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| ==Einteilchenzustände im Kasten== | | ==Einteilchenzustände im Kasten== |
| Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper: | | Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper: |
| [[File:Particle_in_a_box_wavefunctions.svg|miniatur|Kastne mit Länge L und Energiedifferenz <math>\Delta \epsilon</math> | | [[File:Particle in a box wavefunctions.svg|miniatur|Kastne mit Länge L und Energiedifferenz <math>\Delta \epsilon</math> |
| :<math>V=L^3</math> (Volumen)]] | | :<math>V=L^3</math> (Volumen)]] |
| Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L. | | Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L. |
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| Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen? | | Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen? |
| * N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt | | * N-Teilchenzahl, wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt |
| -> nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas
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| :<math>H{{\Psi }_{n,N}}\left( \underbrace{\left\{ {{r}_{i}} \right\}}_{\text{alle Koordinaten}} \right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)</math> mit Quantenzahln n | | :<math>H{{\Psi }_{n,N}}\left( \underbrace{\left\{ {{r}_{i}} \right\}}_{\text{alle Koordinaten}} \right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)</math> mit Quantenzahln n |
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| -> in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch {{FB|Produktzustände}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)
| | → in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch {{FB|Produktzustände}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch) |
| :<math>{{\varepsilon }_{n,N}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)}</math> wobei <math>{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)</math> die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist | | :<math>{{\varepsilon }_{n,N}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)}</math> wobei <math>{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)</math> die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist |
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| * In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) --> Pauliprinzip | | * In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) → Pauliprinzip |
| * In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 --> Bosekondensation) | | * In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 → Bosekondensation) |
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| --> völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.
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| *allgemin Ansätzte für N-Teilchen | | *allgemin Ansätzte für N-Teilchen |
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| man kann sich H anschauen: | | man kann sich H anschauen: |
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| :<math>\frac{\partial H}{\partial N}=0</math> -->masselose Bosonen | | :<math>\frac{\partial H}{\partial N}=0</math> →masselose Bosonen |
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| ==Wechselwirkung von System und Umgebung== | | ==Wechselwirkung von System und Umgebung== |
| [[File:System_boundary.svg|miniatur|System und Umgebung | | [[File:System boundary.svg|miniatur|System und Umgebung |
| auf das '''System''' wirken externe Felder (<math>h_\alpha</math>) und die Umgebung oder '''Bad''' enstpricht einem großen Puffer]] | | auf das '''System''' wirken externe Felder (<math>h_\alpha</math>) und die Umgebung oder '''Bad''' enstpricht einem großen Puffer]] |
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| {{Def|<math>{{\rho }_{n,n'}}</math> wird '''Dichtematrix''' genannt oder Matrix des '''statistischen Operators''' <math>\rho</math> mit den Matrixelementen <math>{{\rho }_{n,n'}}</math>|Dichtematrix}} | | {{Def|<math>{{\rho }_{n,n'}}</math> wird '''Dichtematrix''' genannt oder Matrix des '''statistischen Operators''' <math>\rho</math> mit den Matrixelementen <math>{{\rho }_{n,n'}}</math>|Dichtematrix}} |
| --> führe {{FB|statistischen Operator}} ein
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| Erwartungwert in System mit Umgebung: | | Erwartungwert in System mit Umgebung: |
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| :<math>{{\rho }_{n,n'}}=\sum\limits_{b}{c{{*}_{{n}',b}}}{{c}_{n,b}}</math> | | :<math>{{\rho }_{n,n'}}=\sum\limits_{b}{c{{*}_{{n}',b}}}{{c}_{n,b}}</math> |
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| *hermitische Matrix --> kann diagonalisiert werden | | *hermitische Matrix → kann diagonalisiert werden |
| *<math>\text{Tr}\left( \rho {{O}_{S}} \right)=1</math> denn <math>{{\sum\limits_{bn}{\left| {{c}_{n,b}} \right|}}^{2}}=1</math> ebenso Diagonalelemente <math>0\le {{\left| {{c}_{n,b}} \right|}^{2}}\le 1</math> (wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation) | | *<math>\text{Tr}\left( \rho {{O}_{S}} \right)=1</math> denn <math>{{\sum\limits_{bn}{\left| {{c}_{n,b}} \right|}}^{2}}=1</math> ebenso Diagonalelemente <math>0\le {{\left| {{c}_{n,b}} \right|}^{2}}\le 1</math> (wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation) |
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| ====Reine und gemischte Zustände==== | | ====Reine und gemischte Zustände==== |
| {{Def|'''reiner Zustand''' <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt <math> w_{i0}=1</math> , alle anderen <math>w_i</math>'s sind 0 | | {{Def|'''reiner Zustand''' <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt <math> w_{i0}=1</math>, alle anderen <math>w_i</math>'s sind 0 |
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| Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus! | | Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus! |
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| mit a,b beliebig <math>{{\left| a \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}=1</math> z.B | | mit a,b beliebig <math>{{\left| a \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}=1</math> z.B |
| :<math>a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\text{oder}\ a=1,b=0</math> ... alles reine Zustände | | :<math>a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\text{oder}\ a=1,b=0</math>... alles reine Zustände |
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| immer noch nicht bekannt <math>w_i</math> 's --> ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen | | immer noch nicht bekannt <math>w_i</math> 's → ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen |
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| ==Aufgaben der statistischen Physik== | | ==Aufgaben der statistischen Physik== |
Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr
{{#set:Urheber=Prof. Dr. A. Knorr|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=1}}
Kategorie:Thermodynamik
__SHOWFACTBOX__
Einteilchenzustände im Kasten[edit | edit source]
Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.
