Dirac- Gleichung für Elektronen: Difference between revisions

Revision as of 01:46, 25 August 2010

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Dirac- Gleichung für Elektronen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=7|Abschnitt=3}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

Die zeitliche Entwicklung soll durch den Anfangszustand $Ψ (\bar{r}, 0)$

eindeutig festgelegt sein.

Man benötigt also eine DGL 1. Ordnung in der zeit:

$i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ = H Ψ$

Aufgrund der Lorentz- Invarianz( Auch Lorentz- Kovarianz), der Symmetrie der Raumzeit, muss jedoch die Gleichung auch 1. Ordnung in $\frac{\partial}{\partial x}$

sein, da die Asymmetrische Auszeichnung der Zeit sonst inakzeptabel ist.

Dies motiviert das Konzept

$\hat{H} = c \bar{α} \bar{p} + m_{0} c^{2} β = \frac{ℏ}{i} c \bar{α} \nabla + m_{0} c^{2} β$

Also folgt als verallgemeinerte Diracgleichung

$i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ = (\frac{ℏ}{i} c \bar{α} \cdot \nabla + m_{0} c^{2} β) Ψ$

mit

$\bar{α} \cdot \nabla = α^{1} \partial_{1} + α^{2} \partial_{2} + α^{3} \partial_{3} = α^{μ} \partial_{μ}$

$i ℏ \partial_{0} Ψ = (\frac{ℏ}{i} c α^{μ} \partial_{μ} + m_{0} c^{2} β) Ψ$

Aufgrund der Isotropie des Raumes können $α^{1}, α^{2}, α^{3}$

keine Zahlen sein. Ansonsten ist H nicht drehinvariant. Statt dessen sind $α^{1}, α^{2}, α^{3}$

Matrizen ( Operatoren !) und somit ist auch $β$

eine Matrix

Wegen der Lorentz- Kovarianz können $\bar{α}$

und $β$

nicht auf die Bahnvariable $\bar{r}$

einwirken.

Sie müssen auf einen zusätzlichen Freiheitsgrad wirken. Dies motiviert, sie als Spin- Operatoren zu verstehen !

Es gilt:

$Ψ \in H = H_{B} \otimes H_{S}$

Die Wellenfunktionen leben also als Produktzustände im aus Spin- und Bahn- Hilbertraum zusammengesetzten Hilbertraum !

Die Darstellung des Spin- Freiheitsgrades erfolgt durch einen n-dimensionalen Spaltenvektor.

Dies ist der sogenannte SPINOR !!

$Ψ = (\begin{matrix} Ψ_{1} \\ . . . \\ Ψ_{n} \end{matrix})$

$α^{1}, α^{2}, α^{3}$

und somit auch $β$

sind also nxn Matrizen !

Dabei vertauschen die $α^{1}, α^{2}, α^{3}$

mit dem Impuls:

$[\bar{α}, \bar{p}] = 0$

Fazit:

Da die gefundene Gleichung Lorentz- Kovariant sein soll, müssen die sogenannten "Spinoren" eingeführt werden: $Ψ = (\begin{matrix} Ψ_{1} \\ . . . \\ Ψ_{n} \end{matrix})$

Hermitizität

$\hat{H}, \hat{\bar{p}}$

sind hermitesch

${\hat{H}}^{+} = c {\bar{p}}^{+} {\bar{α}}^{+} + m_{0} c^{2} β^{+} = c \bar{p} {\bar{α}}^{+} + m_{0} c^{2} β^{+} = c {\bar{α}}^{+} \bar{p} + m_{0} c^{2} β^{+} = H$

Somit sind auch $α^{1}, α^{2}, α^{3}$

und somit auch $β$

hermitesch:

$\begin{array}{l} {\bar{α}}^{+} = \bar{α} \\ β^{+} = β \end{array}$

Die Diracgleichung löst durch den genialen Ansatz das Problem des unverständlichen Operators $\sqrt{{m_{0}}^{2} c^{4} - ℏ^{2} c^{2} Δ}$

. Iteriert man die Dirac- Gleichung nun, so kann man die Eigenschaften von $\bar{α}, β$

durch Vergleich mit der Klein-Gordon- Gleichung erkennen:

$\begin{array}{l} i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ = (c \bar{α} \bar{p} + m_{0} c^{2} β) Ψ \\ - ℏ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} Ψ = (c \bar{α} \bar{p} + m_{0} c^{2} β) (c \bar{α} \bar{p} + m_{0} c^{2} β) Ψ \\ \Rightarrow - ℏ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} Ψ = (c^{2} (\bar{α} \bar{p}) (\bar{α} \bar{p}) + m_{0} c^{3} (\bar{α} \bar{p} β + β \bar{α} \bar{p}) + {m_{0}}^{2} c^{4} β^{2}) Ψ \\ \Rightarrow - ℏ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} Ψ = (c^{2} \sum_{μ, ν = 1}^{3} (α^{μ} α^{ν} p^{μ} p^{ν}) + m_{0} c^{3} \sum_{μ = 1}^{3} (α^{μ} β + β α^{μ}) p^{μ} + {m_{0}}^{2} c^{4} β^{2}) Ψ \end{array}$

Außerdem weiß man aus der Klein- Gordon- Gleichung, dass:

$\begin{array}{l} - ℏ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} Ψ = [c^{2} p^{2} + {m_{0}}^{2} c^{4}] Ψ \\ \Rightarrow (c^{2} \sum_{μ, ν = 1}^{3} (α^{μ} α^{ν} p^{μ} p^{ν}) + m_{0} c^{3} \sum_{μ = 1}^{3} (α^{μ} β + β α^{μ}) p^{μ} + {m_{0}}^{2} c^{4} β^{2}) Ψ = [c^{2} p^{2} + {m_{0}}^{2} c^{4}] Ψ \end{array}$

Diese Gleichung kann aber nur allgemein übereinstimmen, wenn:

$\begin{array}{l} \sum_{μ, ν = 1}^{3} (α^{μ} α^{ν} p^{μ} p^{ν}) = p^{2} \\ \Rightarrow {(α^{μ})}^{2} = 1 \\ α^{μ} α^{ν} + α^{ν} α^{μ} = 0 f \ddot{u} r ν \neq μ \\ α^{μ} β + β α^{μ} = 0 \\ β^{2} = 1 \end{array}$

Dabei gilt insbesondere obige Relation $α^{μ} β + β α^{μ} = 0$

und $α^{μ} α^{ν} + α^{ν} α^{μ} = 0 f \ddot{u} r ν \neq μ$

ohne Summation.

Aus dem Vergleich der iterierten Dirac- Gleichung mit der Klein- Gordon - Gleichung ersieht man also, dass man für fermionische Quanten unter Berücksichtigung relativistisch korrekter Beschreibung im Quantenformalismus Antikommutatoren einführen muss.

Sowohl die verschiedenen Komponenten von $α$

, also $α^{μ} u n d α^{ν}$

antikommutieren, wie auch $α^{μ} u n d β$

${α^{μ}, α^{ν}} = 0$

${α^{μ}, β} = 0$

Matrizendarstellung von $α^{μ} u n d β$

als nxn- Matrix

Eigenschaften

Die Eigenwerte von $α^{μ} u n d β$

sind $\pm 1$

$v^{μ} = c α^{μ}$

ist zu interpretieren als "Zitterbewegung" des Elektrons

Beweis: Die Eigenwerte von $α^{μ} u n d β$

sind $\pm 1$

$α^{μ} v = λ v$

mit $λ \in R$

$\begin{array}{l} {(α^{μ})}^{2} v = λ^{2} v \\ {(α^{μ})}^{2} = 1 \Rightarrow λ^{2} = 1 \\ \Rightarrow λ = \pm 1 \end{array}$

Weiter gilt: $t r (α^{μ}) = t r (β) = 0$

Beweis:

$t r (α^{μ}) = t r (β^{2} α^{μ}) = t r (β α^{μ} β)$

wegen zyklischer Vertauschbarkeit.

Durch die Antikommutatorrelationen gilt jedoch auch:

$t r (β α^{μ} β) = t r (β (- β α^{μ})) = - t r (β^{2} α^{μ}) = t r (β^{2} α^{μ}) = - t r (α^{μ}) = t r (α^{μ}) = 0$

Weitere Einschränkungen:

$\begin{array}{l} t r (α^{μ}) = \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} = 0 \\ λ_{i} = \pm 1 \end{array}$

Dies bedeutet jedoch, dass n gerade ist.

Diskussion: n=2:

Ist nicht möglich, da es nicht , wie erforderlich, 4, sondern leider nur 3 hermitesche, antikommutierende und spurlose 2x2- Matrizen gibt !

$\begin{array}{l} σ^{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) \\ σ^{2} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) \\ σ^{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \\ t r σ^{μ} = 0 \end{array}$

Dies sind gerade die Pauli- Spinmatrizen ! Zusammen mit der Einheitsmatrix bilden die 4 Matrizen eine Basis im $R^{2} \otimes R^{2}$

n=4

Ist also die minimal erforderliche Größe der Darstellung. Eine mögliche spezielle Wahl in Blockmatrix- Darstellung wäre:

$\begin{array}{l} α^{μ} = (\begin{matrix} 0 & σ^{μ} \\ σ^{μ} & 0 \end{matrix}) \in M (4 x 4) \\ β = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \in M (4 x 4) \end{array}$

Also schreibt sich der Zustand

$\begin{array}{l} Ψ = (\begin{matrix} Ψ_{1} \\ Ψ_{2} \\ Ψ_{3} \\ Ψ_{4} \end{matrix}) = \sum_{s = 1}^{4} Ψ_{S} (\bar{r}, t) {\bar{e}}_{s} \\ {\bar{e}}_{s} : = (\begin{matrix} 0 \\ . . . \\ 1 \\ . . . \end{matrix}) \leftarrow 1 a n s - t e r S t e l l e \end{array}$

Bemerkung:

In der nichtrelativistischen Quantentheorie genügt ein zweikomponentiger Spinor !

Erst die Lorentz- Invarianz erzwingt einen 4- komponentigen Spinor.

Dadurch dann entstehen weitere Freiheitsgrade, wie die Wahl von Teilchen und Antiteilchen !

