Zwangsbedingungen und Zwangskräfte: Difference between revisions
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===Holonome (integrable) Zwangsbedingungen=== | ===Holonome (integrable) Zwangsbedingungen=== | ||
Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine Zwangsbedingung | Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine {{FB|Zwangsbedingung}} <math>\lambda</math> gilt: | ||
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Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand | |||
{{Def|Die Zahl der '''Freiheitsgrade''' beträgt dann <math>f=3N-\nu </math>|Freiheitsgrade}} | |||
{{Beispiel|'''Beispiel''':Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand | |||
[[Datei:Dreieck_graph.svg|miniatur|Punkte 1,2,3 mit Abständen <math>l_ij</math>]] | [[Datei:Dreieck_graph.svg|miniatur|Punkte 1,2,3 mit Abständen <math>l_ij</math>]] | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Die Zahl der '''Freiheitsgrade''' beträgt <math>f=3N-\nu =9-3=6</math>}} | |||
Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt | |||
<math>f=3N-\nu =9-3=6</math> | |||
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<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=|{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}|-{{l}_{ij}}=0\quad i,j=1,2,...,N</math> | <math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=|{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}|-{{l}_{ij}}=0\quad i,j=1,2,...,N</math> | ||
Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen. | Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen. | ||
Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint. | |||
Es zeigt sich, dass für jeden Massepunkt ab N=4 genau drei neue Einschränkungen hinzukommen. <u>Die Zahl der Freiheitsgrade bleibt ab N=3 konstant, nämlich 6.</u> | |||
Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle | Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle | ||
<math>\lambda =1,...,\nu </math> | <math>\lambda =1,...,\nu </math> | ||
die Zwangsbedingungen ein linear unabhängiges Gleichungssystem bilden, also | die Zwangsbedingungen ein '''linear unabhängiges Gleichungssystem''' bilden, also | ||
<math>\operatorname{Rang}\left( \frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial {{r}_{i}}} \right)=\nu </math> | <math>\operatorname{Rang}\left( \frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial {{r}_{i}}} \right)=\nu </math> | ||
Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für N | Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für <math>N \ge 3</math>. | ||
Nun sucht man eine Lösung für die Bewegungsgleichung. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve | Nun sucht man eine Lösung für die '''Bewegungsgleichung'''. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve | ||
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | <math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | ||
. Alle Bahnen | . Alle Bahnen | ||
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Das totale Differenzial ( längs der Bahn | Das {{FB|totale Differenzial}} ( längs der Bahn | ||
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | <math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | ||
) läßt sich schreiben: | ) läßt sich schreiben: | ||
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In differenzieller Schreibweise gewinnen wir das vollständige Differential: | In '''differenzieller Schreibweise''' gewinnen wir das {{FB|vollständige Differential}}: | ||
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===Nichtholonome Zwangsbedingungen=== | ===Nichtholonome Zwangsbedingungen=== | ||
Nun sind jedoch | {{Def|Nun sind jedoch '''nichtholonome Zwangsbedingungen''' der Art: | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>|nichtholonome Zwangsbedingungen}} | |||
Dies ist eine Pfaffsche Differenzialform. Diese ist nicht integrabel, was gleichbedeutend ist damit, dass kein integrierender Faktor | Dies ist eine {{FB|Pfaffsche Differenzialform}}. Diese ist nicht integrabel, was gleichbedeutend ist damit, dass kein {{FB|integrierender Faktor}} | ||
<math>{{g}_{\lambda }}</math> | <math>{{g}_{\lambda }}</math> | ||
existiert, so dass | existiert, so dass | ||
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<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | ||
{{Beispiel| | |||
Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist | Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist | ||
<math>d{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | <math>d{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | ||
durch die momentane Radrichtung bestimmt | durch die momentane Radrichtung bestimmt}} | ||