für unendlich hohe Wände
Einteilchenfunktion
mit ![{\displaystyle {\vec {n}}=\left({{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}}\right);\quad {{n}_{i}}=1,2,...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8e0c9d2db0e41f313b6296d53bad94cd018745)
und Energieeigenwerten
![{\displaystyle {{\varepsilon }_{n}}={\frac {\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}}\left({{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a67ae392d97ff3fdde9a676f94756e54e0c21d)
Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert
(3-Quantenzahlen)
Großer Kasten, dichtliegende Zustände[edit | edit source]
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen
periodisch angeordnete Kästen nebeneinander
Ansatz:
freie Teilchen im Kasten:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}={{e}^{i{\vec {k}}.\left({\vec {r}}+{\vec {L}}\right)}},\quad {\vec {L}}=\left(L,L,L\right)\\&\Rightarrow {{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}}=1{\text{ w }}\!\!{\ddot {\mathrm {a} }}\!\!{\text{ hlen}}\\&\Rightarrow {{k}_{i}}=\left({{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}}\right):\,\,{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aefe5bb46be49a1900341be7c6db903cd841a4a)
Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\varphi }_{\vec {k}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{{e}^{i{\vec {k}}.{\vec {r}}}},{{k}_{i}}={\frac {2\pi }{L}}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb {Z} \\&{\vec {k}}.{\vec {r}}=\sum \limits _{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a71e8208de325873d2dd97bcc462b648979b3e5)
man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil:
man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)
k's zu zählen ist oft leichter als n's
z.B
![{\displaystyle {{\sum }_{{\vec {k}}\in {\text{3-Dim Raum}}}}=\sum \limits _{\text{k}}{\frac {{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace {{{\Delta }^{\text{3}}}k} _{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\sum \limits _{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left({\frac {L}{2\pi }}\right)}^{3}}\int {{{d}^{\text{3}}}k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6999601a38f8ba7adda8d078fe4a5fba79d940)
sind dicht ~ ![{\displaystyle {\frac {1}{L}}\to \int _{}^{}{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2717dba207fbf9944c8e45dbd0dbb69184782da7)
Summe über die k-Quantenzahlen werden also
So übersetzt:
Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?
- N-Teilchenzahl, wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt
→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas
Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:
i: Teilchennummer
mit Quantenzahln n
→ in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch Produktzustände{{#set:Fachbegriff=Produktzustände|Index=Produktzustände}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)
wobei
die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist
Vorläuftig :
![{\displaystyle {{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)={{\varphi }_{n\left(1\right)}}\left({{\vec {r}}_{1}}\right){{\varphi }_{n\left(2\right)}}\left({{\vec {r}}_{2}}\right)\ldots {{\varphi }_{n\left(N\right)}}\left({{\vec {r}}_{N}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b8d8cc407271e7833c728fbe335be524c5e8b91)
aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte
die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein
Das geht für:
Beide Lösungen werden realisiert und als symmetrisch{{#set:Fachbegriff=symmetrisch|Index=symmetrisch}}(+) und antisymmetrisch{{#set:Fachbegriff=antisymmetrisch|Index=antisymmetrisch}}(-) bezeichnet:
- Fermionen (-)
- antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin
- Bosonen (-)
- symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940))
|
{{#set:Definition=Fermionen, Bosonen|Index=Fermionen, Bosonen}}
Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.
(klassich: Grenzfall beider
)
((3 Teilchen als Übung))
Interpretation:
- In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) → Pauliprinzip
- In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 → Bosekondensation)
→ völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.
