Eichtransformation der Lagrangefunktion: Difference between revisions

Revision as of 18:18, 28 August 2010

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Eichtransformation der Lagrangefunktion basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=3}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__

Uneindeutigkeit der Lagrangefunktion

Die Lagarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt.

Betrachten wir beispielsweise ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld:

$(q_{1}, q_{2}, q_{3}) = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$

e sei die Ladung

Bewegungsgleichung:

$m \frac{{d^{2}}^{}}{d t^{2}} (q_{1}, q_{2}, q_{3}) = m \ddot{\bar{q}} = e \bar{E} (\bar{q}, t) + e \dot{\bar{q}} \times \bar{B} (\bar{q}, t)$

Die Lorentzkraft{{#set:Fachbegriff=Lorentzkraft|Index=Lorentzkraft}} ist typischerweise nicht konservativ

Die Darstellung des elektrischen und magnetischen Feldes erfolgt über die Potenziale:

$\begin{aligned} \bar{E} (\bar{q}, t) = - \nabla Φ (\bar{q}, t) - \frac{\partial}{\partial t} \bar{A} (\bar{q}, t) \\ \bar{B} (\bar{q}, t) = \nabla \times \bar{A} (\bar{q}, t) \end{aligned}$

Dabei ist $Φ$ Skalar und A ein Vektorpotenzial (MKSA- System)

Ziel: Suche eine Lagrangefunktion $L (q, \dot{q}, t) = T - V$ in der Art, dass $\frac{\partial L}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = 0$

Die Bewegungsgleichung $m \frac{{d^{2}}^{}}{d t^{2}} (q_{1}, q_{2}, q_{3}) = m \ddot{\bar{q}} = e \bar{E} (\bar{q}, t) + e \dot{\bar{q}} \times \bar{B} (\bar{q}, t)$ ergeben.

Ansatz:

$L (q, \dot{q}, t) = \frac{m}{2} {\dot{\bar{q}}}^{2} + e (\dot{\bar{q}} \bar{A} (\bar{q}, t) - Φ (\bar{q}, t))$

Probe:

$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = m {\dot{q}}_{k} + e A_{k} \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = m {\ddot{q}}_{k} + e \frac{d}{d t} A_{k} (\bar{q} (t), t) \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = m {\ddot{q}}_{k} + e (\frac{\partial}{\partial t} A_{k} + \sum_{l} \frac{\partial A_{k}}{\partial q_{l}} {\dot{q}}_{l}) \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = m {\ddot{q}}_{k} + e (\frac{\partial}{\partial t} A_{k} + (\dot{\bar{q}} \cdot \nabla) A_{k}) \end{aligned}$

Weiter:

$\frac{\partial L}{\partial q_{k}} = e [\frac{\partial}{\partial q_{k}} (\dot{\bar{q}} \cdot \bar{A}) - \frac{\partial}{\partial q_{k}} Φ]$

Somit:

$\begin{aligned} 0 = \frac{\partial L}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} = m {\ddot{q}}_{k} + e (\frac{\partial}{\partial t} A_{k} + (\dot{\bar{q}} \cdot \nabla) A_{k}) - e [\frac{\partial}{\partial q_{k}} (\dot{\bar{q}} \cdot \bar{A}) - \frac{\partial}{\partial q_{k}} Φ] \\ = m {\ddot{q}}_{k} + e (\frac{\partial}{\partial t} A_{k} + \frac{\partial}{\partial q_{k}} Φ) + e [- \frac{\partial}{\partial q_{k}} (\dot{\bar{q}} \cdot \bar{A}) + (\dot{\bar{q}} \cdot \nabla) A_{k}] \\ = m {\ddot{q}}_{k} - e E_{k} - {[e \dot{\bar{q}} \times (\nabla \times \bar{A})]}_{k} \\ = m {\ddot{q}}_{k} - e E_{k} - {[e \dot{\bar{q}} \times \bar{B}]}_{k} \end{aligned}$

Somit erfüllt unser Ansatz die Bewegungsgleichungen

Eichtransformationen

Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion $χ$

$\begin{aligned} \bar{A} (\bar{q}, t) \to \bar{A} \overset{´}{} (\bar{q}, t) = \bar{A} (\bar{q}, t) + \nabla χ (\bar{q}, t) \\ Φ (\bar{q}, t) \to Φ \overset{´}{} (\bar{q}, t) = Φ (\bar{q}, t) - \frac{\partial}{\partial t} χ (\bar{q}, t) \end{aligned}$