Kontinuitätsgleichung

$\begin{array}{l} i ℏ \dot{Ψ} = - i ℏ c α^{μ} \partial_{μ} Ψ + m_{0} c^{2} β Ψ \\ - i ℏ {\dot{Ψ}}^{+} = i ℏ c {(α^{μ} \partial_{μ} Ψ)}^{+} + m_{0} c^{2} {(β Ψ)}^{+} \\ {(β Ψ)}^{+} = Ψ^{+} β \\ {(α^{μ} \partial_{μ} Ψ)}^{+} = (\partial_{μ} Ψ^{+}) α^{μ} \end{array}$

Durch Linksmultiplikation mit $Ψ^{+}$

bzw. Rechtsmultiplikation mit $Ψ$

gewinnt man :

$\begin{array}{l} i ℏ Ψ^{+} \dot{Ψ} = - i ℏ c Ψ^{+} α^{μ} \partial_{μ} Ψ + m_{0} c^{2} Ψ^{+} β Ψ \\ - i ℏ {\dot{Ψ}}^{+} Ψ = i ℏ c {(α^{μ} \partial_{μ} Ψ)}^{+} Ψ + m_{0} c^{2} {(β Ψ)}^{+} Ψ \end{array}$

Und durch Subtraktion der Gleichungen:

$\begin{array}{l} i ℏ (Ψ^{+} \dot{Ψ} + {\dot{Ψ}}^{+} Ψ) = - i ℏ c (Ψ^{+} α^{μ} (\partial_{μ} Ψ) + (\partial_{μ} Ψ^{+}) α^{μ} Ψ) \\ (Ψ^{+} \dot{Ψ} + {\dot{Ψ}}^{+} Ψ) = \frac{\partial}{\partial t} (Ψ^{+} Ψ) \\ (Ψ^{+} α^{μ} (\partial_{μ} Ψ) + (\partial_{μ} Ψ^{+}) α^{μ} Ψ) = \partial_{μ} (Ψ^{+} α^{μ} Ψ) \\ \Rightarrow i ℏ \frac{\partial}{\partial t} (Ψ^{+} Ψ) + c \partial_{μ} (Ψ^{+} α^{μ} Ψ) = 0 \\ \Rightarrow (Ψ^{+} Ψ) = ρ \\ \Rightarrow (Ψ^{+} α^{μ} Ψ) = \frac{j^{μ}}{c} \end{array}$

Dies ist eine Kontinuitätsgleichung mit der zu interpretierenden Wahrscheinlichkeitsdichte $ρ = (Ψ^{+} Ψ) = \sum_{s = 1}^{4} {Ψ_{S}}^{*} Ψ_{S} \geq 0$

( glücklicherweise positiv definit)

und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte $j^{μ} = c (Ψ^{+} α^{μ} Ψ) μ = 1, 2, 3$

In Viererschreibweise einfach als Kontinuitätsgleichung

$\partial_{k} j^{k} = 0$

mit

$\begin{array}{l} j^{0} = c Ψ^{+} Ψ = c \sum_{s = 1}^{4} {Ψ_{S}}^{*} Ψ_{S} = c ρ \\ j^{μ} = c (Ψ^{+} α^{μ} Ψ) = c \sum_{s, s \overset{´}{}}^{} Ψ_{S} * {α_{S S \overset{´}{}}}^{μ} Ψ_{S \overset{´}{}} μ = 1, 2, 3 \end{array}$

