Polarisation: Difference between revisions
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*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
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* Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft | * Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft | ||
<math>\bar{K}=q\left[ \bar{E}+\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \right]</math> | :<math>\bar{K}=q\left[ \bar{E}+\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \right]</math> | ||
* elektrische Ströme -> Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit | * elektrische Ströme -> Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit | ||
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# Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch <u>E </u> durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu <u>E</u> parallel ausgerichtet sind: | # Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch <u>E </u> durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu <u>E</u> parallel ausgerichtet sind: | ||
<math>\bar{p}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho \left( {\bar{r}} \right)\bar{r}\ne 0</math> | :<math>\bar{p}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho \left( {\bar{r}} \right)\bar{r}\ne 0</math> | ||
nach Einschalten des Feldes. | nach Einschalten des Feldes. | ||
Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt ! | Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt ! | ||
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Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld | Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\ | & \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\ | ||
& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\ | & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
gemäß | gemäß | ||
<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{\bar{E}}_{p}}={{\rho }_{P}}</math> | :<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{\bar{E}}_{p}}={{\rho }_{P}}</math> | ||
Das resultierende Gesamtfeld lautet: | Das resultierende Gesamtfeld lautet: | ||
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& \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\ | & \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\ | ||
& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\ | & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\ | ||
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Mit der freien Ladungsdichte | Mit der freien Ladungsdichte | ||
<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho </math> | :<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho </math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }=\rho +{{\rho }_{P}}</math> | :<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }=\rho +{{\rho }_{P}}</math> | ||
Die Polarisation selbst bestimmt sich nach | Die Polarisation selbst bestimmt sich nach | ||
<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right):=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right):=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind. | ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind. | ||
Line 67: | Line 67: | ||
Somit: | Somit: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)=\rho \\ | & \nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)=\rho \\ | ||
& \nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{P}} \\ | & \nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{P}} \\ | ||
Line 74: | Line 74: | ||
Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir | Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir | ||
<math>\bar{D}(\bar{r},t)=\left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)</math> | :<math>\bar{D}(\bar{r},t)=\left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)</math> | ||
Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen ( ohne Polarisationsladungen) auftreten: | Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen ( ohne Polarisationsladungen) auftreten: | ||
<math>\nabla \cdot \bar{D}=\rho </math> | :<math>\nabla \cdot \bar{D}=\rho </math> | ||
Wir bezeichnen mit | Wir bezeichnen mit | ||
<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=d{{Q}_{P}}</math> | :<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=d{{Q}_{P}}</math> | ||
die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird: | die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird: | ||
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Denn ( bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist): | Denn ( bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist): | ||
<math>\oint_{\partial V}{{}}\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}</math> | :<math>\oint_{\partial V}{{}}\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}</math> | ||
= Polarisationsladung, die V verläßt ! | = Polarisationsladung, die V verläßt ! | ||
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<u>'''Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:'''</u> | <u>'''Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:'''</u> | ||
<math>{{\rho }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math> | :<math>{{\rho }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math> | ||
( mikroskopische Ladungsdichte) | ( mikroskopische Ladungsdichte) | ||
<math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{p}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math> | :<math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{p}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math> | ||
( mikroskopische Dipoldichte) mit: | ( mikroskopische Dipoldichte) mit: | ||
<math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}}</math> | :<math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}}</math> | ||
Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen | Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen | ||
<math>\Delta V:</math> | :<math>\Delta V:</math> | ||
<math>{{\left( \Delta V \right)}^{\frac{1}{3}}}<<</math> | :<math>{{\left( \Delta V \right)}^{\frac{1}{3}}}<<</math> | ||
Längenskala der makroskopischen Dichtevariation | Längenskala der makroskopischen Dichtevariation | ||
Somit: | Somit: | ||
<math>\rho \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math> | :<math>\rho \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math> | ||
( makroskopische Ladungsdichte) | ( makroskopische Ladungsdichte) | ||
<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math> | :<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math> | ||
Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION !! | Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION !! | ||
Line 123: | Line 123: | ||
Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial: | Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial: | ||
<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | :<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | ||
wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist ! | wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist ! | ||
Line 129: | Line 129: | ||
Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß | Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | ||
& \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }:=\bar{r}\acute{\ }-\bar{s} \\ | & \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }:=\bar{r}\acute{\ }-\bar{s} \\ | ||
Line 138: | Line 138: | ||
Wobei | Wobei | ||
<math>\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)=\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)</math> | :<math>\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)=\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)</math> | ||
Die makroskopische Ladungsdichte ist ! | Die makroskopische Ladungsdichte ist ! | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ | & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ | ||
& =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ | & =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ | ||
Line 151: | Line 151: | ||
Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole | Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole | ||
<math>{{\bar{p}}_{i}}</math> | :<math>{{\bar{p}}_{i}}</math> | ||
: | : | ||
<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\nabla }_{r}}\left\{ \sum\limits_{i}{{}}\frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right\}</math> | :<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\nabla }_{r}}\left\{ \sum\limits_{i}{{}}\frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right\}</math> | ||
mit dem mikroskopischen Dipolmoment | mit dem mikroskopischen Dipolmoment | ||
<math>{{\bar{p}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)</math> | :<math>{{\bar{p}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)</math> | ||
Analog: | Analog: | ||
<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}</math> | :<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}</math> | ||
mit der mikroskopischen Dipoldichte | mit der mikroskopischen Dipoldichte | ||
<math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math> | :<math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math> | ||
Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial: | Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\ | & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\ | ||
& =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\ | & =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\ | ||
Line 178: | Line 178: | ||
'''Umformung:''' | '''Umformung:''' | ||
<math>{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+Korrektur</math> | :<math>{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+Korrektur</math> | ||
Dabei haben wir das Problem , dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen: | Dabei haben wir das Problem , dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ | & {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ | ||
& t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\ | & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\ | ||
Line 192: | Line 192: | ||
Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte | Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte | ||
<math>{{\rho }_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)=\left( -{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right)</math> | :<math>{{\rho }_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)=\left( -{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right)</math> | ||
Damit können wir die makroskopische Dipoldichte | Damit können wir die makroskopische Dipoldichte | ||
<math>\bar{P}</math> | :<math>\bar{P}</math> | ||
mit der durch | mit der durch | ||
<math>\bar{P}:=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}</math> | :<math>\bar{P}:=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}</math> | ||
bzw. | bzw. | ||
<math>\nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{p}}</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{p}}</math> | ||
definierten Polarisation identifizieren. | definierten Polarisation identifizieren. |
Revision as of 17:57, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Polarisation basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=1}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__
Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine
- freie Ladungsträger
Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern
- Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft
- gebundene Ladungen ( In Isolatoren)
- Polarisierung im E- Feld
- Für E =0 vorhandene mikroskopische Dipole p werden zur Minimierung der potenziellen Energie
Wel.=-p E vorzugsweise ( entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu E orientiert ( z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten !)
- Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch E durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu E parallel ausgerichtet sind:
nach Einschalten des Feldes. Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt !
Makroskopische räumliche Mittelung
Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen
Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld
gemäß
Das resultierende Gesamtfeld lautet:
Mit der freien Ladungsdichte
Also:
Die Polarisation selbst bestimmt sich nach
ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind.
Somit:
Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir
Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen ( ohne Polarisationsladungen) auftreten:
Wir bezeichnen mit
die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird:
Denn ( bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):
= Polarisationsladung, die V verläßt !
Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:
( mikroskopische Ladungsdichte)
( mikroskopische Dipoldichte) mit:
Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen
Längenskala der makroskopischen Dichtevariation
Somit:
( makroskopische Ladungsdichte)
Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION !!
Beweis:
Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial:
wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist !
Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß
Wobei
Die makroskopische Ladungsdichte ist !
Analog:
Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole
mit dem mikroskopischen Dipolmoment
Analog:
mit der mikroskopischen Dipoldichte
Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial:
Umformung:
Dabei haben wir das Problem , dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:
Also folgt für das Potenzial:
Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte
Damit können wir die makroskopische Dipoldichte
mit der durch
bzw.
definierten Polarisation identifizieren.