Editing Zwangsbedingungen und Zwangskräfte
Jump to navigation
Jump to search
The edit can be undone. Please check the comparison below to verify that this is what you want to do, and then publish the changes below to finish undoing the edit.
Latest revision | Your text | ||
Line 1: | Line 1: | ||
{{Scripthinweis|Mechanik|1|1}} | |||
Line 6: | Line 6: | ||
===Holonome (integrable) Zwangsbedingungen=== | ===Holonome (integrable) Zwangsbedingungen=== | ||
Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine | Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine Zwangsbedingung Lambda gilt: | ||
Line 12: | Line 12: | ||
Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand | |||
[[Datei:Dreieck_graph.svg|miniatur|Punkte 1,2,3 mit Abständen <math>l_ij</math>]] | [[Datei:Dreieck_graph.svg|miniatur|Punkte 1,2,3 mit Abständen <math>l_ij</math>]] | ||
Line 27: | Line 25: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Die Zahl der | |||
Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt | |||
<math>f=3N-\nu =9-3=6</math> | |||
{| class="float-right wikitable" | {| class="float-right wikitable" | ||
Line 77: | Line 78: | ||
<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=|{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}|-{{l}_{ij}}=0\quad i,j=1,2,...,N</math> | <math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=|{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}|-{{l}_{ij}}=0\quad i,j=1,2,...,N</math> | ||
Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen. | Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen. | ||
Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint. | Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint. | ||
Es zeigt sich, dass für jeden Massepunkt ab N=4 genau drei neue Einschränkungen hinzukommen. | Es zeigt sich, dass für jeden Massepunkt ab N=4 genau drei neue Einschränkungen hinzukommen. Die Zahl der Freiheitsgrade bleibt ab N=3 konstant, nämlich 6. | ||
Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle | Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle | ||
<math>\lambda =1,...,\nu </math> | <math>\lambda =1,...,\nu </math> | ||
die Zwangsbedingungen ein | die Zwangsbedingungen ein linear unabhängiges Gleichungssystem bilden, also | ||
<math>\operatorname{Rang}\left( \frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial {{r}_{i}}} \right)=\nu </math> | <math>\operatorname{Rang}\left( \frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial {{r}_{i}}} \right)=\nu </math> | ||
Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für | Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für N größer/ gleich drei: | ||
Nun sucht man eine Lösung für die | Nun sucht man eine Lösung für die Bewegungsgleichung. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve | ||
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | <math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | ||
. Alle Bahnen | . Alle Bahnen | ||
Line 96: | Line 96: | ||
Das | Das totale Differenzial ( längs der Bahn | ||
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | <math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | ||
) läßt sich schreiben: | ) läßt sich schreiben: | ||
Line 104: | Line 104: | ||
In | In differenzieller Schreibweise gewinnen wir das vollständige Differential: | ||
Line 110: | Line 110: | ||
===Nichtholonome Zwangsbedingungen=== | ===Nichtholonome Zwangsbedingungen=== | ||
Nun sind jedoch Nichtholonome Zwangsbedingungen der Art: | |||
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | |||
Dies ist eine | Dies ist eine Pfaffsche Differenzialform. Diese ist nicht integrabel, was gleichbedeutend ist damit, dass kein integrierender Faktor | ||
<math>{{g}_{\lambda }}</math> | <math>{{g}_{\lambda }}</math> | ||
existiert, so dass | existiert, so dass | ||
Line 145: | Line 144: | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | ||
Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist | Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist | ||
<math>d{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | <math>d{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | ||
durch die momentane Radrichtung bestimmt | durch die momentane Radrichtung bestimmt | ||
Es ist weiter zu unterscheiden | |||
====Zeitabhängigkeit==== | ====Zeitabhängigkeit==== | ||
* zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen | * zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen '''rheonom''' | ||
* zeitunabhängige ( nicht explizit zeitabhängige) , starre, ZB heißen | * zeitunabhängige ( nicht explizit zeitabhängige) , starre, ZB heißen '''skleronom''' | ||
====Zwangsbedingungen als Ungleichungen==== | ====Zwangsbedingungen als Ungleichungen==== | ||
Line 159: | Line 160: | ||
z.B. bei einem Gas in einem Behälter mit Wänden | z.B. bei einem Gas in einem Behälter mit Wänden | ||
<u>'''Bewegungsgleichungen'''</u> | |||
Line 166: | Line 166: | ||
diese Art ist bekannt. Auf der rechten Seite findet sich die Summe der | diese Art ist bekannt. Auf der rechten Seite findet sich die Summe der '''Äußeren Kräfte''', eine äußere Kraft auf das i-te Teilchen und die Summe über die '''inneren Kräfte''' durch Wechselwirkung mit den weiteren j Teilchen, die anwesend sind. Die Summe aller Kräfte nennt man '''eingeprägte Kräfte'''. | ||
Diese Bewegungsgleichungen sind nun jedoch unter den '''Nebenbedingungen''' | Diese Bewegungsgleichungen sind nun jedoch unter den '''Nebenbedingungen''' | ||
<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | <math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> (holonom) | ||
oder | oder | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> (anholonom) | ||
zu lösen. | zu lösen. | ||
Line 181: | Line 181: | ||
Dazu soll die '''Beschreibung gewechselt''' werden. | Dazu soll die '''Beschreibung gewechselt''' werden. | ||
Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) durch | Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) durch Zwangskräfte | ||
<math>{{\vec{Z}}_{i}}</math> | <math>{{\vec{Z}}_{i}}</math> | ||
erzwungen werden. | erzwungen werden. | ||
Line 190: | Line 190: | ||
<math>{{m}_{i}}{{\ddot{\vec{r}}}_{i}}(t)={{\vec{F}}_{i}}+\sum\limits_{j}{{{{\vec{F}}}_{ij}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}=:{{{\vec{X}}}_{i}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}}\quad i=1...N</math> | <math>{{m}_{i}}{{\ddot{\vec{r}}}_{i}}(t)={{\vec{F}}_{i}}+\sum\limits_{j}{{{{\vec{F}}}_{ij}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}=:{{{\vec{X}}}_{i}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}}\quad i=1...N</math> | ||
Beim | Beim Beispiel der schiefen Ebene wirkt die Zwangskraft gerade der Normalkraft entgegen und verhindert somit das Fallen des Körpers durch die schiefe Ebene. | ||
[[Datei:Rownia.svg|miniatur|schiefe Ebene mit der Zwangskraft Z im Bild mit N Bezeichnet und Schwerkraft G=mg]] | [[Datei:Rownia.svg|miniatur|schiefe Ebene mit der Zwangskraft Z im Bild mit N Bezeichnet und Schwerkraft G=mg]] | ||
Line 211: | Line 211: | ||
-\sin \vartheta \\ | -\sin \vartheta \\ | ||
\end{matrix} \right) \\ | \end{matrix} \right) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> |