Klein Gordon und Relativität

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

65px|Kein GFDL

Der Artikel Klein Gordon und Relativität basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. T. Brandes|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=2}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

Einstein (SRT):

• gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen
• Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe

miniatur| Geschwindigkeit v parallel zu x Beispiel: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz $\left|r\right|=ct$zurück.

$r^2-c^2{t}^2=0$

(in S)

(1.9)

Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten $({{\underset{\_}{r}}^{\prime }}^{\prime },{t^{\prime }}^{\prime })$ in S‘, für die gilt

${{r^{\prime }}^{\prime }}^2-{\underset{={c^{\prime }}^{\prime }}{\underbrace{c}}}^2{{t^{\prime }}^{\prime }}^2=0$

(in S‘)

(1.10)

Die Transformation der Koordinaten erfolgt nach der Lorentz-Transformation{{#set:Fachbegriff=Lorentz-Transformation|Index=Lorentz-Transformation}}

$\left(\begin{array}{rl}& {x^{\prime }}^{\prime }\\ & c{t^{\prime }}^{\prime }\\ \end{array}\right)=\gamma \left(\begin{array}{cc}1& -\beta \\ -\beta & 1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rl}& x\\ & ct\\ \end{array}\right)$

(1.11)

mit

$\beta =\frac{v}{c}\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$

Daraus folgt (mit v → -v) (CHECK)

$\left(\begin{array}{rl}& x\\ & ct\\ \end{array}\right)=\gamma \left(\begin{array}{cc}1& \beta \\ \beta & 1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rl}& {x^{\prime }}^{\prime }\\ & c{t^{\prime }}^{\prime }\\ \end{array}\right)$

(1.12)

Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10)

$\begin{array}{rl}& \underset{\_}{{{x^{\prime }}^{\prime }}^2-c^2{{t^{\prime }}^{\prime }}^2}=\left(\begin{array}{cc}{x^{\prime }}^{\prime }& c{t^{\prime }}^{\prime }\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rl}& {x^{\prime }}^{\prime }\\ & c{t^{\prime }}^{\prime }\\ \end{array}\right)={\gamma }^2\left(\begin{array}{cc}x& ct\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -\beta \\ -\beta & 1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -\beta \\ -\beta & 1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rl}& x\\ & ct\\ \end{array}\right)\\ & ={\gamma }^2\left(\begin{array}{cc}x& ct\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1-{\beta }^2& 0\\ 0& -1+{\beta }^2\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rl}& x\\ & ct\\ \end{array}\right)=\underset{\_}{x^2-c^2{t}^2}\end{array}$

• Unter Lorentz-Transformation bleibt $r^2-c^2{t}^2$ invariant.
• Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges$\underset{\_}{r}$.
• Insbesondere bleiben die Lichtabstände{{#set:Fachbegriff=Lichtabstände|Index=Lichtabstände}} $r^2-c^2{t}^2=0$ invariant.

Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT)

Wellengleichung{{#set:Fachbegriff=Wellengleichung|Index=Wellengleichung}} für skalares klassisches Feld $\phi (\underset{\_}{x},t)$

in S:$\underset{◻}{\underbrace{(c^{-2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-{\mathrm{\nabla }}^2)}}\varphi (\underset{\_}{x},t)=0$ in S':$\underset{{{◻}^{\prime }}^{\prime }}{\underbrace{(c^{-2}\underset{{t^{\prime }}^{\prime }}{\overset{2}{\partial }}-{{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }}^{\prime }}^2)}}\varphi ({{\underset{\_}{x}}^{\prime }}^{\prime },{t^{\prime }}^{\prime })=0$

(1.13)

mit ${\mathrm{\nabla }}^2=\underset{x_1}{\overset{{}^2}{\partial }}+\underset{x_2}{\overset{{}^2}{\partial }}+...{{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }}^{\prime }}^2=\underset{{{x^{\prime }}^{\prime }}_1}{\overset{{}^2}{\partial }}+\underset{{{x^{\prime }}^{\prime }}_2}{\overset{{}^2}{\partial }}+...$ und selben c.

Zeige dass unter Lorentz-Transformation $◻$in $◻\text{'}$übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S.

Hierzu

$\begin{array}{rl}& {\partial }_x={\partial }_x\left({x^{\prime }}^{\prime }\right){\partial }_{{x^{\prime }}^{\prime }}+{\partial }_x\left({t^{\prime }}^{\prime }\right){\partial }_{{t^{\prime }}^{\prime }}=\gamma {\partial }_{{x^{\prime }}^{\prime }}-\frac{\gamma \beta }{c}{\partial }_{{t^{\prime }}^{\prime }}\\ & \underset{x}{\overset{2}{\partial }}={\partial }_x{\partial }_x=\{\gamma {\partial }_{{x^{\prime }}^{\prime }}-\frac{\gamma \beta }{c}{\partial }_{{t^{\prime }}^{\prime }}\}\{\gamma {\partial }_{{x^{\prime }}^{\prime }}-\frac{\gamma \beta }{c}{\partial }_{{t^{\prime }}^{\prime }}\}\\ & \underset{t}{\overset{2}{\partial }}\text{analog}\\ \end{array}$

AUFGABE

• d’Alembert-Operator $◻=c^{-2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-\mathrm{\Delta }$ist invariant unter LT
• Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT.

Lösungen der Klein Gordon Gleichung

Sind ebene Wellenebene Wellen:SRT{{#set:Fachbegriff=ebene Wellen:SRT|Index=ebene Wellen:SRT}} (und deren Überlagerungen):

$\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)=e^{\mp \frac{\mathfrak{i}}{\hslash }\sqrt{m^2{c}^4+p^2{c}^2}t+i\underset{\_}{p}.\underset{\_}{x}}$

(1.14)

mit

$\begin{array}{rl}& -:\text{ negative Energie +}\sqrt{}\\ & +:\text{ postivive Energie -}\sqrt{}\\ \end{array}$

Literatur

LITERATUR: SKRIPT SCHLICKEISER (QMII BOCHUM), LEHRBUCH SCHWINGER (CLASSICAL ELECTRODYNAMICS)

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