- allgemin Ansätzte für N-Teilchen
![{\displaystyle {{\Psi }_{B}}={\frac {1}{\sqrt {\underbrace {N} _{\begin{smallmatrix}{\text{Teilchenzahl}}\\{\text{wg Normierung}}\end{smallmatrix}}!}}}{\frac {1}{\underbrace {\sqrt {\prod \limits _{k}^{K}{{{N}_{k}}!}}} _{\begin{smallmatrix}&{\text{wenn nur die Orbitale }}{{\varphi }_{k}}\\&k<N{\text{ besetzt weil mehrer}}\\&{\text{Teilchen in einem Orbital sitzen}}\\&{\text{so steht }}{{\text{N}}_{k}}{\text{ f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r die Zahl der}}\\&{\text{Teilchen in dem Orbital}}\\\end{smallmatrix}}}}\underbrace {\sum \limits _{P}{P\left({{\varphi }_{{n}_{1}}}\left({{x}_{1}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{k}}}\left({{x}_{k}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{N}}}\left({{x}_{N}}\right)\right)}} _{{\text{Zumme }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ ber alle Permutationen}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14ae911aadf14b4947bc5dbc86d38a45463e4e8)
![{\displaystyle {{\Psi }_{F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\underbrace {\sum \limits _{P}{\operatorname {sign} \left(P\right)P\left({{\varphi }_{{n}_{1}}}\left({{x}_{1}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{k}}}\left({{x}_{k}}\right)\ldots {{\varphi }_{{n}_{N}}}\left({{x}_{N}}\right)\right)}} _{{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }}\left(-1\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab1bab1e49773b2c903ab95fd348c14251d4325b)
recht komplizierte Schreibweise:
besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.
jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen
Bild:Fermi-Bose
aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als:
![{\displaystyle {{\Psi }_{n,N}}\left(\left\{{{r}_{i}}\right\}\right)=\left\langle {{\vec {r}}_{i}}|N,n\right\rangle \to \left|N,n\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61d76d59edc32386c9cd83dfdb61cbdd763888b1)
![{\displaystyle \left|N,n\right\rangle =?}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7edf2bc582bd05944fea2cfa4730e4b776fd3383)
ist gekennzeichnet durch
- die Gesamtteilchenzahl N
- wo man die Teilchen sitzen hat n
![{\displaystyle \left|N,n\right\rangle =\left|{\begin{matrix}{{n}_{1}}&{{n}_{2}}&\cdots &{{n}_{k}}&\cdots &{{n}_{N}}\\{{N}_{1}}&{{N}_{2}}&\cdots &{{N}_{k}}&\cdots &{{N}_{N}}\\\end{matrix}}\right\rangle =\left|{\begin{matrix}{{N}_{1}}&{{N}_{2}}&\cdots &{{N}_{k}}&\cdots &{{N}_{N}}\\\end{matrix}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8a7c5e70568491d41fdd721882bac6cf2bec74)
als Quantenzahl mit
Teilchen
verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen Würfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen.
Es gibt 2 Sorgen von Bosonen:
- massive Bosonen{{#set
- Fachbegriff=massive Bosonen|Index=massive Bosonen}} : Masse beliebig z.B. Atom Molekül, \alpha-Teilchen
- masselose Bosonen{{#set
- Fachbegriff=masselose Bosonen|Index=masselose Bosonen}}: z.B. Photon, Ponon, etc (Quantenanregung von Feldern)
man kann sich H anschauen:
→massive Bosonen
→masselose Bosonen
{{#set:Definition=chemisches Potential|Index=chemisches Potential}}
muss am Beispiel später klargemacht werden.
- massive Bosonen
![{\displaystyle \mu \neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff2b68dc21692b0fe4c1e1220806e6d88b8ace8)
- masselose Bosonen
![{\displaystyle \mu =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3753282c0ad2ea1e7d63f39425efd13c37da3169)
Wechselwirkung von System und Umgebung[edit | edit source]
![{\displaystyle H={{H}_{ges}}=\underbrace {{H}_{S}} _{\text{System}}+\underbrace {{H}_{B}} _{\text{Bad}}+\underbrace {{H}_{SB}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Wechsel-}}\\{\text{wirkung}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {H_{S}^{\alpha }\left(t\right)} _{\begin{smallmatrix}{\text{externe Felder die }}\\{\text{auf das System wirken}}\end{smallmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e266a8370ebb4e08eb9b926931de464d402d6921)
"Modifikation" der Schrödingergleichung aufgrund der Umgebung
im Allgemeinen:
(immer richtig)
Annahme
- System
![{\displaystyle {{H}_{S}}\left|n\right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left|n\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a4e4a837229c8a52dadc5cbfc1e14a9fc8f16f)
- Bad
![{\displaystyle {{H}_{B}}\left|b\right\rangle ={{\varepsilon }_{b}}\left|b\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12b5fe75ebd85628251a00cc5ed416e1adfcafed)
Problem gelöst.