====Zeitabhängigkeit==== | |||
Es ist weiter zu unterscheiden | Es ist weiter zu unterscheiden | ||
* zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen {{FB|rheonom}} | |||
* zeitunabhängige ( nicht explizit zeitabhängige) , starre, ZB heißen {{FB|skleronom}} | |||
* zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen | |||
* zeitunabhängige ( nicht explizit zeitabhängige) , starre, ZB heißen | |||
====Zwangsbedingungen als Ungleichungen==== | ====Zwangsbedingungen als Ungleichungen==== | ||
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z.B. bei einem Gas in einem Behälter mit Wänden | z.B. bei einem Gas in einem Behälter mit Wänden | ||
==Zwangskräfte== | |||
====Bewegungsgleichungen==== | |||
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diese Art ist bekannt. Auf der rechten Seite findet sich die Summe der | diese Art ist bekannt. Auf der rechten Seite findet sich die Summe der {{FB|äußeren Kräfte}}, eine äußere Kraft auf das i-te Teilchen und die Summe über die {{FB|inneren Kräfte}} durch Wechselwirkung mit den weiteren j Teilchen, die anwesend sind. Die Summe aller Kräfte nennt man {{FB|eingeprägte Kräfte}}. | ||
Diese Bewegungsgleichungen sind nun jedoch unter den '''Nebenbedingungen''' | Diese Bewegungsgleichungen sind nun jedoch unter den '''Nebenbedingungen''' | ||
<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | <math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> {{FB|holonome Nebenbedingungen}} | ||
oder | oder | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>{{FB|anholonome Nebenbedingungen}} | ||
zu lösen. | zu lösen. | ||
Line 181: | Line 181: | ||
Dazu soll die '''Beschreibung gewechselt''' werden. | Dazu soll die '''Beschreibung gewechselt''' werden. | ||
Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) durch Zwangskräfte | Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) durch {{FB|Zwangskräfte}} | ||
<math>{{\vec{Z}}_{i}}</math> | <math>{{\vec{Z}}_{i}}</math> | ||
erzwungen werden. | erzwungen werden. | ||
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<math>{{m}_{i}}{{\ddot{\vec{r}}}_{i}}(t)={{\vec{F}}_{i}}+\sum\limits_{j}{{{{\vec{F}}}_{ij}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}=:{{{\vec{X}}}_{i}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}}\quad i=1...N</math> | <math>{{m}_{i}}{{\ddot{\vec{r}}}_{i}}(t)={{\vec{F}}_{i}}+\sum\limits_{j}{{{{\vec{F}}}_{ij}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}=:{{{\vec{X}}}_{i}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}}\quad i=1...N</math> | ||
{{Beispiel| | |||
Beim Beispiel der schiefen Ebene wirkt die Zwangskraft gerade der Normalkraft entgegen und verhindert somit das Fallen des Körpers durch die schiefe Ebene. | Beim '''Beispiel der schiefen Ebene''' wirkt die Zwangskraft gerade der Normalkraft entgegen und verhindert somit das Fallen des Körpers durch die schiefe Ebene. | ||
[[Datei:Rownia.svg|miniatur|schiefe Ebene mit der Zwangskraft Z im Bild mit N Bezeichnet und Schwerkraft G=mg]] | [[Datei:Rownia.svg|miniatur|schiefe Ebene mit der Zwangskraft Z im Bild mit N Bezeichnet und Schwerkraft G=mg]] | ||
Line 211: | Line 211: | ||
-\sin \vartheta \\ | -\sin \vartheta \\ | ||
\end{matrix} \right) \\ | \end{matrix} \right) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math>}} |
Latest revision as of 12:36, 18 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Zwangsbedingungen und Zwangskräfte basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=1}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__
Ein System von N Massepunkten hat 3N Freiheitsgrade, wenn keine Zwangsbedingungen vorliegen. Die Zahl der Freiheitsgrade wird verringert durch
Holonome (integrable) Zwangsbedingungen[edit | edit source]
Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine Zwangsbedingung{{#set:Fachbegriff=Zwangsbedingung|Index=Zwangsbedingung}} gilt:
Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt dann |
{{#set:Definition=Freiheitsgrade|Index=Freiheitsgrade}}
Beispiel:Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand
miniatur|Punkte 1,2,3 mit Abständen |
N | Hinzukommende Einschränkungen | Zwangsbedingungen () | Freiheitsgrade |
---|---|---|---|
1 | 0 | 0 | 3 |
2 | 1 | 1 | 5 |
3 | 2 | 3 | 6 |
4 | 3 | 6 | 6 |
5 | 3 | 9 | 6 |
... | .. | .. | .. |
3 | 3N-6 | 6 |
Allgemein könnte man nun für einen beliebigen starren Körper aus N Teilchen annehmen:
Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen. Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint. Es zeigt sich, dass für jeden Massepunkt ab N=4 genau drei neue Einschränkungen hinzukommen. Die Zahl der Freiheitsgrade bleibt ab N=3 konstant, nämlich 6.
Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle
die Zwangsbedingungen ein linear unabhängiges Gleichungssystem bilden, also
Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für .
Nun sucht man eine Lösung für die Bewegungsgleichung. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve
. Alle Bahnen
müssen nun jedoch die
unabhängigen Zwangsbedingungen erfüllen:
Das totale Differenzial{{#set:Fachbegriff=totale Differenzial|Index=totale Differenzial}} ( längs der Bahn
) läßt sich schreiben:
In differenzieller Schreibweise gewinnen wir das vollständige Differential{{#set:Fachbegriff=vollständige Differential|Index=vollständige Differential}}:
Nichtholonome Zwangsbedingungen[edit | edit source]
Nun sind jedoch nichtholonome Zwangsbedingungen der Art: |
{{#set:Definition=nichtholonome Zwangsbedingungen|Index=nichtholonome Zwangsbedingungen}}
Dies ist eine Pfaffsche Differenzialform{{#set:Fachbegriff=Pfaffsche Differenzialform|Index=Pfaffsche Differenzialform}}. Diese ist nicht integrabel, was gleichbedeutend ist damit, dass kein integrierender Faktor{{#set:Fachbegriff=integrierender Faktor|Index=integrierender Faktor}}
existiert, so dass
Gleichbedeutend mit
Dies kann man wieder so interpretieren, dass beliebige Positionen der Teilchen, also
möglich sind, also
beliebig, jedoch ist die momentane Bewegungsrichtung eingeschränkt. Man sagt auch, die lokalen Bewegungen sind eingeschränkt ( längs der Bahn
)
Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist durch die momentane Radrichtung bestimmt |
Zeitabhängigkeit[edit | edit source]
Es ist weiter zu unterscheiden
- zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen rheonom{{#set:Fachbegriff=rheonom|Index=rheonom}}
- zeitunabhängige ( nicht explizit zeitabhängige) , starre, ZB heißen skleronom{{#set:Fachbegriff=skleronom|Index=skleronom}}
Zwangsbedingungen als Ungleichungen[edit | edit source]
z.B. bei einem Gas in einem Behälter mit Wänden
Zwangskräfte[edit | edit source]
Bewegungsgleichungen[edit | edit source]
diese Art ist bekannt. Auf der rechten Seite findet sich die Summe der äußeren Kräfte{{#set:Fachbegriff=äußeren Kräfte|Index=äußeren Kräfte}}, eine äußere Kraft auf das i-te Teilchen und die Summe über die inneren Kräfte{{#set:Fachbegriff=inneren Kräfte|Index=inneren Kräfte}} durch Wechselwirkung mit den weiteren j Teilchen, die anwesend sind. Die Summe aller Kräfte nennt man eingeprägte Kräfte{{#set:Fachbegriff=eingeprägte Kräfte|Index=eingeprägte Kräfte}}.
Diese Bewegungsgleichungen sind nun jedoch unter den Nebenbedingungen
holonome Nebenbedingungen{{#set:Fachbegriff=holonome Nebenbedingungen|Index=holonome Nebenbedingungen}}
oder
anholonome Nebenbedingungen{{#set:Fachbegriff=anholonome Nebenbedingungen|Index=anholonome Nebenbedingungen}}
zu lösen.
Dazu soll die Beschreibung gewechselt werden.
Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) durch Zwangskräfte{{#set:Fachbegriff=Zwangskräfte|Index=Zwangskräfte}} erzwungen werden.
Damit folgt für unsere Bewegungsgleichung:
Beim Beispiel der schiefen Ebene wirkt die Zwangskraft gerade der Normalkraft entgegen und verhindert somit das Fallen des Körpers durch die schiefe Ebene. miniatur|schiefe Ebene mit der Zwangskraft Z im Bild mit N Bezeichnet und Schwerkraft G=mg Es gilt: |