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 {{Scripthinweis|Quantenmechanik|7|3}}
-Die nichrelativistische Schrödingergleichung
+Die zeitliche Entwicklung soll durch den Anfangszustand <math>\Psi (\bar{r},0)</math>
+eindeutig festgelegt sein.
+Man benötigt also eine DGL 1. Ordnung in der zeit:
 <math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi </math>
-folgt aus der nicht relativistischen Energie- Impuls- Beziehung
+Aufgrund der Lorentz- Invarianz( Auch Lorentz- Kovarianz), der Symmetrie der Raumzeit, muss jedoch die Gleichung auch 1. Ordnung in <math>\frac{\partial }{\partial x}</math>
+sein, da die Asymmetrische Auszeichnung der Zeit sonst inakzeptabel ist.
+Dies motiviert das Konzept
+<math>\hat{H}=c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta =\frac{\hbar }{i}c\bar{\alpha }\nabla +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta </math>
+Also folgt als verallgemeinerte Diracgleichung
+<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\left( \frac{\hbar }{i}c\bar{\alpha }\cdot \nabla +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta  \right)\Psi </math>
+mit
+<math>\bar{\alpha }\cdot \nabla ={{\alpha }^{1}}{{\partial }_{1}}+{{\alpha }^{2}}{{\partial }_{2}}+{{\alpha }^{3}}{{\partial }_{3}}={{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}</math>
+<math>i\hbar {{\partial }_{0}}\Psi =\left( \frac{\hbar }{i}c{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta  \right)\Psi </math>
+Aufgrund der Isotropie des Raumes können <math>{{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}</math>
+keine Zahlen sein. Ansonsten ist H nicht drehinvariant. Statt dessen sind <math>{{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}</math>
+Matrizen ( Operatoren !) und somit ist auch <math>\beta </math>
+eine Matrix
+Wegen der Lorentz- Kovarianz können  <math>\bar{\alpha }</math>
+und <math>\beta </math>
+nicht auf die Bahnvariable <math>\bar{r}</math>
+einwirken.
+Sie müssen auf einen zusätzlichen Freiheitsgrad wirken. Dies motiviert, sie als Spin- Operatoren zu verstehen !
+Es gilt:
+<math>\Psi \in H={{H}_{B}}\otimes {{H}_{S}}</math>
+Die Wellenfunktionen leben  also als Produktzustände im aus Spin- und Bahn- Hilbertraum zusammengesetzten Hilbertraum !
+Die Darstellung des Spin- Freiheitsgrades erfolgt durch einen n-dimensionalen Spaltenvektor.
+Dies ist der sogenannte SPINOR !!
+<math>\Psi =\left( \begin{matrix}
+{{\Psi }_{1}}  \\
+...  \\
+{{\Psi }_{n}}  \\
+\end{matrix} \right)</math>
+<math>{{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}</math>
+und somit auch <math>\beta </math>
+sind also nxn Matrizen !
+Dabei vertauschen die <math>{{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}</math>
+mit dem Impuls:
+<math>\left[ \bar{\alpha },\bar{p} \right]=0</math>
+====Fazit:====
+Da die gefundene Gleichung Lorentz- Kovariant sein soll, müssen die sogenannten "Spinoren" eingeführt werden: <math>\Psi =\left( \begin{matrix}
+{{\Psi }_{1}}  \\
+...  \\
+{{\Psi }_{n}}  \\
+\end{matrix} \right)</math>
+====Hermitizität====
+<math>\hat{H},\hat{\bar{p}}</math>
+sind hermitesch
+<math>{{\hat{H}}^{+}}=c{{\bar{p}}^{+}}{{\bar{\alpha }}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=c\bar{p}{{\bar{\alpha }}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=c{{\bar{\alpha }}^{+}}\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\beta }^{+}}=H</math>
+Somit sind auch <math>{{\alpha }^{1}},{{\alpha }^{2}},{{\alpha }^{3}}</math>
+und somit auch <math>\beta </math>
+hermitesch:
+<math>\begin{align}
+& {{{\bar{\alpha }}}^{+}}=\bar{\alpha } \\
+& {{\beta }^{+}}=\beta  \\
+\end{align}</math>
+Die Diracgleichung löst durch den genialen Ansatz das Problem des unverständlichen Operators <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math>
+. Iteriert man die Dirac- Gleichung nun, so kann man die Eigenschaften von <math>\bar{\alpha },\beta </math>
+durch Vergleich mit der Klein-Gordon- Gleichung erkennen:
+<math>\begin{align}
+& i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta  \right)\Psi  \\
+& -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta  \right)\left( c\bar{\alpha }\bar{p}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta  \right)\Psi  \\
+& \Rightarrow -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left( {{c}^{2}}\left( \bar{\alpha }\bar{p} \right)\left( \bar{\alpha }\bar{p} \right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\left( \bar{\alpha }\bar{p}\beta +\beta \bar{\alpha }\bar{p} \right)+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}} \right)\Psi  \\
+& \Rightarrow -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left( {{c}^{2}}\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }} \right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }} \right){{p}^{\mu }}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}} \right)\Psi  \\
+\end{align}</math>
+Außerdem weiß man aus der Klein- Gordon- Gleichung, dass:
+<math>\begin{align}
+& -{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Psi =\left[ {{c}^{2}}{{p}^{2}}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}} \right]\Psi  \\
