SchwingendeRollendeWagen: Difference between revisions

Revision as of 19:45, 21 December 2010

Das im Bild dargestellte System besteht aus zwei Wagen mit einer Feder.

Für t < 0 befindet sich das System unter Wirkung der Kraft $F = 1, 3 k N$ im Gleichgewicht, die die Feder mit der Federsteifigkeit $k = 2500 N / m$ ist zusammengedrückt. Für $t = 0$ wird die Kraft F plötzlich entfernt und die Wagen setzen sich in Bewegung. Die Masse des Wagens A ist gegeben mit $m_{A} = 1, 2 k g$ und die von B mit $m_{B} = 0, 6 k g$ .

a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit $v_{B}$ , mit der sich der Wagen B nach dem Ablösen von A bewegt.

Lösung

Verwendete Formeln: ^[1]^[2]Auflösung von Federkraft{{#set:Fachbegriff=Federkraft|Index=Federkraft}} und Energieerhaltung{{#set:Fachbegriff=Energieerhaltung|Index=Energieerhaltung}} nach x und v Mathematica Rechnung:

N[F] = 1300; N@k = 2500; N@mA = 1.2; N@mB = 0.6; v =.; x =.

{x, v} = {x, v} /. 

  Solve[{k x == F, 1/2 k x^2 == 1/2 (mA + mB) v^2}, {v, x}][[2]]

N@v

Zahlenwert:Zahlenwert::19.3793 in Einheit::m/s

b) Wagen B prallt zentral auf einen ruhenden Wagen C der Masse mC = 1 kg. Wagen B kommt komplett zum stehen (inelastischer Stoß). Wie schnell fährt Wagen C?

Lösung

Verwendete Formeln: ^[3] Impulserhaltung{{#set:Fachbegriff=Impulserhaltung|Index=Impulserhaltung}} Mathematica Rechnung:

N@mC = 1; v2 =.

v2 = v2 /. Solve[mB v == mC v2, v2][[1]]

N@v2

Zahlenwert:Zahlenwert::11.6276 in Einheit::m/s

c) Geben Sie die Differentialgleichung an, mit der der Wagen A harmonisch schwingt. (Beachten Sie, dass der Wagen B sich abgelöst hat.)

Lösung

Verwendete Formeln: ^[4]^[5]^[6]^[7] $m \dot{\dot{x}} = - k x$

d) Mit welcher Frequenz schwingt der Wagen A nach dem Ablösen?

Lösung

Verwendete Formeln: ^[8]es handelt sich um ein Federpendel Mathematica Rechnung:

Clear[x];

DSolve[mA D[x[t], {t, 2}] == -k x[t], x[t], t]
N[Sqrt[k/mA]]

Zahlenwert:Zahlenwert::45.6435 in Einheit::1/s Abschlussbemerkung:Die Lösung der Differtialgleichung lautet $x (t) \to c_{2} \sin (\frac{\sqrt{k} t}{\sqrt{m_{A}}}) + c_{1} \cos (\frac{\sqrt{k} t}{\sqrt{m_{A}}})$ Die Kreisfrequenz{{#set:Fachbegriff=Kreisfrequenz|Index=Kreisfrequenz}} ist der Vorfaktor vor dem t. Man kann das Ergebnis noch durch 2 /pi teilen um die "normale" Frequenz zu erhalten (11.4109)

e) Berechnen Sie die Frequenz ω, wenn Wagen A mit β =r/2m =15 s^(-1) gebremst würde.

Lösung

Verwendete Formeln: ^[9] Mathematica Rechnung:

r =.;
DSolve[mA x''[t] == -k x[t] - r x'[t], x[t], t]
N@\[Beta] = 15;
r = \[Beta] 2 mA
N@(Sqrt[4 k mA - r^2]/(2 mA))

Zahlenwert:Zahlenwert::43.1084 in Einheit::1/s Abschlussbemerkung:Die Lösung der Differtialgleichung lautet

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle x(t)\to c_1 e^{\frac{t \left(-\sqrt{r^2-4 k m_A}-r\right)}{2 m_A}}+c_2 e^{\frac{t \left(\sqrt{r^2-4 k m_A}-r\right)}{2 m_A}} . $ν = 6.86091 \frac{1}{s}$

