Affinie Abbildung: Difference between revisions
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Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K. | Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K. | ||
Die Abbildung <math>f:X\to Y</math>heißt genau dann affin wenn es eine lineare Abbildung <math>g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}</math> gibt so dass für alle Punkte <math>p,q\in X</math> gilt | Die Abbildung <math>f:X\to Y</math>heißt genau dann affin wenn es eine lineare Abbildung <math>g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}</math> gibt so dass für alle Punkte <math>p,q\in X</math> gilt | ||
<math>\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{pq})</math> | :<math>\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{pq})</math> | ||
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Um zu zeigen, dass eine Abbildung affin ist reicht es zu zeigen, dass die obige Definition für ein festes p gilt. | Um zu zeigen, dass eine Abbildung affin ist reicht es zu zeigen, dass die obige Definition für ein festes p gilt. | ||
Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K. g sein linear und <math>q\in X</math>beliebig. | Seien <math>(X,T,\tau ),(Y,V,\sigma )</math> affine Räume über dem selben Körper K. g sein linear und <math>q\in X</math>beliebig. | ||
<math>f:X\to Y</math> ist affin <math>\Leftrightarrow \exists {{p}_{0}}\in X:\quad \left( \exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}:\overrightarrow{{{p}_{0}}q}\to \overrightarrow{f({{p}_{0}})f(q)} \right)</math> | :<math>f:X\to Y</math> ist affin <math>\Leftrightarrow \exists {{p}_{0}}\in X:\quad \left( \exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}:\overrightarrow{{{p}_{0}}q}\to \overrightarrow{f({{p}_{0}})f(q)} \right)</math> | ||
Beweis: Man geht den Umweg über p0: | Beweis: Man geht den Umweg über p0: | ||
In jedem affinen Raum gilt: | In jedem affinen Raum gilt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left( p,q,{{p}_{0}} \right)\in {{X}^{2}} \\ | & \left( p,q,{{p}_{0}} \right)\in {{X}^{2}} \\ | ||
& \overrightarrow{pq}=\overrightarrow{p{{p}_{0}}}+\overrightarrow{{{p}_{0}}q}=\overrightarrow{{{p}_{0}}q}+{{\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}p} \right)}^{-1}}=\overrightarrow{{{p}_{0}}q}-\overrightarrow{{{p}_{0}}p} \\ | & \overrightarrow{pq}=\overrightarrow{p{{p}_{0}}}+\overrightarrow{{{p}_{0}}q}=\overrightarrow{{{p}_{0}}q}+{{\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}p} \right)}^{-1}}=\overrightarrow{{{p}_{0}}q}-\overrightarrow{{{p}_{0}}p} \\ | ||
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Da g linear ist folgt die Gleichheit sofort. <math>g\left( \overrightarrow{pq} \right)=g\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}q} \right)-g\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}p} \right)=\overrightarrow{f\left( {{p}_{0}} \right)f\left( q \right)}-\overrightarrow{f\left( {{p}_{0}} \right)f\left( p \right)}=\overrightarrow{f\left( p \right)f\left( p \right)}\in {{V}_{M}}</math> | Da g linear ist folgt die Gleichheit sofort. <math>g\left( \overrightarrow{pq} \right)=g\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}q} \right)-g\left( \overrightarrow{{{p}_{0}}p} \right)=\overrightarrow{f\left( {{p}_{0}} \right)f\left( q \right)}-\overrightarrow{f\left( {{p}_{0}} \right)f\left( p \right)}=\overrightarrow{f\left( p \right)f\left( p \right)}\in {{V}_{M}}</math> | ||
Zum Vergleich: In der Definition heißt es: | Zum Vergleich: In der Definition heißt es: | ||
<math>f:X\to Y\text{ affin }\Leftrightarrow \text{ }\exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}},t\to g\left( t \right):\forall \left( p,q \right)\in {{X}^{2}}:\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{\underbrace{pq}_{t}})</math> | :<math>f:X\to Y\text{ affin }\Leftrightarrow \text{ }\exists g:{{T}_{M}}\to {{V}_{M}},t\to g\left( t \right):\forall \left( p,q \right)\in {{X}^{2}}:\overrightarrow{f(p)f(q)}=g(\overrightarrow{\underbrace{pq}_{t}})</math> | ||
Aber es geht noch weiter: | Aber es geht noch weiter: | ||
Sind <math>x\in X,y\in Y,g':{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}</math>vorgegeben dann existiert genau eine affine Abbildung <math>f:X\to Y:f\left( x \right)=y\text{ und }g:=g'</math> | Sind <math>x\in X,y\in Y,g':{{T}_{M}}\to {{V}_{M}}</math>vorgegeben dann existiert genau eine affine Abbildung <math>f:X\to Y:f\left( x \right)=y\text{ und }g:=g'</math> | ||
Beweis: | Beweis: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \forall {x}'\in X:\overrightarrow{f\left( x \right)f\left( {{x}'} \right)}=g\left( \overrightarrow{x{x}'} \right) \\ | & \forall {x}'\in X:\overrightarrow{f\left( x \right)f\left( {{x}'} \right)}=g\left( \overrightarrow{x{x}'} \right) \\ | ||
& \Rightarrow g\left( \overrightarrow{x{x}'} \right)+f\left( x \right)=f\left( {{x}'} \right) \\ | & \Rightarrow g\left( \overrightarrow{x{x}'} \right)+f\left( x \right)=f\left( {{x}'} \right) \\ | ||
Latest revision as of 18:07, 12 September 2010
2.1 Definition[edit | edit source]
Seien affine Räume über dem selben Körper K. Die Abbildung heißt genau dann affin wenn es eine lineare Abbildung gibt so dass für alle Punkte gilt
2.2 Vereinfachung[edit | edit source]
Um zu zeigen, dass eine Abbildung affin ist reicht es zu zeigen, dass die obige Definition für ein festes p gilt. Seien affine Räume über dem selben Körper K. g sein linear und beliebig.
Beweis: Man geht den Umweg über p0: In jedem affinen Raum gilt:
Da g linear ist folgt die Gleichheit sofort. Zum Vergleich: In der Definition heißt es:
Aber es geht noch weiter: Sind vorgegeben dann existiert genau eine affine Abbildung Beweis: