Editing Zwangsbedingungen und Zwangskräfte
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===Holonome (integrable) Zwangsbedingungen=== | ===Holonome (integrable) Zwangsbedingungen=== | ||
Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine | Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine Zwangsbedingung Lambda gilt: | ||
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Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand | |||
[[Datei:Dreieck_graph.svg|miniatur|Punkte 1,2,3 mit Abständen <math>l_ij</math>]] | [[Datei:Dreieck_graph.svg|miniatur|Punkte 1,2,3 mit Abständen <math>l_ij</math>]] | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Die Zahl der '''Freiheitsgrade''' beträgt <math>f=3N-\nu =9-3=6</math>}} | |||
{{Def|Die Zahl der '''Freiheitsgrade''' beträgt | |||
<math>f=3N-\nu =9-3=6</math> | |||
|Freiheitsgrade}} | |||
{| class="float-right wikitable" | {| class="float-right wikitable" | ||
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<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=|{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}|-{{l}_{ij}}=0\quad i,j=1,2,...,N</math> | <math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=|{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}|-{{l}_{ij}}=0\quad i,j=1,2,...,N</math> | ||
Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen. | Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen. | ||
Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint. | Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint. | ||
Es zeigt sich, dass für jeden Massepunkt ab N=4 genau drei neue Einschränkungen hinzukommen. | Es zeigt sich, dass für jeden Massepunkt ab N=4 genau drei neue Einschränkungen hinzukommen. Die Zahl der Freiheitsgrade bleibt ab N=3 konstant, nämlich 6. | ||
Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle | Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle | ||
<math>\lambda =1,...,\nu </math> | <math>\lambda =1,...,\nu </math> | ||
die Zwangsbedingungen ein | die Zwangsbedingungen ein linear unabhängiges Gleichungssystem bilden, also | ||
<math>\operatorname{Rang}\left( \frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial {{r}_{i}}} \right)=\nu </math> | <math>\operatorname{Rang}\left( \frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial {{r}_{i}}} \right)=\nu </math> | ||
Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für | Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für N größer/ gleich drei: | ||
Nun sucht man eine Lösung für die | Nun sucht man eine Lösung für die Bewegungsgleichung. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve | ||
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | <math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | ||
. Alle Bahnen | . Alle Bahnen | ||
Line 96: | Line 96: | ||
Das | Das '''totale Differenzial''' ( längs der Bahn | ||
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | <math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | ||
) läßt sich schreiben: | ) läßt sich schreiben: | ||
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In '''differenzieller Schreibweise''' gewinnen wir das | In '''differenzieller Schreibweise''' gewinnen wir das vollständige Differential: | ||