Durch Eisnetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern:

$\begin{aligned} \bar{E} \overset{´}{} (\bar{q}, t) = - \nabla Φ \overset{´}{} (\bar{q}, t) - \frac{\partial}{\partial t} \bar{A} \overset{´}{} (\bar{q}, t) = - \nabla (Φ (\bar{q}, t) - \frac{\partial}{\partial t} χ (\bar{q}, t)) - \frac{\partial}{\partial t} (\bar{A} (\bar{q}, t) + \nabla χ (\bar{q}, t)) = \bar{E} (\bar{q}, t) \\ \bar{B} \overset{´}{} (\bar{q}, t) = \nabla \times \bar{A} \overset{´}{} (\bar{q}, t) = \nabla \times (\bar{A} (\bar{q}, t) + \nabla χ (\bar{q}, t)) = \bar{B} (\bar{q}, t) \end{aligned}$

Betrachten wir die Lagrangefunktion, so ergibt sich:

$\begin{aligned} L \overset{´}{} (q, \dot{q}, t) = \frac{m}{2} {\dot{\bar{q}}}^{2} + e (\dot{\bar{q}} \bar{A} \overset{´}{} (\bar{q}, t) - Φ \overset{´}{} (\bar{q}, t)) \\ L \overset{´}{} (q, \dot{q}, t) = \frac{m}{2} {\dot{\bar{q}}}^{2} + e (\dot{\bar{q}} \bar{A} (\bar{q}, t) + \dot{\bar{q}} \cdot \nabla χ - Φ (\bar{q}, t) + \dot{χ}) \\ L \overset{´}{} (q, \dot{q}, t) = L + e (\dot{χ} + \dot{\bar{q}} \cdot \nabla χ) \overset{´}{} = L + \frac{d}{d t} (e χ (\bar{q}, t)) \end{aligned}$

Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L.

Die Eichtransformation

$L (q, \dot{q}, t) \to L \overset{´}{} (q, \dot{q}, t) = L + \frac{d}{d t} (M (\bar{q}, t))$

Mit einer beliebigen Eichfunktion M ( skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.

Allgemein gilt:

Sei $M (\bar{q}, t) = M (q_{1}, . . ., q_{f}, t) \in C^{3}$ beliebig

und $\begin{aligned} L \overset{´}{} (q, \dot{q}, t) = L + (\dot{M} + \dot{\bar{q}} \cdot \nabla M) = L + \frac{d}{d t} (M (\bar{q}, t)) \\ L \overset{´}{} (q, \dot{q}, t) = L + \sum_{k = 1}^{f} \frac{\partial M}{\partial q_{k}} {\dot{q}}_{k} + \frac{\partial M}{\partial t} \end{aligned}$

dann erfüllen die

${q_{k} (t)}$

das hamiltonsche Prinzip

Also:

$δ \int L \overset{´}{} d t = 0 \Leftrightarrow δ \int L d t = 0$

Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art

$L (q, \dot{q}, t) \to L \overset{´}{} (q, \dot{q}, t) = L + \frac{d}{d t} (M (\bar{q}, t))$

mit $M (\bar{q}, t) = M (q_{1}, . . ., q_{f}, t) \in C^{3}$ beliebig.

Beweis:

$\begin{aligned} \frac{\partial L \overset{´}{}}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L \overset{´}{}}{\partial {\dot{q}}_{k}} = \frac{\partial L}{\partial q_{k}} + \frac{\partial}{\partial q_{k}} (\sum_{l = 1}^{f} \frac{\partial M}{\partial q_{l}} {\dot{q}}_{l} + \frac{\partial M}{\partial t}) - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{k}} (\sum_{l = 1}^{f} \frac{\partial M}{\partial q_{l}} {\dot{q}}_{l} + \frac{\partial M}{\partial t}) \\ = \frac{\partial L}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} + \frac{\partial}{\partial q_{k}} \frac{d M}{d t} - \frac{d}{d t} \frac{\partial M}{\partial q_{k}} = \frac{\partial L}{\partial q_{k}} - \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}} \end{aligned}$

mit

$\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{k}} (\sum_{l = 1}^{f} \frac{\partial M}{\partial q_{l}} {\dot{q}}_{l} + \frac{\partial M}{\partial t}) = \frac{\partial M}{\partial q_{k}}$

Einzige Nebenbedingung:

$M (\bar{q}, t) = M (q_{1}, . . ., q_{f}, t) \in C^{3}$ darf nicht explizit von ${\dot{q}}_{k}$ abhängen.