Fakten zur Klausuraufgabe SchwingendeRollendeWagen

Quellen

↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5 {{#set:PhIng=3.5}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5.E {{#set:PhIng=3.5.E}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.2 {{#set:PhIng=2.2}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.4 {{#set:PhIng=2.4}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.2 {{#set:PhIng=2.2}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 1.7 {{#set:PhIng=1.7}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5 {{#set:PhIng=3.5}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 4.29 {{#set:PhIng=4.29}}
↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 4.33 {{#set:PhIng=4.33}}

Datum: {{#arraymap:SS08|,|x|KADatum::x}}
Aufgabe: {{#arraymap:4|,|x|KAAufgabe::x}}
Abschnitt: {{#arraymap:MSW|,|x|KAAbschnitt::x}}
Punkte: KAPunkte::10
Tutorium: KATut::

Semantische Daten

{{#ask:Spezial:Browse/SchwingendeRollendeWagen|format=embedded}} coming soon klick the link above

Kategorie:Klausuraufgabe

[1] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5 {{#set:PhIng=3.5}}

[2] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5.E {{#set:PhIng=3.5.E}}

[3] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.2 {{#set:PhIng=2.2}}

[4] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.4 {{#set:PhIng=2.4}}

[5] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 2.2 {{#set:PhIng=2.2}}

[6] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 1.7 {{#set:PhIng=1.7}}

[7] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 3.5 {{#set:PhIng=3.5}}

[8] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 4.29 {{#set:PhIng=4.29}}

[9] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung 4.33 {{#set:PhIng=4.33}}

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@@ Line 30: / Line 30: @@
 DSolve[mA D[x[t], {t, 2}] == -k x[t], x[t], t]
-N[Sqrt[k/mA]]|Zahl=45.6435|Einheit=1/s|Ende=Die Lösung der Differtialgleichung lautet <math>x(t)\to c_2 \sin \left(\frac{\sqrt{k} t}{\sqrt{\text{mA}}}\right)+c_1 \cos \left(\frac{\sqrt{k} t}{\sqrt{\text{mA}}}\right)</math> Die {{FB|Kreisfrequenz}} ist der Vorfaktor vor dem t. Man kann das Ergebnis noch durch 2 /pi teilen um die "normale" Frequenz zu erhalten (11.4109) }}
+N[Sqrt[k/mA]]|Zahl=45.6435|Einheit=1/s|Ende=Die Lösung der Differtialgleichung lautet <math>x(t)\to c_2 \sin \left(\frac{\sqrt{k} t}{\sqrt{m_A}}\right)+c_1 \cos \left(\frac{\sqrt{k} t}{\sqrt{m_A}}\right)</math> Die {{FB|Kreisfrequenz}} ist der Vorfaktor vor dem t. Man kann das Ergebnis noch durch 2 /pi teilen um die "normale" Frequenz zu erhalten (11.4109) }}
 e)	Berechnen Sie die Frequenz ω, wenn Wagen A mit β =r/2m  =15 s^(-1) gebremst würde.
 {{Lösung|{{PhIngGl|4.33}}|Code=
@@ Line 39: / Line 39: @@
 N@(Sqrt[4 k mA - r^2]/(2 mA))|Zahl=43.1084|Einheit=1/s|Ende=Die Lösung der Differtialgleichung lautet
-<math>x(t)\to c_1 e^{\frac{t \left(-\sqrt{r^2-4 k \text{mA}}-r\right)}{2 \text{mA}}}+c_2 e^{\frac{t \left(\sqrt{r^2-4 k \text{mA}}-r\right)}{2 \text{mA}</math>. <math>\nu=6.86091 \frac{1}{s}</math>}}
+<math>x(t)\to c_1 e^{\frac{t \left(-\sqrt{r^2-4 k m_A}-r\right)}{2 m_A}}+c_2 e^{\frac{t \left(\sqrt{r^2-4 k m_A}-r\right)}{2 m_A}</math>. <math>\nu=6.86091 \frac{1}{s}</math>}}
 {{Klausuraufgabe

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