Magnetische Induktion: Difference between revisions
Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|2|2}}</noinclude> <u>'''Experimentelle Erfahrung:'''</u> Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kr…“ |
*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
||
Line 5: | Line 5: | ||
Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kraft wirkt auf Ladungen q, die sich mit v bewegen: | Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kraft wirkt auf Ladungen q, die sich mit v bewegen: | ||
<math>\bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r})</math> | :<math>\bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r})</math> | ||
Die sogenannte Lorentz- Kraft ! | Die sogenannte Lorentz- Kraft ! | ||
<math>\bar{B}(\bar{r})</math> | :<math>\bar{B}(\bar{r})</math> | ||
ist die magnetische Induktion am Ort | ist die magnetische Induktion am Ort | ||
<math>\bar{r}</math> | :<math>\bar{r}</math> | ||
, die erzeugt wird von den anderen Ladungen mit einer zugeordneten Stromdichte | , die erzeugt wird von den anderen Ladungen mit einer zugeordneten Stromdichte | ||
<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math> | :<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math> | ||
. | . | ||
Die Erzeugung dieser Magnetischen Induktion erfolgt gemäß des Ampereschen Gesetzes: | Die Erzeugung dieser Magnetischen Induktion erfolgt gemäß des Ampereschen Gesetzes: | ||
<math>\bar{B}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math> | :<math>\bar{B}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math> | ||
Dies läuft völlig analog zur Coulomb- Wechselwirkung in der Elektrostatik: | Dies läuft völlig analog zur Coulomb- Wechselwirkung in der Elektrostatik: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{F}=q\bar{E}(\bar{r}) \\ | & \bar{F}=q\bar{E}(\bar{r}) \\ | ||
& \bar{E}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho (\bar{r}\acute{\ })\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | & \bar{E}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho (\bar{r}\acute{\ })\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | ||
Line 29: | Line 29: | ||
Die Einheiten im SI- System lauten: | Die Einheiten im SI- System lauten: | ||
<math>\left[ B \right]=\frac{1Ns}{Cm}=\frac{1kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}}\cdot \frac{s}{{{m}^{2}}}=1V\frac{s}{{{m}^{2}}}=1T</math> | :<math>\left[ B \right]=\frac{1Ns}{Cm}=\frac{1kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}}\cdot \frac{s}{{{m}^{2}}}=1V\frac{s}{{{m}^{2}}}=1T</math> | ||
Mit diesen Einheiten ist dann | Mit diesen Einheiten ist dann | ||
<math>{{\mu }_{0}}=1,26\cdot {{10}^{-6}}\frac{Vs}{Am}</math> | :<math>{{\mu }_{0}}=1,26\cdot {{10}^{-6}}\frac{Vs}{Am}</math> | ||
festgelegt, wie die Dielektrizitätskonstante jedoch frei wählbar !! | festgelegt, wie die Dielektrizitätskonstante jedoch frei wählbar !! | ||
Die magnetische Induktion beschreibt keine neue, von der Coulomb- Wechselwirkung unabhängige WW: Man betrachte dazu lediglich die Transformation auf das lokale Ruhesystem einer bewegten Ladung: | Die magnetische Induktion beschreibt keine neue, von der Coulomb- Wechselwirkung unabhängige WW: Man betrachte dazu lediglich die Transformation auf das lokale Ruhesystem einer bewegten Ladung: | ||
Line 38: | Line 38: | ||
Im Gauß System: | Im Gauß System: | ||
<math>\bar{F}=\frac{q}{c}\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r})</math> | :<math>\bar{F}=\frac{q}{c}\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r})</math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{B}(\bar{r})=\frac{1}{c}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\ | & \bar{B}(\bar{r})=\frac{1}{c}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\ | ||
& \\ | & \\ | ||
Line 52: | Line 52: | ||
Der Strom durch L´: | Der Strom durch L´: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{v}\acute{\ }=\frac{d}{dt}\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ } \\ | & \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{v}\acute{\ }=\frac{d}{dt}\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ } \\ | ||
& \frac{d}{dt}\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }=I\acute{\ } \\ | & \frac{d}{dt}\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }=I\acute{\ } \\ | ||
Line 62: | Line 62: | ||
Die magnetische Induktion ist gerade: | Die magnetische Induktion ist gerade: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{B}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }I\acute{\ }\int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}d\bar{r}\acute{\ }\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\ | & \bar{B}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }I\acute{\ }\int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}d\bar{r}\acute{\ }\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\ | ||
& \\ | & \\ | ||
Line 69: | Line 69: | ||
Die Kraft auf eine Ladung im Volumenelement d³r von L ist damit gerade: | Die Kraft auf eine Ladung im Volumenelement d³r von L ist damit gerade: | ||
<math>d\bar{F}=\rho \bar{v}\times \bar{B}(\bar{r}){{d}^{3}}r=\bar{j}\times \bar{B}{{d}^{3}}r=Id\bar{r}\times \bar{B}</math> | :<math>d\bar{F}=\rho \bar{v}\times \bar{B}(\bar{r}){{d}^{3}}r=\bar{j}\times \bar{B}{{d}^{3}}r=Id\bar{r}\times \bar{B}</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>\bar{F}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }II\acute{\ }\int_{L}^{{}}{{}}d\bar{r}\times \int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}d\bar{r}\acute{\ }\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math> | :<math>\bar{F}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }II\acute{\ }\int_{L}^{{}}{{}}d\bar{r}\times \int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}d\bar{r}\acute{\ }\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math> | ||
Dies ist dann die gesamte Kraft von L´ auf L | Dies ist dann die gesamte Kraft von L´ auf L | ||
Line 79: | Line 79: | ||
mit | mit | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& d\bar{r}\times \left( d\bar{r}\acute{\ }\times \left( \bar{r}-\bar{r} \right) \right)=\left( d\bar{r}\left( \bar{r}-\bar{r} \right) \right)d\bar{r}\acute{\ }-\left( d\bar{r}d\bar{r}\acute{\ } \right)\left( \bar{r}-\bar{r} \right) \\ | & d\bar{r}\times \left( d\bar{r}\acute{\ }\times \left( \bar{r}-\bar{r} \right) \right)=\left( d\bar{r}\left( \bar{r}-\bar{r} \right) \right)d\bar{r}\acute{\ }-\left( d\bar{r}d\bar{r}\acute{\ } \right)\left( \bar{r}-\bar{r} \right) \\ | ||
& und \\ | & und \\ | ||
Line 88: | Line 88: | ||
folgt: | folgt: | ||
<math>\bar{F}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }II\acute{\ }\int_{L}^{{}}{{}}\int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}\left( d\bar{r}d\bar{r}\acute{\ } \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math> | :<math>\bar{F}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }II\acute{\ }\int_{L}^{{}}{{}}\int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}\left( d\bar{r}d\bar{r}\acute{\ } \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math> | ||
für parallele Ströme: | für parallele Ströme: | ||
<math>Id\bar{r}I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ }>0</math> | :<math>Id\bar{r}I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ }>0</math> | ||
folgt Anziehung | folgt Anziehung | ||
für antiparallele Ströme: | für antiparallele Ströme: | ||
<math>Id\bar{r}I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ }<0</math> | :<math>Id\bar{r}I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ }<0</math> | ||
dagegen Abstoßung | dagegen Abstoßung | ||
Man sieht außerdem das dritte Newtonsche Gesetz: | Man sieht außerdem das dritte Newtonsche Gesetz: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{r}\leftrightarrow \bar{r}\acute{\ } \\ | & \bar{r}\leftrightarrow \bar{r}\acute{\ } \\ | ||
& d\bar{r}\leftrightarrow d\bar{r}\acute{\ } \\ | & d\bar{r}\leftrightarrow d\bar{r}\acute{\ } \\ | ||
Line 109: | Line 109: | ||
Somit: | Somit: | ||
<math>\bar{F}\leftrightarrow -\bar{F}</math> | :<math>\bar{F}\leftrightarrow -\bar{F}</math> | ||
( actio gleich reactio) | ( actio gleich reactio) |
Revision as of 17:55, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Magnetische Induktion basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 2) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=2}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__
Experimentelle Erfahrung:
Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kraft wirkt auf Ladungen q, die sich mit v bewegen:
Die sogenannte Lorentz- Kraft !
ist die magnetische Induktion am Ort
, die erzeugt wird von den anderen Ladungen mit einer zugeordneten Stromdichte
.
Die Erzeugung dieser Magnetischen Induktion erfolgt gemäß des Ampereschen Gesetzes:
Dies läuft völlig analog zur Coulomb- Wechselwirkung in der Elektrostatik:
Die Einheiten im SI- System lauten:
Mit diesen Einheiten ist dann
festgelegt, wie die Dielektrizitätskonstante jedoch frei wählbar !! Die magnetische Induktion beschreibt keine neue, von der Coulomb- Wechselwirkung unabhängige WW: Man betrachte dazu lediglich die Transformation auf das lokale Ruhesystem einer bewegten Ladung:
Im Gauß System:
Die Kraft zwischen 2 stromdurchflossenen Leitern:
Betrachten wir zwei infinit. dünne Leiter L, L´, die mit konstanten Strömen I und I´ durchflossen werden:
Der Strom durch L´:
Somit folgt das Biot- Savartsche Gesetz für unendlich lange Leiter L´:
Die magnetische Induktion ist gerade:
Die Kraft auf eine Ladung im Volumenelement d³r von L ist damit gerade:
Also:
Dies ist dann die gesamte Kraft von L´ auf L
mit
( Der Leiter ist entweder geschlossen oder die Enden liegen im Unendlichen) folgt:
für parallele Ströme:
folgt Anziehung für antiparallele Ströme:
dagegen Abstoßung
Man sieht außerdem das dritte Newtonsche Gesetz:
Somit:
( actio gleich reactio)