgt:

${\begin{aligned}&\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}+i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right)\left|\downarrow \right\rangle =\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}+{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right)\left|\downarrow \right\rangle =2\left|\uparrow \right\rangle \\&\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}-i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right)\left|\uparrow \right\rangle =\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}+{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right)\left|\uparrow \right\rangle =2\left|\downarrow \right\rangle \\&\Rightarrow {{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\left|\downarrow \right\rangle =\left|\uparrow \right\rangle \\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\left|\uparrow \right\rangle =\left|\downarrow \right\rangle \\\end{aligned}}$

Außerdem:

${\begin{aligned}&\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}+i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right)\left|\downarrow \right\rangle =\left(i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}+i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right)\left|\downarrow \right\rangle =2\left|\uparrow \right\rangle \\&\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}-i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right)\left|\uparrow \right\rangle =-\left(i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}+i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right)\left|\uparrow \right\rangle =2\left|\downarrow \right\rangle \\&\Rightarrow {{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\left|\downarrow \right\rangle =-i\left|\uparrow \right\rangle \\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\left|\uparrow \right\rangle =i\left|\downarrow \right\rangle \\\end{aligned}}$

Zusammenfassung

	$\left|\uparrow \right\rangle$	$\left|\downarrow \right\rangle$
${{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}$	$\left|\downarrow \right\rangle$	$\left|\uparrow \right\rangle$
${{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}$	$i\left|\downarrow \right\rangle$	$-i\left|\uparrow \right\rangle$
${{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}$	$\left|\uparrow \right\rangle$	$\left|\downarrow \right\rangle$

Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:

(Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):

${\begin{aligned}&{{\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{i}}\right)}_{\alpha \beta }}=\left({\begin{matrix}\left\langle \uparrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{i}}\left|\uparrow \right\rangle &\left\langle \uparrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{i}}\left|\downarrow \right\rangle \\\left\langle \downarrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{i}}\left|\uparrow \right\rangle &\left\langle \downarrow \right|{{\hat {\bar {\sigma }}}_{i}}\left|\downarrow \right\rangle \\\end{matrix}}\right)\\&\alpha ,\beta =1,2\\&i=1,2,3\\\end{aligned}}$

Die Matrizen lassen sich ausschreiben: Paulische Spinmatrizen{{#set:Fachbegriff=Paulische Spinmatrizen|Index=Paulische Spinmatrizen}}:

${\begin{aligned}&{{\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\right)}_{\alpha \beta }}=\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}}\right)\\&{{\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right)}_{\alpha \beta }}=\left({\begin{matrix}0&-i\\i&0\\\end{matrix}}\right)\\&{{\left({{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\right)}_{\alpha \beta }}=\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\\&{\hat {\bar {S}}}=\left({\begin{matrix}\left({\begin{matrix}0&{\frac {\hbar }{2}}\\{\frac {\hbar }{2}}&0\\\end{matrix}}\right)\\\left({\begin{matrix}0&-i{\frac {\hbar }{2}}\\{\frac {\hbar }{2}}&0\\\end{matrix}}\right)\\\left({\begin{matrix}{\frac {\hbar }{2}}&0\\0&-{\frac {\hbar }{2}}\\\end{matrix}}\right)\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Was den bekannten Relationen genügt:

${\begin{aligned}&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}=\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&-i\\i&0\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}-i&0\\0&i\\\end{matrix}}\right)=i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}=\left({\begin{matrix}0&-i\\i&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}}\right)=-i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\&\Rightarrow \left[{{\hat {\bar {\sigma }}}_{1,}}{{\hat {\bar {\sigma }}}_{2}}\right]=2i{{\hat {\bar {\sigma }}}_{3}}\\\end{aligned}}$

erfüllt, .... usw...

S3- Darstellung der Zustände:

${\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}\left\langle \alpha |\uparrow \right\rangle ={{\delta }_{\alpha 1}}\\\left\langle \alpha |\downarrow \right\rangle ={{\delta }_{\alpha 2}}\\\end{matrix}}\right)\\&\left|\uparrow \right\rangle =\left({\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}}\right)\\&\left|\downarrow \right\rangle =\left({\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Dabei kennzeichnen $\left|\uparrow \right\rangle =\left({\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}}\right),\left|\downarrow \right\rangle =\left({\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}}\right)$ die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren)

${\begin{aligned}&\left\langle \uparrow \right|=\left(1,0\right)\\&\left\langle \downarrow \right|=\left(0,1\right)\\\end{aligned}}$ Zeilenvektoren ( transponiert)

$\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}}\right)$

was äquivalent ist zu

${{\hat {\bar {\sigma }}}_{1}}\left|\uparrow \right\rangle =\left|\downarrow \right\rangle$