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| # '''gebundene Ladungen ( In Isolatoren)''' | | # '''gebundene Ladungen (In Isolatoren)''' |
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| * '''Polarisierung im '''<u>'''E- '''</u>'''Feld''' | | * '''Polarisierung im '''<u>'''E- '''</u>'''Feld''' |
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| # '''Für '''<u>'''E '''</u>=0 vorhandene mikroskopische Dipole <u>p</u> werden zur Minimierung der potenziellen Energie | | # '''Für '''<u>'''E '''</u>=0 vorhandene mikroskopische Dipole <u>p</u> werden zur Minimierung der potenziellen Energie |
| Wel.=-<u>p</u> <u>E</u> | | Wel.=-<u>p</u> <u>E</u> |
| vorzugsweise ( entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu <u>E </u>orientiert ( z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten !) | | vorzugsweise (entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu <u>E </u>orientiert (z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten!) |
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| # Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch <u>E </u> durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu <u>E</u> parallel ausgerichtet sind: | | # Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch <u>E </u> durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu <u>E</u> parallel ausgerichtet sind: |
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| :<math>\bar{p}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho \left( {\bar{r}} \right)\bar{r}\ne 0</math> | | :<math>\bar{p}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho \left( {\bar{r}} \right)\bar{r}\ne 0</math> |
| nach Einschalten des Feldes. | | nach Einschalten des Feldes. |
| Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt ! | | Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt! |
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| :<math>\bar{D}(\bar{r},t)=\left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)</math> | | :<math>\bar{D}(\bar{r},t)=\left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)</math> |
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| Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen ( ohne Polarisationsladungen) auftreten: | | Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen (ohne Polarisationsladungen) auftreten: |
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| :<math>\nabla \cdot \bar{D}=\rho </math> | | :<math>\nabla \cdot \bar{D}=\rho </math> |
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| Denn ( bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist): | | Denn (bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist): |
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| :<math>\oint_{\partial V}{{}}\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}</math> | | :<math>\oint_{\partial V}{{}}\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}</math> |
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| = Polarisationsladung, die V verläßt ! | | = Polarisationsladung, die V verläßt! |
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| <u>'''Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:'''</u> | | <u>'''Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:'''</u> |
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| :<math>{{\rho }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math> | | :<math>{{\rho }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math> |
| ( mikroskopische Ladungsdichte) | | (mikroskopische Ladungsdichte) |
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| :<math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{p}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math> | | :<math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{p}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math> |
| ( mikroskopische Dipoldichte) mit: | | (mikroskopische Dipoldichte) mit: |
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| :<math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}}</math> | | :<math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}}</math> |
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| :<math>\rho \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math> | | :<math>\rho \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math> |
| ( makroskopische Ladungsdichte) | | (makroskopische Ladungsdichte) |
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| :<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math> | | :<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math> |
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| Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION !! | | Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION!! |
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| '''Beweis:''' | | '''Beweis:''' |
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| :<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | | :<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> |
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| wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist ! | | wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist! |
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| Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß | | Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß |
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| :<math>\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)=\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)</math> | | :<math>\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)=\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)</math> |
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| Die makroskopische Ladungsdichte ist ! | | Die makroskopische Ladungsdichte ist! |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| :<math>{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+Korrektur</math> | | :<math>{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+Korrektur</math> |
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| Dabei haben wir das Problem , dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen: | | Dabei haben wir das Problem, dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen: |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
65px|Kein GFDL
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Der Artikel Polarisation basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=1}}
Kategorie:Elektrodynamik
__SHOWFACTBOX__
Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine
- freie Ladungsträger
Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern
- Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft
- gebundene Ladungen (In Isolatoren)
- Für E =0 vorhandene mikroskopische Dipole p werden zur Minimierung der potenziellen Energie
Wel.=-p E
vorzugsweise (entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu E orientiert (z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten!)
- Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch E durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu E parallel ausgerichtet sind:
nach Einschalten des Feldes.
Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt!
Makroskopische räumliche Mittelung
Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen
Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld
gemäß
Das resultierende Gesamtfeld lautet:
Mit der freien Ladungsdichte
Also:
Die Polarisation selbst bestimmt sich nach
ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind.
Somit:
Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir
Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen (ohne Polarisationsladungen) auftreten:
Wir bezeichnen mit
die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird:
Denn (bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):
= Polarisationsladung, die V verläßt!
Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:
(mikroskopische Ladungsdichte)
(mikroskopische Dipoldichte) mit:
Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen
Längenskala der makroskopischen Dichtevariation
Somit:
(makroskopische Ladungsdichte)
Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION!!
Beweis:
Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial:
wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist!
Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß
Wobei
Die makroskopische Ladungsdichte ist!
Analog:
Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole
mit dem mikroskopischen Dipolmoment
Analog:
mit der mikroskopischen Dipoldichte
Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial:
Umformung:
Dabei haben wir das Problem, dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:
Also folgt für das Potenzial:
Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte
Damit können wir die makroskopische Dipoldichte
mit der durch
bzw.
definierten Polarisation identifizieren.