+& \Rightarrow \left( {{c}^{2}}\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }} \right)+{{m}_{0}}{{c}^{3}}\sum\limits_{\mu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }} \right){{p}^{\mu }}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}{{\beta }^{2}} \right)\Psi =\left[ {{c}^{2}}{{p}^{2}}+{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}} \right]\Psi  \\
+\end{align}</math>
+Diese Gleichung kann aber nur allgemein übereinstimmen, wenn:
+<math>\begin{align}
+& \sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{3}{{}}\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}{{p}^{\mu }}{{p}^{\nu }} \right)={{p}^{2}} \\
+& \Rightarrow {{\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)}^{2}}=1 \\
+& \ {{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }}=0\ f\ddot{u}r\ \nu \ne \mu  \\
+& {{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }}=0 \\
+& {{\beta }^{2}}=1 \\
+\end{align}</math>
+Dabei gilt insbesondere obige Relation <math>{{\alpha }^{\mu }}\beta +\beta {{\alpha }^{\mu }}=0</math>
+und <math>{{\alpha }^{\mu }}{{\alpha }^{\nu }}+{{\alpha }^{\nu }}{{\alpha }^{\mu }}=0\ f\ddot{u}r\ \nu \ne \mu </math>
+ohne Summation.
+Aus dem Vergleich der iterierten Dirac- Gleichung mit der Klein- Gordon - Gleichung ersieht man also, dass man für fermionische Quanten unter Berücksichtigung relativistisch korrekter Beschreibung im Quantenformalismus Antikommutatoren einführen muss.
-<math>H=\frac{{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}}{2m}+V</math>
+Sowohl die verschiedenen Komponenten von  <math>\alpha </math>
-über die Ersetzung <math>p\to \frac{\hbar }{i}\nabla </math>
+, also <math>{{\alpha }^{\mu }}und{{\alpha }^{\nu }}</math>
-in der Ortsdarstellung
+antikommutieren, wie auch <math>{{\alpha }^{\mu }}und\beta </math>
-====Forderungen an eine relativistische Formulierung in der Ortsdarstellung:====
+:
-Die Beschreibung der Zustände geschieht durch Wellenfunktionen
-<math>\Psi (q,t)</math>
+<math>\left\{ {{\alpha }^{\mu }},{{\alpha }^{\nu }} \right\}=0</math>
-wobei q Bahn- und Spinvariable enthält
+<math>\left\{ {{\alpha }^{\mu }},\beta  \right\}=0</math>
-<math>{{\left| \Psi (q,t) \right|}^{2}}</math>
+<u>'''Matrizendarstellung von '''</u><math>{{\alpha }^{\mu }}und\beta </math>
-ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zur zeit t
-die Dynamik ist linear: <math>L\Psi (q,t)=0</math>
-wegen des Superpositionsprinzips. Das heißt, wenn <math>{{\Psi }_{1}},{{\Psi }_{2}}</math>
-Lösung der SGL, dann auch <math>{{a}_{1}}{{\Psi }_{1}}+{{a}_{2}}{{\Psi }_{2}}</math>
-für beliebige komplexe Koeffizienten a1, a2
-Die Differenzialgleichung ist erster Ordnung, damit <math>\Psi (q,t)</math>
-ei9ndeutig aus der Anfangsbedingung <math>\Psi (q,0)</math>
-über <math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi =H\Psi </math>
-bestimmt ist.
-Die Physikalischen Observablen werden durch hermitesche Operatoren repräsentiert.
-Die Messwerte sind die Eigenwerte dieser Operatoren: <math>A\left| a \right\rangle =a\left| a \right\rangle </math>
-Der Erwartungswert repräsentiert den Mittelwert der Messungen:
+als  nxn- Matrix
-<math>\left\langle  \Psi  \right|A\left| \Psi  \right\rangle </math>
-) Es gibt vollständige Sätze vertauschbarer Operatoren <math>{{\hat{A}}_{i}}</math>
+<u>'''Eigenschaften'''</u>
-mit gemeinsamen Eigenzuständen <math>\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>
-Also:
+Die Eigenwerte von <math>{{\alpha }^{\mu }}und\beta </math>
-<math>{{\hat{A}}_{i}}\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle ={{a}_{i}}\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>
-Mit Orthonormierung:
+sind<math>\pm 1</math>
-<math>\left\langle  {{a}_{1}}\acute{\ },{{a}_{2}}\acute{\ },... \right|\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle ={{\delta }_{a1a1\acute{\ }}}{{\delta }_{a2a2\acute{\ }}}</math>
-Mit Vollständigkeit:
+<math>{{v}^{\mu }}=c{{\alpha }^{\mu }}</math>
-<math>\sum\limits_{{{a}_{1}},{{a}_{2}},...}{{}}\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle \left\langle  {{a}_{1}},{{a}_{2}},... \right|=1</math>
-Mit Entwickelbarkeit beliebiger Zustände:
+ist zu interpretieren als "Zitterbewegung" des Elektrons
-<math>\left| \Psi (t) \right\rangle =\sum\limits_{{{a}_{1}},{{a}_{2}},...}{{}}c\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}},...,t \right)\left| {{a}_{1}}{{a}_{2}},... \right\rangle </math>
+Beweis: Die Eigenwerte von <math>{{\alpha }^{\mu }}und\beta </math>
-Die Wahrscheinlichkeit, im Zustand <math>\left| \Psi (t) \right\rangle </math>
+sind<math>\pm 1</math>
-die Messwerte a1,a2,... zu messen ergibt sich durch das Betragsquadrat der Entwicklungskoeffizienten des jeweils zugehörigen Basiszustands:
-<math>{{\left| c\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}},...,t \right) \right|}^{2}}={{\left| \left\langle  {{a}_{1}}{{a}_{2}},.. \right|\left| \Psi (t) \right\rangle  \right|}^{2}}</math>
-====Die Relativistische Energie- Impuls- Beziehung:====
+:
-<math>E=\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{{\bar{p}}}^{2}}}</math>
-liefert mit <math>E\to i\hbar \frac{\partial }{\partial t}</math>
-und <math>p\to \frac{\hbar }{i}\nabla </math>
-<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left| \Psi (t) \right\rangle =\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }\left| \Psi (t) \right\rangle </math>