Beispiel: eindimensionaler Oszi

$L = T - V = \frac{m}{2} {\dot{q}}^{2} - \frac{m ω^{2}}{2} q^{2}$

Beispielhafte Eichfunktion:

$M (q) : = \frac{m ω^{2}}{2} q^{2} \Rightarrow \frac{d M}{d t} = m ω^{2} q \dot{q}$

$L \overset{´}{} = \frac{m}{2} {\dot{q}}^{2} - \frac{m ω^{2}}{2} (q^{2} - 2 q \dot{q})$

Die Lagrangegleichungen lauten:

$\begin{aligned} \frac{d}{d t} \frac{\partial L \overset{´}{}}{\partial {\dot{q}}_{}} = m \ddot{q} + m ω^{2} \dot{q} \\ \frac{\partial L \overset{´}{}}{\partial q_{k}} = - m ω^{2} q + m ω^{2} \dot{q} \end{aligned}$

Es folgt als Bewegungsgleichung

$\ddot{q} + ω^{2} q = 0$

@@ Line 203: / Line 203: @@
 <math>\ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0</math>}}
-==Forminvarianz der Lagrangegleichung==
-Eine schwächere Form der Invarianz ( als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.
-Dabei gilt als Forminvarianz:
-<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial {{Q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=0</math>
-Für welche Trnsformationen der generalisierten Koordinaten
-<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>
-sind nun die Lagrangegleichungen forminvariant ?
-Satz:
-Sei
-<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>
-ein C²- Diffeomorphismus,
-also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und sind
-<math>F,{{F}^{-1}}</math>
-beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist
-<math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math>
-Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion:
-<math>\tilde{L}({{Q}_{k}},{{\dot{Q}}_{k}},t):=L({{f}_{k}}({{Q}_{i}},t),\sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{\dot{Q}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t},t)</math>
-mit
-<math>\begin{align}
-  & {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\
- & \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\
-\end{align}</math>
-Diese Aussage ist äquivalent zur Aussage:
-<math>\left\{ {{q}_{k}}(t) \right\}</math>
-sind Lösung der Lagrangegleichungen zu
-<math>L({{q}_{k}},{{\dot{q}}_{k}},t)</math>
-'''Beweis:'''
-<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=}\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right)}</math>
-wegen
-<math>\begin{align}
-  & {{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}} \\
- & \sum\limits_{i}{{}}\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}{{{\dot{Q}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial t}={{{\dot{q}}}_{k}} \\
-\end{align}</math>
-Nun:
-<math>\begin{align}
-  & \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}} \\
- & =\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}} \\
-\end{align}</math>
-und auf der anderen Seite:
-<math>\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right)}</math>
-Somit:
-<math>\begin{align}
-  & \frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right)-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( \frac{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right) \right\}} \\
- & =\sum\limits_{l=1}^{f}{\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}} \right) \right\}}=\sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}\left\{ \left[ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \right]-\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}} \right) \right\}} \\
-\end{align}</math>
-Dabei bildet
-<math>\frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}</math>
-die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also
-<math>\det \frac{\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}\ne 0</math>
-Daher die Bedingung, dass
-Sei
-<math>F:\left\{ {{q}_{k}} \right\}\to \left\{ {{Q}_{k}} \right\}</math>
-ein C²- Diffeomorphismus,
-also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und
-<math>F,{{F}^{-1}}</math>
-beide zweimal stetig differenzierbar.
-Nur dann ist
-<math>\left\{ {{Q}_{k}}(t) \right\}</math>
-Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion.
-Denn diese Aussage ist äquivalent zu
-<math>\begin{align}
-  & {{Q}_{i}}={{F}_{i}}({{q}_{1}},...{{q}_{f}},t) \\
- & {{q}_{k}}={{f}_{k}}({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}},t)\quad mit\quad \det \frac{\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}\ne 0 \\
-\end{align}</math>
-Man sagt, die Variationsableitung
-<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{{\dot{Q}}}_{k}}}-\frac{\partial \tilde{L}}{\partial {{Q}_{k}}}</math>
-ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten
-Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten.

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