System bespielsweise H-Atom
Bad bespielsweise harmonischer Oszillator mit dichten Energiespektren
ABBILDUNG
"System soll die Temperatur des Bades annehmen aber soll Bad nicht stark beeinflussen"
hängt noch vom Bad/Systemkoordinaten ab
![{\displaystyle \chi =\sum \limits _{n,b}{{{c}_{n,b}}\left(t\right)}\left|n\right\rangle \left|b\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ddcf207ce6c7f91dd77d29f60cb3a91035eed69)
Spannt den ganzen Raum auf
,
abstrakte Vielteilchenzustände
wollen Systemgröße beobachten
Observable des Systems O_s wirkt nicht auf
, nur auf
's:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle \chi |{{O}_{s}}|\chi \right\rangle =\sum \limits _{\begin{smallmatrix}n,n'\\b,b'\end{smallmatrix}}{c{{*}_{n',b'}}}{{c}_{n,b}}\left\langle n'\right|\left\langle b'\right|{{O}_{S}}\underbrace {\left|b\right\rangle } _{{\delta }_{b,b'}}\left|n\right\rangle \\&=\sum \limits _{n,n'}{\underbrace {\sum \limits _{b}{c{{*}_{n',b}}}{{c}_{n,b}}} _{\begin{smallmatrix}{{\rho }_{n,n'}}-{\text{Matrix}}\\{\text{hier findet sich Umgebung }}\\{\text{wieder}}\end{smallmatrix}}}\left\langle n'\right|{{O}_{S}}\left|n\right\rangle \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b007af92b1e5a2175590ca927a6c96816ab2a7c0)
{{#set:Definition=Dichtematrix|Index=Dichtematrix}}
→ führe statistischen Operator{{#set:Fachbegriff=statistischen Operator|Index=statistischen Operator}} ein
Erwartungwert in System mit Umgebung:
mit ![{\displaystyle 1=\sum \limits _{n'}{\left|n'\right\rangle \left\langle n'\right|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71687c83e8a14b66dd191b4cd4fd43b4aae94d28)
{{#set:Definition=Mittelwert|Index=Mittelwert}}
Frage: Was kann man über
herausfinden?
kann 2 Eigenschaften
![{\displaystyle {{\rho }_{n,n'}}=\sum \limits _{b}{c{{*}_{{n}',b}}}{{c}_{n,b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5a558a2ab1d9a8b8af767ab55adee03eaf2f62c)
wenn man diagonalisiert, so bleiben die Eigenschaften
![{\displaystyle {\text{Tr}}\left(\rho \right)=\sum \limits _{i}{{w}_{i}}=1\quad {{w}_{i}}\in [0,1],\quad {\mathfrak {i}}\hbar {{\partial }_{t}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle =\left({{H}_{S}}+H_{S}^{\alpha }\right)\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b48eaccfeaa02ea52c9041b1d2b286b23b2bac76)
es existiert die Diagonaldarstellung
![{\displaystyle \rho ={{w}_{i}}\underbrace {\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|} _{\text{Systemwellenfunktionen}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce15f4260ad88a3f7f40dbb591606b37ff5e962f)
Bemerkungen
Interpreation von \rho
in Diagonaldarstellung
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left\langle {{O}_{S}}\right\rangle =\operatorname {Tr} \left(\rho {{O}_{s}}\right)=\underbrace {\sum \limits _{n}{\left\langle n\right|\rho {{O}_{s}}\left|n\right\rangle }} _{\begin{smallmatrix}n{\text{ vollst}}{\text{. System im}}\\{\text{Vielteilchenraum des }}\\{\text{Systems}}\end{smallmatrix}}\\&=\sum \limits _{n}{\left\langle n\right|\underbrace {\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}} _{\rho }{{O}_{s}}\left|n\right\rangle }=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|\underbrace {\sum \limits _{n}{\left|n\right\rangle \left\langle n\right|}} _{1}}{{O}_{s}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \\&=\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\underbrace {\left\langle {{\Psi }_{i}}\right|{{O}_{s}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle } _{\begin{smallmatrix}{\text{Erwartungswert einer}}\\{\text{Gr }}\!\!{\ddot {\mathrm {o} }}\!\!{\text{ sse}}{\text{, bei der sich das System }}\\{\text{im Zustand }}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle {\text{ befindet}}\end{smallmatrix}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f52c7047f685ce802128d0bd07fb1c4214f3ef8)
![{\displaystyle {{w}_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/658146fbd31205b0991e79bcaed04f7d8ad6539e)
werdeb als Wahrscheinlichkeiten mit der ein Zustand
realisiert wird interpretiert.
klassich Mittelung aller möglichen Erwartungswerte der "normalen" Quantenmechanik.