+<math>{{\alpha }^{\mu }}v=\lambda v</math>
-Das bedeutet:
+mit <math>\lambda \in R</math>
-Heuristisches Vorgehen: Ersetze alle Variablen, die im relativistischen Ausdruck für die Gesamtenergie vorkommen durch die nötigen Operatoren und behandele diesen Ausdruck als neuen Hamiltonian:
-<math>\hat{H}=''\hat{E}''</math>
+<math>\begin{align}
-Dies ist jedoch nicht akzeptabel, da <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math>
+& {{\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)}^{2}}v={{\lambda }^{2}}v \\
-eine nicht analytische Funktion eines Operators ist !
-Ausweg:
-<math>{{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar{p}}^{2}}</math>
-liefert
+& {{\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)}^{2}}=1\Rightarrow {{\lambda }^{2}}=1 \\
-<math>{{\left( i\hbar \frac{\partial }{\partial t} \right)}^{2}}\left| \Psi (t) \right\rangle =\left( {{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta  \right)\left| \Psi (t) \right\rangle </math>
-Also:
+& \Rightarrow \lambda =\pm 1 \\
-<math>\left( \Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}} \right)\Psi (t)=\#\Psi (t)={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math>
-<u>'''Klein- Gordon- Gleichung'''</u>
-Ist Lorentz- Invariant, falls <math>\Psi </math>
-ein Lorentz- Skalar ist.
-Dies liegt einfach daran, dass <math>\#={{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}</math>
-Lorentz- invariant ist  ( Skalarprodukt eines Vierervektors)
-Einwände gegen die Klein- Gordon- Gleichung:
-der Spin ( der in dieser Gleichung noch nicht enthalten ist !)  kann nicht berücksichtigt werden ! Denn: Der Zusatz <math>\hat{H}\to \hat{H}-\hat{\bar{\mu }}\bar{B}</math>
-ist nicht mehr Lorentz- invariant !
-Klar ! <math>\hat{\bar{\mu }}\bar{B}</math>
-läßt sich nicht als Skalarprodukt eines Vierervektors darstellen !
-Durch die schwierige Interpretation von <math>\sqrt{{{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}-{{\hbar }^{2}}{{c}^{2}}\Delta }</math>
-ist die Klein- Gordon- Gleichung dann letztendlich eine DGL zweiter Ordnung. Das bedeutet jedoch, Es sind die Anfangsbedingungen <math>\begin{align}
-& \Psi (\bar{r},0) \\
-& \frac{{{\partial }^{{}}}}{\partial t}\Psi (\bar{r},0) \\
 \end{align}</math>
-nötig! an muss also schon zu Beginn etwas über die Dynamik der Wellenfunktion kennen !
+Weiter gilt: <math>tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( \beta  \right)=0</math>
-Am schwersten wiegt jedoch, dass die Klein- Gordon- Gleichung eine Stromdichte als räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte produziert, die nicht mehr als sinnvolle Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann, da das Ergebnis nicht mehr strikt positiv ist !:
-Die Lorentz- Invariante Form der Kontinuitätsgleichung ( Wahrscheinlicheitsdichteerhaltung) lautet:
+Beweis:
-<math>{{\partial }_{i}}{{J}^{i}}=0</math>
-Mit der Vierersstromdichte <math>{{J}^{i}}</math>
+<math>tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( {{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( \beta {{\alpha }^{\mu }}\beta  \right)</math>
+wegen zyklischer Vertauschbarkeit.
+Durch die Antikommutatorrelationen gilt jedoch auch:
+<math>tr\left( \beta {{\alpha }^{\mu }}\beta  \right)=tr\left( \beta (-\beta {{\alpha }^{\mu }}) \right)=-tr\left( {{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( {{\beta }^{2}}{{\alpha }^{\mu }} \right)=-tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=0</math>
+'''Weitere Einschränkungen:'''
+<math>\begin{align}
+& tr\left( {{\alpha }^{\mu }} \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{}}{{\lambda }_{i}}=0 \\
+& {{\lambda }_{i}}=\pm 1 \\
-Mittels <math>\begin{align}
-& {{\partial }_{0}}=\frac{\partial }{\partial {{x}^{0}}}=\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t} \\
-& {{\partial }_{\alpha }}=\frac{\partial }{\partial {{x}^{\alpha }}} \\
 \end{align}</math>
-schreibt sichs:
+Dies bedeutet jedoch, dass n gerade ist.
+<u>'''Diskussion: n=2:'''</u>
+Ist nicht möglich, da es nicht , wie erforderlich, 4, sondern leider nur 3 hermitesche, antikommutierende und spurlose 2x2- Matrizen gibt !
 <math>\begin{align}
-& \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{{J}^{0}}+{{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=0 \\
-& {{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=div\bar{J} \\
+& {{\sigma }^{1}}=\left( \begin{matrix}
+& 1  \\
+& 0  \\
+\end{matrix} \right) \\
+& {{\sigma }^{2}}=\left( \begin{matrix}
+& -i  \\
+i & 0  \\
+\end{matrix} \right) \\
+& {{\sigma }^{3}}=\left( \begin{matrix}
+& 0  \\
+& -1  \\
+\end{matrix} \right) \\
+& tr{{\sigma }^{\mu }}=0 \\
 \end{align}</math>
-Dadurch ist jedoch <math>\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}{{J}^{0}}+{{\partial }_{\alpha }}{{J}^{\alpha }}=0</math>
+Dies sind gerade die Pauli- Spinmatrizen ! Zusammen mit der Einheitsmatrix bilden die 4 Matrizen eine Basis im <math>{{R}^{2}}\otimes {{R}^{2}}</math>
-eine Kontinuitätsgleichung. Also hat <math>{{J}^{0}}</math>
-die Bedeutung einer räumlichen Wahrscheinlichkeitsdichte !!
-Aus der Klein- Gordon- Gleichung dagegen:
-<math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi =-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math>
-folgt durch c.c.:
+'''n=4'''
-<math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi *=-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi *</math>
-Dabei kann man <math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi =-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi </math>
+Ist also die minimal erforderliche Größe der Darstellung. Eine mögliche spezielle Wahl in Blockmatrix- Darstellung wäre:
-mit <math>\Psi *</math>
-und <math>{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi *=-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi *</math>
-mit<math>\Psi </math>
-multipliziert werden.
-Nun subtrahiere man die beiden Gleichungen und man erhält:
-<math>\Psi *{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi *=-{{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\left( \Psi *\Psi -\Psi \Psi * \right)=0</math>
-Somit kann man folgern:
+<math>\begin{align}
-<math>{{\partial }_{i}}\left( \Psi *{{\partial }^{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}\Psi * \right)=0</math>
+& {{\alpha }^{\mu }}=\left( \begin{matrix}
-Also ist zulässig:
+& {{\sigma }^{\mu }}  \\
-<math>\left( \Psi *{{\partial }^{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}\Psi * \right):={{J}^{i}}\to {{\partial }_{i}}\left( \Psi *{{\partial }^{i}}\Psi -\Psi {{\partial }^{i}}\Psi * \right)={{\partial }_{i}}{{J}^{i}}=0</math>
-Also
+{{\sigma }^{\mu }} & 0  \\
-<math>\left( \Psi *{{\partial }^{0}}\Psi -\Psi {{\partial }^{0}}\Psi * \right)={{J}^{0}}=\frac{1}{c}\left( \Psi *\dot{\Psi }-\Psi \dot{\Psi }* \right)</math>
-Aber <math>\frac{1}{c}\left( \Psi *\dot{\Psi }-\Psi \dot{\Psi }* \right)</math>
+\end{matrix} \right)\in M\left( 4x4 \right) \\
-kann   nicht als eine räumliche Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden , da <math>{{J}^{0}}</math>
-negativ werden kann !
-Statt dessen kann man , bzw. muss man <math>{{J}^{0}}</math>
-als eine Ladungsdichte ansehen !
-====Lösung der Klein- Gordon- Gleichung für freie Teilchen !====
-Ansatz: ebene Welle:
-<math>\Psi ={{\Psi }_{0}}\exp i\left\{ \bar{k}\bar{r}-\omega t \right\}</math>
-In Viererschreibweise:
+& \beta =\left( \begin{matrix}
-<math>\bar{k}\bar{r}-\omega t=-\left( \frac{\omega }{c}ct-\bar{k}\bar{r} \right)=-{{k}_{j}}{{x}^{j}}=-{{k}^{j}}{{x}_{j}}</math>
+& 0  \\
+& -1  \\
+\end{matrix} \right)\in M\left( 4x4 \right) \\
-mit <math>\begin{align}
-& {{k}^{0}}=\frac{\omega }{c}={{k}_{0}} \\
-& {{k}^{\alpha }}=-{{k}_{\alpha }} \\
 \end{align}</math>
-Wenn man derart die ebene Welle in die Klein-  Gordon- Gleichung einsetzt, so ergibt sich:
+Also schreibt sich der Zustand
-<math>\Psi ={{\Psi }_{0}}\exp i\left\{ \bar{k}\bar{r}-\omega t \right\}={{\Psi }_{0}}\exp \left\{ -i{{k}^{j}}{{x}_{j}} \right\}</math>
-eingesetzt in
 <math>\begin{align}
-& -{{\partial }^{i}}{{\partial }_{i}}\Psi ={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi =i{{k}^{j}}{{\partial }^{i}}{{\Psi }_{0}}\exp \left\{ -i{{k}_{j}}{{x}^{j}} \right\}={{k}^{j}}{{k}_{j}}\Psi ={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}\Psi  \\
-& \Rightarrow {{k}^{j}}{{k}_{j}}\equiv {{\left( \frac{\omega }{c} \right)}^{2}}-{{{\bar{k}}}^{2}}={{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}} \\
+& \Psi =\left( \begin{matrix}
-& \Rightarrow {{\omega }^{2}}={{c}^{2}}\left[ {{\left( \frac{{{m}_{0}}c}{\hbar } \right)}^{2}}+{{{\bar{k}}}^{2}} \right] \\
+{{\Psi }_{1}}  \\
+{{\Psi }_{2}}  \\
+{{\Psi }_{3}}  \\
+{{\Psi }_{4}}  \\
+\end{matrix} \right)=\sum\limits_{s=1}^{4}{{}}{{\Psi }_{S}}(\bar{r},t){{{\bar{e}}}_{s}} \\
+& {{{\bar{e}}}_{s}}:=\left( \begin{matrix}
+\\
+...  \\
+  \\
+...  \\
+\end{matrix} \right)\leftarrow 1\ an\ s-ter\ Stelle \\
 \end{align}</math>
-Also kann man die Energie ( Eigenwert) angeben zu
+'''Bemerkung:'''
-<math>E=\hbar \omega =\pm c\sqrt{\left[ {{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}+{{\left( \hbar \bar{k} \right)}^{2}} \right]}</math>
+In der nichtrelativistischen Quantentheorie genügt ein zweikomponentiger Spinor !
-Der nichtrelativistische Grenzfall kann leicht durch Entwicklung der Wurzel für kleine Impulse angegeben werden:
+Erst die Lorentz- Invarianz erzwingt einen 4- komponentigen Spinor.
-<math>E=\pm {{m}_{0}}{{c}^{2}}\sqrt{\left[ 1+{{\left( \frac{\hbar \bar{k}}{{{m}_{0}}c} \right)}^{2}} \right]}\approx \pm {{m}_{0}}{{c}^{2}}\left[ 1+\frac{1}{2}{{\left( \frac{\hbar \bar{k}}{{{m}_{0}}c} \right)}^{2}} \right]=\pm \left[ {{m}_{0}}{{c}^{2}}+{{\frac{\left( \hbar \bar{k} \right)}{2{{m}_{0}}}}^{2}} \right]</math>
-Gute Näherung für <math>\hbar k<<{{m}_{0}}c</math>
+Dadurch dann entstehen weitere Freiheitsgrade, wie die Wahl von Teilchen und Antiteilchen !
-Grafisch:
+====Kontinuitätsgleichung====
-E>0 entspricht einem Teilchen der Ruheenergie <math>{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>
+<math>\begin{align}
-E<0 dagegen einem Teilchen mit der Ruheenergie <math>-{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>
+& i\hbar \dot{\Psi }=-i\hbar c{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}\beta \Psi  \\
-. Dies entspricht jedoch einer negativen Masse !
-Dies wurde von Dirac derart interpretiert, dass alle Zustände mit E<0 im Grundzustand besetzt sind.
-Der Raum, dessen Zustände mit negativer Energie alle besetzt sind, erscheint uns als Vakuum !
-Die Einstrahlung einer Energie <math>E>2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>
-ermöglicht dann die Teilchen - Antiteilchen- Erzeugung !
-Aus dem Vakuum !
-Durch diese Einstrahlung erzeugt man einen Lochzustand im unteren Bereich ! Es erscheint ein Teilchen aus dem Nichts. Denn: es wurde aus dem Zustand negativer Energie angehoben, hat dann positive Energie und erscheint uns in diesem Moment als positives, reelles Teilchen.  Außerdem ist für uns nicht der vollbesetzte untere Zustand zu erkennen, sondern nur das Loch. Dieses Loch im Vakuum ist nun ein freier Zustand mit negativer Energie, der uns als Antiteilchen erscheint. Ein Loch im Vakuum. Also: Löcher in den Zuständen negativer Energie äußern sich als Antimaterie !
-Antimaterie ist also das fehlen von Teilchen im vollbesetzten Grundzustand des Vakuums !
-Das Loch entspricht dem Fehlen eines Teilchens mit  <math>m<0</math>
-und der Ladung q.
-Demnach äußert es sich uns als Antiteilchen mit der Masse <math>m>0</math>
-und der Ladung -q:
-Anregung eines Lochs im Vakuum- Teilchensee
-reicht die Energie nicht aus, also <math>E<2{{m}_{0}}{{c}^{2}}</math>
+& -i\hbar {{{\dot{\Psi }}}^{+}}=i\hbar c{{\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi  \right)}^{+}}+{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\left( \beta \Psi  \right)}^{+}} \\
-, so kommt es gemäß der Energie- Zeit- Unschärfe zu spontanen Anregungen virtueller Teilchen, die im Rahmen einer Zeit, die die Unschärfe erfüllt, wieder zerfallen.
-Dies kann in diesem Fall betrachtet werden als eine " Boltzmannverteilung" der Zustände negativer Energie. Durch die Fluktuationen bei niedriger Temperatur, die aber zweifelsohne vorhanden sind, kommt es zum Boltzmann- Springen der Teilchen zwischen negativen, vollbesetzten Zuständen und kurzzeitig besetzten positiven Energiezuständen. Die positiven Energiezustände zerfallen jedoch gemäß der Rekombinationsgeschwindigkeit ( Rate der spontanen/ induzierten Emission !) und man bekommt als Wahrscheinlichkeit der Vakuumpolarisation die Boltzmannverteilung !
+& {{\left( \beta \Psi  \right)}^{+}}={{\Psi }^{+}}\beta  \\
+& {{\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi  \right)}^{+}}=\left( {{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}} \right){{\alpha }^{\mu }} \\
+\end{align}</math>
+Durch Linksmultiplikation mit <math>{{\Psi }^{+}}</math>
+bzw. Rechtsmultiplikation mit <math>\Psi </math>
+gewinnt man :
+<math>\begin{align}
+& i\hbar {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }=-i\hbar c{{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\Psi }^{+}}\beta \Psi  \\
+& -i\hbar {{{\dot{\Psi }}}^{+}}\Psi =i\hbar c{{\left( {{\alpha }^{\mu }}{{\partial }_{\mu }}\Psi  \right)}^{+}}\Psi +{{m}_{0}}{{c}^{2}}{{\left( \beta \Psi  \right)}^{+}}\Psi  \\
+\end{align}</math>
+Und durch Subtraktion der Gleichungen:
+<math>\begin{align}
+& i\hbar \left( {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }+{{{\dot{\Psi }}}^{+}}\Psi  \right)=-i\hbar c\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\left( {{\partial }_{\mu }}\Psi  \right)+\left( {{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}} \right){{\alpha }^{\mu }}\Psi  \right) \\
+& \left( {{\Psi }^{+}}\dot{\Psi }+{{{\dot{\Psi }}}^{+}}\Psi  \right)=\frac{\partial }{\partial t}\left( {{\Psi }^{+}}\Psi  \right) \\
+& \left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\left( {{\partial }_{\mu }}\Psi  \right)+\left( {{\partial }_{\mu }}{{\Psi }^{+}} \right){{\alpha }^{\mu }}\Psi  \right)={{\partial }_{\mu }}\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi  \right) \\
+& \Rightarrow i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( {{\Psi }^{+}}\Psi  \right)+c{{\partial }_{\mu }}\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi  \right)=0 \\
+& \Rightarrow \left( {{\Psi }^{+}}\Psi  \right)=\rho  \\
+& \Rightarrow \left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi  \right)=\frac{{{j}^{\mu }}}{c} \\
+\end{align}</math>
+Dies ist eine Kontinuitätsgleichung mit der zu interpretierenden Wahrscheinlichkeitsdichte<math>\rho =\left( {{\Psi }^{+}}\Psi  \right)=\sum\limits_{s=1}^{4}{{}}{{\Psi }_{S}}^{*}{{\Psi }_{S}}\ge 0</math>
+( glücklicherweise positiv definit)
+und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte <math>{{j}^{\mu }}=c\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi  \right)\quad \mu =1,2,3</math>
+In Viererschreibweise einfach als Kontinuitätsgleichung
+<math>{{\partial }_{k}}{{j}^{k}}=0</math>
+mit
+<math>\begin{align}
+& {{j}^{0}}=c{{\Psi }^{+}}\Psi =c\sum\limits_{s=1}^{4}{{{\Psi }_{S}}^{*}{{\Psi }_{S}}=c\rho } \\
+& {{j}^{\mu }}=c\left( {{\Psi }^{+}}{{\alpha }^{\mu }}\Psi  \right)=c\sum\limits_{s,s\acute{\ }}^{{}}{{}}{{\Psi }_{S}}*{{\alpha }_{SS\acute{\ }}}^{\mu }{{\Psi }_{S\acute{\ }}}\quad \mu =1,2,3 \\
+\end{align}</math>

Dirac- Gleichung für Elektronen: Difference between revisions

Revision as of 01:46, 25 August 2010

Fazit:

Hermitizität

Kontinuitätsgleichung

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