Dynamik des statistischen Operators

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

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Der Artikel Dynamik des statistischen Operators basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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Suche eine Gleichung für

$\rho \left(t\right)=\sum _i{w}_i|{\mathrm{\Psi }}_i⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_i|$

$\begin{array}{rl}& \rho \left(t\right)=\sum _i{w}_i|{\mathrm{\Psi }}_i⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_i|\\ & \text{S}\text{.GL:}i\hslash {\partial }_t|{\mathrm{\Psi }}_i⟩=H|{\mathrm{\Psi }}_i⟩|\sum _i{w}_i⟨{\mathrm{\Psi }}_i|\\ & \text{h}\text{.c}:-i\hslash {\partial }_t⟨{\mathrm{\Psi }}_i|=⟨{\mathrm{\Psi }}_i|H|\sum _i{w}_i⟨{\mathrm{\Psi }}_i|\\ & \Rightarrow i\hslash {\partial }_t\sum _i{w}_i⟨{\mathrm{\Psi }}_i||{\mathrm{\Psi }}_i⟩=\sum _i{w}_i(H|{\mathrm{\Psi }}_i⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_i|-|{\mathrm{\Psi }}_i⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_i|H)\\ \end{array}$

$i\hslash {\partial }_t\rho =[H,\rho ]$ von Neumanngleichung für die Dynamik des statistischen Operators

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$\text{H}={\text{H}}_s+H_S^{\alpha }\left(t\right)$

$|{\mathrm{\Psi }}_i⟩$ wirkt nur im System!

oder

$i\hslash {\partial }_t\mathrm{Tr}\left(\rho O_s\right)=\mathrm{Tr}\left([H,\rho ]O_s\right)$

erinnert an Heisenbergsche Bewegungsgleichung

aber Vorsicht ist keine: sind Schrödingerbild und 1 anderes Vorzeichen

Die von Neumanngleichung tritt an die Stelle der Schrödingergleichung in der statistischen Physik. (Bedeutungsgesmäß)

Bewegungsgleichung der Dichtematrixelemente

• was kann man mit

${\rho }_{nn}=,⟨n|\rho |n⟩$ (kann ich damit etwas) anfangen?

• in Quantenmechanik: $p_n=⟨{\mathrm{\Psi }}_{i0}|n⟩⟨n|{\mathrm{\Psi }}_{i0}⟩$ ist Wahrscheinlichkeit bei Messung das System im Zustand $|n⟩$ zu finden, wenn $|{\mathrm{\Psi }}_{i0}⟩$ vorliegt
• in der Statistik: $\begin{array}{rl}& p_n=\mathrm{Tr}\left(\rho |n⟩⟨n|\right)\\ & =\sum _j⟨j|\sum _i{w}_i|{\mathrm{\Psi }}_i⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_i||n⟩⟨n|j⟩\\ & =\sum _j\underset{1}{\underbrace{⟨j|j⟩}}\sum _i⟨{\mathrm{\Psi }}_i|n⟩⟨n|w_i|{\mathrm{\Psi }}_i⟩\\ & =\sum _i{w}_i⟨n|{\mathrm{\Psi }}_i⟩⟨{\mathrm{\Psi }}_i|n⟩=⟨n|\rho |n⟩\end{array}$ Der Wert $⟨n|\rho |n⟩$ stellt die Wahrscheinlichkeit dar, System im Zustand $|n⟩$ bei einer Messung zu finden. (Observable mit eigensystem $|n⟩$).

Interpreation der Dichtematrixelmente

$p_n=\mathrm{Tr}\left(\rho |n⟩⟨n|\right)={\rho }_{nn}\equiv {\rho }_n$

Wahrschienlichkeit System im Eigenzustand $|n⟩$, von z.B

$H_n|n⟩={\epsilon }_n|n⟩$ zu finden

$p_{nm}=\mathrm{Tr}\left(\rho |n⟩⟨m|\right)={\rho }_{nm}$

Übergangswahrscheinlichkeitsamplituden von $|n⟩\to |m⟩$

Was man braucht um $⟨O_s⟩$ zu berechnen sind ${\rho }_{nm}(t)$, für $m=n$ und auch für $n\ne m$.

Gleichungen dafür sind Dichtematrixgleichungen: aus von Neumanngleichung

$i\hslash {\partial }_t\rho =[H,\rho ]\to {\dot{\rho }}_{nn},{\dot{\rho }}_{nm}=?$

$⟨n|\dots |n⟩$

also

$\begin{array}{rl}& i\hslash {\partial }_t{\rho }_{nn}\left(t\right)=⟨n|[H,\rho ]|n⟩\\ & =\sum _m(⟨n|H|m⟩⟨m|\rho |n⟩-⟨n|\rho |m⟩⟨m|H|n⟩)\\ & i\hslash {\partial }_t{\rho }_{nn}\left(t\right)=\sum _m(H_{nm}{\rho }_{mn}-{\rho }_{nm}{H}_{mn})\end{array}$

Die Bewegungsgleichung für

${\rho }_{nn}\equiv {\rho }_n$ koppelt an ${\rho }_{nm}(n\ne m)$ braucht also Gleichung für ${\rho }_{nm}$ analog $\sum _i|i⟩⟨i|$ einschieben

$i\hslash {\partial }_t{\rho }_{mn}\left(t\right)=\sum _i(H_{mi}{\rho }_{in}-{\rho }_{mi}{H}_{in})$

man hat ein geschlossens Gleichunssystem für

${\rho }_{mn}$ die Dichtematrix in der Darstellung von dem Eigenwertproblem

$H_n|n⟩={\epsilon }_n|n⟩$

$\text{H}={\text{H}}_s+\underset{\begin{array}{c}\text{externe Felder sind}\\ \text{ nicht diagonal}\end{array}}{\underbrace{H_S^{\alpha }}}$

Interpretation:

((Kennen Siv in Fermis Goldener Regel ohne Umgebung))

wenn H_{ij} bekannt wären, könnte man bei bekannten Anfangsbedingungen System lösen, daher ist der nsch Schritt. Siehe nächstes Kapitel.