Editing Zeitliche Translationsinvarianz
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Latest revision | Your text | ||
Line 8: | Line 8: | ||
# die Zwangsbedingungen die Zeit t nicht explizit enthalten: | # die Zwangsbedingungen die Zeit t nicht explizit enthalten: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{r}}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}}) \\ | & {{{\bar{r}}}_{i}}={{{\bar{r}}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}}) \\ | ||
& \frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}}=0\Rightarrow {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{j}^{{}}{\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}}{{{\dot{q}}}_{j}}_{{}}} \\ | & \frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}}=0\Rightarrow {{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}=\sum\limits_{j}^{{}}{\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}}{{{\dot{q}}}_{j}}_{{}}} \\ | ||
Line 15: | Line 15: | ||
Dabei ist | Dabei ist | ||
<math>\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}</math> | |||
Funktion von q1...qf | Funktion von q1...qf | ||
# | # | ||
<math>\frac{\partial }{\partial t}L=0</math> | |||
# Nebenbedingung: Aus der Existenz eines Potenzials der eingeprägten Kräfte folgt '''NICHT '''automatisch die Erhaltung der Energie, da die Zwangsbedingungen die Zeit enthalten könnten. | # Nebenbedingung: Aus der Existenz eines Potenzials der eingeprägten Kräfte folgt '''NICHT '''automatisch die Erhaltung der Energie, da die Zwangsbedingungen die Zeit enthalten könnten. | ||
Line 26: | Line 26: | ||
<math>{{\bar{r}}_{i}}={{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math> | |||
Line 32: | Line 32: | ||
<math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}^{{}}{{{m}_{i}}{{{\dot{\bar{r}}}}_{i}}^{2}=}\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}^{{}}{{{T}_{jk}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}}</math> Mit <math>{{T}_{jk}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}} \right)}</math> | |||
ist abhängig von den q1...qf im Gegensatz zum Fall der kleinen Schwingungen, der eingangs behandelt wurde. | ist abhängig von den q1...qf im Gegensatz zum Fall der kleinen Schwingungen, der eingangs behandelt wurde. | ||
T ist eine homogene quadratische Funktion der | T ist eine homogene quadratische Funktion der | ||
<math>{{\dot{q}}_{1}}...{{\dot{q}}_{f}}</math> Also <math>T\left( \lambda {{{\dot{q}}}_{1}},...,\lambda {{{\dot{q}}}_{f}} \right)={{\lambda }^{2}}T\left( {{{\dot{q}}}_{1}},...,{{{\dot{q}}}_{f}} \right)</math> Nach <math>\lambda </math> | |||
wird partiell abgelitten, dann wird | wird partiell abgelitten, dann wird | ||
<math>\lambda =1</math> | |||
gesetzt. | gesetzt. | ||
<math>\begin{align} | |||
& \sum\limits_{k=1}^{N}{\left( \frac{\partial T}{\partial \left( \lambda {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right)\left( \frac{\partial \left( \lambda {{{\dot{q}}}_{k}} \right)}{\partial \lambda } \right)}\left| _{\lambda =1} \right.=2\lambda T\left| _{\lambda =1} \right.\Leftrightarrow \sum\limits_{k=1}^{N}{\left( \frac{\partial T}{\partial \left( {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right){{{\dot{q}}}_{k}}}=2T \\ | & \sum\limits_{k=1}^{N}{\left( \frac{\partial T}{\partial \left( \lambda {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right)\left( \frac{\partial \left( \lambda {{{\dot{q}}}_{k}} \right)}{\partial \lambda } \right)}\left| _{\lambda =1} \right.=2\lambda T\left| _{\lambda =1} \right.\Leftrightarrow \sum\limits_{k=1}^{N}{\left( \frac{\partial T}{\partial \left( {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right){{{\dot{q}}}_{k}}}=2T \\ | ||
& \left( \frac{\partial \left( \lambda {{{\dot{q}}}_{k}} \right)}{\partial \lambda } \right)={{{\dot{q}}}_{k}} \\ | & \left( \frac{\partial \left( \lambda {{{\dot{q}}}_{k}} \right)}{\partial \lambda } \right)={{{\dot{q}}}_{k}} \\ | ||
Line 51: | Line 51: | ||
Da V unabhängig von | Da V unabhängig von | ||
<math>{{\dot{q}}_{1}}...{{\dot{q}}_{f}}</math> | |||
gilt auch: | gilt auch: | ||
<math>\sum\limits_{k=1}^{N}{\left( \frac{\partial L}{\partial \left( {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right){{{\dot{q}}}_{k}}}=2T</math> | |||
Line 61: | Line 61: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{dL}{dt}=\sum\limits_{k}^{{}}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\ddot{q}}}_{k}}+\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)}+\frac{\partial L}{\partial t} \\ | & \frac{dL}{dt}=\sum\limits_{k}^{{}}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\ddot{q}}}_{k}}+\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)}+\frac{\partial L}{\partial t} \\ | ||
& \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\ und\ \frac{\partial L}{\partial t}=0\quad wegen\ 2.(oben) \\ | & \frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\ und\ \frac{\partial L}{\partial t}=0\quad wegen\ 2.(oben) \\ | ||
Line 70: | Line 70: | ||
<math>\frac{dL}{dt}=\sum\limits_{k}^{{}}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\ddot{q}}}_{k}}+\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)}=\frac{d}{dt}\sum\limits_{k}^{{}}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}=2\frac{dT}{dt}}</math> wegen <math>\sum\limits_{k=1}^{N}{\left( \frac{\partial L}{\partial \left( {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right){{{\dot{q}}}_{k}}}=2T</math> | |||
Line 76: | Line 76: | ||
<math>0=\frac{d}{dt}(2T-L)=\frac{d}{dt}(T+V)\Rightarrow T+V=konst</math> | |||
Line 82: | Line 82: | ||
Oder: Skleronome Zwangsbedingungen: | Oder: Skleronome Zwangsbedingungen: | ||
<math>\frac{\partial L}{\partial t}=0</math> | |||
bedingen: E=T+V=constant | bedingen: E=T+V=constant | ||
Line 90: | Line 90: | ||
Mache t zu einer q-artigen Variablen durch eine parametrisierte Darstellung: | Mache t zu einer q-artigen Variablen durch eine parametrisierte Darstellung: | ||
<math>{{q}_{k}}={{q}_{k}}(\tau ),t=t(\tau )</math> | |||
Line 96: | Line 96: | ||
<math>\bar{L}\left( {{q}_{k}},t,\frac{d{{q}_{k}}}{d\tau },\frac{d{{t}_{{}}}}{d\tau } \right):=L\left( {{q}_{k}},\frac{1}{\left( {}^{dt}\!\!\diagup\!\!{}_{d\tau }\; \right)}\frac{d{{q}_{k}}}{d\tau },t,\frac{dt}{d\tau } \right)</math> | |||
Line 102: | Line 102: | ||
<math>{{h}^{s}}(\bar{q},t)=(\bar{q},t+s)</math> | |||
Line 108: | Line 108: | ||
# Hamiltonsches Prinzip auf | # Hamiltonsches Prinzip auf | ||
<math>\bar{L}</math> | |||
angewandt: | angewandt: | ||
<math>0=\delta \int\limits_{\tau 1}^{\tau 2}{{}}\bar{L}d\tau =\delta \int\limits_{t1}^{t2}{{}}Ldt\Leftrightarrow \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=0</math> | |||
2. Noethersches Theorem für | 2. Noethersches Theorem für | ||
<math>\bar{L}</math> | |||
: | : | ||
Line 122: | Line 122: | ||
<math>\begin{align} | |||
& I=\sum\limits_{i=1}^{f+1}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f+1}}) \right)}_{s=0}}}=\frac{\partial \bar{L}}{\partial {{{\dot{q}}}_{f+1}}} \\ | & I=\sum\limits_{i=1}^{f+1}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f+1}}) \right)}_{s=0}}}=\frac{\partial \bar{L}}{\partial {{{\dot{q}}}_{f+1}}} \\ | ||
& mit\ \left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f+1}}) \right)=\left( 0,...,0,1 \right)\quad f\ Nullen,1\ an\ Stelle\ f+1\ mit\ {{q}_{f+1}}=t \\ | & mit\ \left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f+1}}) \right)=\left( 0,...,0,1 \right)\quad f\ Nullen,1\ an\ Stelle\ f+1\ mit\ {{q}_{f+1}}=t \\ | ||
Line 129: | Line 129: | ||
<math>\begin{align} | |||
& I=\frac{\partial \bar{L}}{\partial {{{\dot{q}}}_{f+1}}}=\frac{\partial \bar{L}}{\partial \left( \frac{dt}{d\tau } \right)}=L+\sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( -\frac{1}{{{\left( \frac{dt}{d\tau } \right)}^{2}}} \right)\frac{d{{q}_{k}}}{d\tau }\frac{dt}{d\tau }} \\ | & I=\frac{\partial \bar{L}}{\partial {{{\dot{q}}}_{f+1}}}=\frac{\partial \bar{L}}{\partial \left( \frac{dt}{d\tau } \right)}=L+\sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( -\frac{1}{{{\left( \frac{dt}{d\tau } \right)}^{2}}} \right)\frac{d{{q}_{k}}}{d\tau }\frac{dt}{d\tau }} \\ | ||
& =L-\sum\limits_{k=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial \left( {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right){{{\dot{q}}}_{k}}}=T-V-2T=-(T-V) \\ | & =L-\sum\limits_{k=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial \left( {{{\dot{q}}}_{k}} \right)} \right){{{\dot{q}}}_{k}}}=T-V-2T=-(T-V) \\ |