Mittelung über das besprochene Ensenble
Jedes Ensenblemitglied trägt mit der Wahrscheinlichkeit wi zum Meßergebnis bei.
wi= Zeitlich konstatn, weil \rho(t) wird über die Wellenfunktion
vermittelt (Schrödingerbild) d.h. die w_i sind durch Anfangsbedingungen vorgegeben. zB. w_i fest durch Präperation von t=0 S
Reine und gemischte Zustände[edit | edit source]
{{#set:Definition=reiner Zustand|Index=reiner Zustand}}
Dies geht aber im allgemeinen nicht, deswegen muß man
{{#set:Definition=gemischter Zustand|Index=gemischter Zustand}}
Lösung der Eigenwergleichung für \rho :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\rho \left|r\right\rangle =r\left|r\right\rangle \\&\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|r\right\rangle =r\left|r\right\rangle \quad |\centerdot \left\langle r\right|\\&\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle r|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|r\right\rangle =r\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f28b3cfdf23b19c1b8bf52cfb3ce91e5a8e9d0b)
daraus folgt
,
somit ![{\displaystyle \Rightarrow 0\leq r\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55336127927800b2ee127cbb206898d231fa23c9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum \limits _{r}{\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left\langle r|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|}\left|r\right\rangle }=\sum \limits _{r}{r}\\&\sum \limits _{i}{{w}_{i}}=\sum \limits _{\left\{r\right\}}{r}\\&\Rightarrow \sum \limits _{\left\{r\right\}}{r}=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b997f618d45f1f40c3948263da5ba6be3d84fbb)
Eigenwerte von
sind von 0 bis 1 und ergeben in ihrer Summe 1.
Beispiel für gemischten Zustand[edit | edit source]
: einfach machen
Photon: mit Polarisation
= 2 Zustände ![{\displaystyle \left|n=1,2\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cea240d3bae2e8ffc68fadb5737253f6c36a65e)
![{\displaystyle \left|{{\Psi }_{i}}\left(t\right)\right\rangle =a\left(t\right)\left|\to \right\rangle +b\left(t\right)\left|\uparrow \right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bdfc000ad341a53ff7f2bdd21f941a5f629d981)
wird druch
Zustände
sind alle Möglich.
reiner zustand
![{\displaystyle {{\rho }_{\text{rein}}}=\left|{{\Psi }_{i0}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43c077b1437017734969fc0b2c8bd5be8f3592e)
für festes a,b
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{{\rho }_{\text{rein}}}=a\left|\to \right\rangle +b\left|\uparrow \right\rangle +{{\left(a\left|\to \right\rangle +b\left|\uparrow \right\rangle \right)}^{*}}\\&={{\left|a\right|}^{2}}\left|\to \right\rangle \left\langle \to \right|+a{{b}^{*}}\left|\to \right\rangle \left\langle \uparrow \right|+b{{a}^{*}}\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \to \right|+{{\left|b\right|}^{2}}\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63400c4bde3adc4fb04c4592e4a4f0a47a7db176)
mit a,b beliebig
z.B
... alles reine Zustände
![{\displaystyle \rho =\sum \limits _{i}{{{w}_{i}}\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}}\right|},\ \quad \left|{{\Psi }_{1}}\right\rangle =\left|\to \right\rangle ,\quad \left|{{\Psi }_{2}}\right\rangle =\left|\uparrow \right\rangle ,\quad {{w}_{1}}={{w}_{2}}={\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e801f75da5f69c9694baddd8d85a3498b3de033)
dann ist
![{\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(\left|\to \right\rangle \left\langle \to \right|+\left|\uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06586cd6eebb0ee1d1be54c556743bc1e77990a5)
wie kann man geschickt zwischen reinen und gemsichten
unterscheiden?
Läuft über Spur (Übungsaufgabe)
((LÖSUNG
:gemischt sonst rein))
immer noch nicht bekannt
's → ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen
Aufgaben der statistischen Physik[edit | edit source]
3wichtige
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