Generalisierte Koordinaten

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Generalisierte Koordinaten basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen

$f_{\lambda }({\overrightarrow{r}}_1(t),{\overrightarrow{r}}_2(t),{\overrightarrow{r}}_3(t),...{\overrightarrow{r}}_N(t),t)=0\lambda =1,...\nu f\ddot{u}rallet$

gekoppelte Koordinaten vor ( die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).

Somit können die Punktkoordinaten

$\{{\overrightarrow{r}}_1(t),{\overrightarrow{r}}_2(t),{\overrightarrow{r}}_3(t),...{\overrightarrow{r}}_N(t)\}$ nicht unabhängig voneinander variiert werden.

Ziel:

Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren:

$\{q_1(t),q_2(t),...q_f(t)\}f=1,2,...3N-\nu$

Anschließend können Bewegungsgleichungen für die $\{q_1(t),q_2(t),...q_f(t)\}f=1,2,...3N-\nu$ aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.

Wesentlich: Die $\{q_1(t),q_2(t),...q_f(t)\}f=1,2,...3N-\nu$ sind FREI variierbar ! Wegen

${\overrightarrow{r}}_i={\overrightarrow{r}}_i(q_1(t),q_2(t),...q_f(t))f=1,2,...3N-\nu$ sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.

Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene:

$\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_o(t))=0$

Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem $\overline{e}{\stackrel{´}{}}_1,\overline{e}{\stackrel{´}{}}_2$

Für den Radiusvektor existiert dann eine Verallgemeinerung:

$\overline{r}={\overline{r}}_o(t)+q_1\overline{e}{\stackrel{´}{}}_1+q_2\overline{e}{\stackrel{´}{}}_2$

Somit existiert eine injektive Abbildung der Koordinaten und wir können als generalisierte Koordinaten bestimmen:

$\{q_1,q_2\}$ , f=2

Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:

$\begin{array}{ll}& \overline{r}=R(\cos \varphi {\overline{e}}_1+\sin \varphi {\overline{e}}_2)\\ & q=\varphi \\ & f=1\\ \end{array}$

Virtuelle Verrückungen

müssen nun auch in den generalisierten Koordinaten ausgedrückt werden, also:

$\delta {\overline{r}}_i$ wird ausgedrückt durch $\delta q_1,...,\delta qf$

Betrachten wir eine reale Verrückung ( in der Zeit), so gilt:

${\overrightarrow{v}}_i=\frac{d}{dt}{\overline{r}}_i=\sum _{j=1}^f\left(\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial q_j}{\dot{q}}_j\right)+\frac{\partial }{\partial t}{\overline{r}}_i$

Daraus ergibt sich jedoch die Gleichung:

$\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}{\overrightarrow{v}}_i=\frac{\partial }{\partial {\dot{q}}_j}{[\sum _{j=1}^f\left(\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial q_j}{\dot{q}}_j\right)+\frac{\partial }{\partial t}{\overline{r}}_i]}_{}=\frac{\partial }{\partial q_j}{\overline{r}}_i(q_1,...,q_f,t)$

Mit diesen Gleichung kann die Virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:

$\sum _i^{}{\overrightarrow{X}}_i\delta {\overrightarrow{r}}_i=\sum _j\left\{\sum _i^{}{\overrightarrow{X}}_i\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial q_j}\right\}\delta q_j^{}=\sum _{j=1}^f{Q}_j\delta q_j^{}$

Somit kann man als Ausdruck für die verallgemeinerte Kraft angeben:

$Q_j=\sum _i^{}{\overrightarrow{X}}_i\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial q_j}$

Sind die eingeprägten Kräfte konservativ:

${\overrightarrow{X}}_i=-{\mathrm{\nabla }}_{\overrightarrow{r}i}V({\overline{r}}_1,{\overline{r}}_2,...,{\overline{r}}_N)$

So folgt:

$-\frac{\partial V}{\partial q_j}=-\sum _i^{}{\mathrm{\nabla }}_{\overrightarrow{r}i}V({\overline{r}}_1,{\overline{r}}_2,...,{\overline{r}}_N)\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial q_j}=\sum _i^{}{\overrightarrow{X}}_i\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial q_j}=Q_j$

Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein Potenzial, natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte !