Editing Thermodynamischer Limes

<noinclude>{{Scripthinweis|Thermodynamik|2|6}}</noinclude>

Grenzfall eines unendlich großen Systems.

Dabei muss der Grenzprozess <math>\alpha \to \infty </math> so durchgeführt werden, dass alle extensiven Makroobservablen <math>\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle \to \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math> die gleiche Koordinatendiletation <math>\alpha </math> erfahren!

<u>'''Voraussetzung:'''</u>

Homogenes Makrosystem, also <math>z:=\left( \left\langle {{M}^{1}} \right\rangle ,...,\left\langle {{M}^{m}} \right\rangle  \right)</math> und <math>S(z)</math> sind extensiv: <math>S(\alpha z)=\alpha S(z)</math> eine homogene Funktion in allen Variablen!

{{Satz|Die Entropiegrundfunktion
:<math>S(z)=\sum\limits_{n=1}^{m}{{}}{{g}_{n}}(z)\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle </math>
mit <math>{{g}_{n}}(z)={{g}_{n}}(\alpha z)</math> (dilatationsinvariant)|
:<math>S(\alpha z)=\alpha S(z)</math> damit:

:<math>\begin{align}

& \Rightarrow \frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \alpha }=\frac{\partial }{\partial \alpha }\left( \alpha S(z) \right)=S(z) \\

& \frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \alpha }=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}\frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \left( \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \right)}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \\

\end{align}</math>

 speziell für <math>\alpha =1</math>:
:<math>\begin{align}
   & \sum\limits_{n}^{{}}{{}}\frac{\partial S(z)}{\partial \left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \right)}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle =S(z) \\
  & \Rightarrow {{g}_{n}}(z):=\frac{\partial S(z)}{\partial \left( \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \right)}=\frac{\partial S(\alpha z)}{\partial \left( \alpha \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle  \right)}=:{{g}_{n}}(\alpha z) \\
 \end{align}</math>
 
Definitionsgleichung der intensiven Variablen!!}}

==Anwendung auf einfache thermische Systeme==
:<math>\begin{align}

& S\left( U,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \right)=\frac{\partial S}{\partial U}U+\frac{\partial S}{\partial V}V+\frac{\partial S}{\partial {{{\bar{N}}}^{\alpha }}}{{{\bar{N}}}^{\alpha }}=\frac{1}{T}U+\frac{p}{T}V-\frac{{{\mu }_{\alpha }}}{T}{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \\

& \frac{\partial S}{\partial U}=\frac{1}{T} \\

& \frac{\partial S}{\partial V}=\frac{p}{T} \\

& \frac{\partial S}{\partial {{{\bar{N}}}^{\alpha }}}=-\frac{{{\mu }_{\alpha }}}{T} \\

\end{align}</math>

'''Energiedarstellung''':

:<math>U\left( S,V,{{{\bar{N}}}^{\alpha }} \right)=TS-pV+{{\mu }_{\alpha }}{{\bar{N}}^{\alpha }}</math>

{{Satz|Im thermodynamischen Limes verschwinden die relativen Schwankungen der extensiven Observablen.|
{{FB|Fluktuations-Dissipations-Theorem}}

:<math>\left\langle {{\left( \Delta {{M}^{n}} \right)}^{2}} \right\rangle =-\frac{\partial \left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{n}}}=-\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}</math>

relative Schwankung:

:<math>\frac{\left\langle {{\left( \Delta {{M}^{n}} \right)}^{2}} \right\rangle }{{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}=-\frac{1}{{{\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}</math>

Wegen der Homogenität von

:<math>S=k\left( {{\lambda }_{n}}\left\langle {{M}^{n}} \right\rangle -\Psi  \right)</math>

gilt:

:<math>\Psi \left( \alpha z \right)=\alpha \Psi \left( z \right)</math> also <math>\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}\left( \alpha z \right)=\alpha \frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}\left( z \right)</math>

'''Relative Schwankung für '''<math>\alpha z</math>, <math>\alpha \to \infty </math>:

:<math>\begin{align}

& \begin{matrix}

\lim   \\

\alpha \to \infty   \\

\end{matrix}\frac{\left\langle {{\left( \alpha \Delta {{M}^{n}} \right)}^{2}} \right\rangle }{{{\left\langle \alpha {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}=-\begin{matrix}

\lim   \\

\alpha \to \infty   \\

\end{matrix}\alpha \frac{1}{{{\left\langle \alpha {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}\Psi \left( z \right)}{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}} \\

& \frac{{{\partial }^{2}}\Psi \left( z \right)}{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}<\infty  \\

& \Rightarrow \begin{matrix}

\lim   \\

\alpha \to \infty   \\

\end{matrix}\frac{\left\langle {{\left( \alpha \Delta {{M}^{n}} \right)}^{2}} \right\rangle }{{{\left\langle \alpha {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}=-\begin{matrix}

\lim   \\

\alpha \to \infty   \\

\end{matrix}\alpha \frac{1}{{{\left\langle \alpha {{M}^{n}} \right\rangle }^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}\Psi \left( z \right)}{\partial {{\lambda }_{n}}^{2}}=0 \\

\end{align}</math>}}

====Folgerung====

Im thermodynamischen Limes sind die verschiedenen Verteilungen (mikrokanonisch, kanonisch, großkanonisch) äquivalent, da die relativen Schwankungen, das Unterscheidungsmerkmal der Verteilungen überhaupt, verschwinden.