Editing Spin- Operatoren und Zustände

<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|1}}</noinclude>

{{FB|Stern-Gerlach Experiment}}:  (1922)

[[Datei:Stern-Gerlach_Experiment_de.png]]

Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot \text{Strahl}</math>

Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß

:<math>\bar{F}=\nabla \left( {{\mu }_{3}}{{B}_{3}} \right)={{\mu }_{3}}\nabla {{B}_{3}}</math>

Somit: Ablenkung proportional zu µ3!!

Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)

Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!

:<math>\Rightarrow \bar{\mu }\sim \bar{S}</math>

Eigendrehimpuls ({{FB|Spin}}) des Elektrons !

:<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math>

:<math>\begin{align}

& {{m}_{S}}=\pm \frac{1}{2} \\

& l\equiv s=\frac{1}{2} \\

\end{align}</math>

Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:

:<math>\begin{align}

& \Rightarrow \bar{\mu }=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}\bar{S}\quad e<0 \\

& \Rightarrow {{\mu }_{3}}=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}=\pm \frac{+e\hbar }{4{{m}_{0}}} \\

\end{align}</math>

Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:

:<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math>

mit g=2,0023  g sogenannter {{FB|Lande-Faktor}}  (gyromagnetischer Faktor)

Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!!

====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons====
{{FB|Spin-Eigenzustände}}: <math>\left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}</math>

{{FB|Spin-Hilbertraum}} (zweidimensional !)

Notation:

;Spin up:<math>\left| +\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \uparrow  \right\rangle </math>
;Spin down:<math>\left| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \downarrow  \right\rangle </math>

Dimensionsloser Spinoperator <math>\hat \bar \sigma</math>

Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:

:<math>\begin{align}

& {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \uparrow  \right\rangle =\frac{\hbar }{2}\left| \uparrow  \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \uparrow  \right\rangle =\left| \uparrow  \right\rangle  \\

& {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \downarrow  \right\rangle =-\frac{\hbar }{2}\left| \downarrow  \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \downarrow  \right\rangle =-\left| \downarrow  \right\rangle  \\

\end{align}</math>

:<math>{{\hat{S}}_{3}}</math> ist hermitesch

Eigenwerte: <math>\pm 1</math>

'''Orthonormierung''': <math>\begin{align}

& \left\langle  \uparrow  | \uparrow  \right\rangle =\left\langle  \downarrow  | \downarrow  \right\rangle =1 \\

& \left\langle  \uparrow  | \downarrow  \right\rangle =0 \\

\end{align}</math>

'''Vollständigkeit''': <math>\left| \uparrow  \right\rangle \left\langle  \uparrow  \right|+\left| \downarrow  \right\rangle \left\langle  \downarrow  \right|=1</math>

Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als

:<math>\begin{align}

& \left| a(t) \right\rangle =\left| \uparrow  \right\rangle \left\langle  \uparrow   |  a(t) \right\rangle +\left| \downarrow  \right\rangle \left\langle  \downarrow   |  a(t) \right\rangle  \\

& \left\langle  \uparrow   |  a(t) \right\rangle :={{a}_{1}}(t) \\

& \left\langle  \downarrow   |  a(t) \right\rangle :={{a}_{2}}(t) \\

\end{align}</math>

Aus:

:<math>\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}</math>

(ganz allgemeine {{FB|Drehimpuls-Vertauschungs-Relation}})

(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !)

folgt:

:<math>\begin{align}

& \hat{\bar{\sigma }}\times \hat{\bar{\sigma }}=2i\hat{\bar{\sigma }} \\

& \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{j}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{k}} \right]=2i{{\varepsilon }_{jkl}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{l}} \\

\end{align}</math>

:<math>\begin{align}

& {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \uparrow  \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \uparrow  \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \uparrow  \right\rangle =3\left| \uparrow  \right\rangle  \\

& {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \downarrow  \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \downarrow  \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \downarrow  \right\rangle =3\left| \downarrow  \right\rangle  \\

\end{align}</math>

{{FB|Spin-Leiteroperatoren}}:

:<math>\begin{align}

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{\pm }}:={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\pm i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \\

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \uparrow  \right\rangle ={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{-}}\left| \downarrow  \right\rangle =0 \\

\end{align}</math>

Somit folgt:

:<math>\begin{align}

& \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow  \right\rangle =-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow  \right\rangle  \\

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \downarrow  \right\rangle =i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \downarrow  \right\rangle  \\

\end{align}</math>

Andererseits gilt:

:<math>\begin{align}

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow  \right\rangle =\alpha \left| \uparrow  \right\rangle  \\

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{-}}\left| \uparrow  \right\rangle =\beta \left| \downarrow  \right\rangle  \\

\end{align}</math>

Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen !

Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>:

:<math>\begin{align}

& \alpha *\alpha =\left\langle  \downarrow  \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}^{+}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow  \right\rangle =\left\langle  \downarrow  \right|\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle  \\

& =\left\langle  \downarrow  \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}^{2}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}^{2}+i\left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right]\left| \downarrow  \right\rangle  \\

& \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}},{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right]=2i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}^{2}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}^{2}={{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}-{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}^{2} \\

& \Rightarrow \alpha *\alpha =\left\langle  \downarrow  \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}-{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}^{2}-2{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| \downarrow  \right\rangle =\left\langle  \downarrow  \right|3-1+2\left| \downarrow  \right\rangle =4 \\

& \Rightarrow \left| \alpha  \right|=2 \\

\end{align}</math>

Weiter:

:<math>\left\langle  \uparrow  \right|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left| \downarrow  \right\rangle =\alpha \left\langle  \uparrow  | \uparrow  \right\rangle =\alpha </math>

Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:

O.B. d. A.:  wähle

:<math>\alpha =\beta =2</math>

Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt !

So folgt:

:<math>\begin{align}

& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle =2\left| \uparrow  \right\rangle  \\

& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \uparrow  \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \uparrow  \right\rangle =2\left| \downarrow  \right\rangle  \\

& \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \downarrow  \right\rangle =\left| \uparrow  \right\rangle  \\

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow  \right\rangle =\left| \downarrow  \right\rangle  \\

\end{align}</math>

Außerdem:

:<math>\begin{align}

& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle =2\left| \uparrow  \right\rangle  \\

& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \uparrow  \right\rangle =-\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \uparrow  \right\rangle =2\left| \downarrow  \right\rangle  \\

& \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \downarrow  \right\rangle =-i\left| \uparrow  \right\rangle  \\

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow  \right\rangle =i\left| \downarrow  \right\rangle  \\

\end{align}</math>


 

{| class="wikitable" border="1"
|+ Zusammenfassung 
! !!<math>\left| \uparrow  \right\rangle </math> !! <math>\left| \downarrow  \right\rangle </math>
|-
| <math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}</math> || <math>\left| \downarrow  \right\rangle </math> || <math>\left| \uparrow  \right\rangle </math>
|-
|<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{2}}</math>||<math>i\left| \downarrow  \right\rangle </math>||<math>-i\left| \uparrow  \right\rangle </math>
|-
|<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>||<math>\left| \uparrow  \right\rangle </math>||<math>\left| \downarrow  \right\rangle </math>
|}

Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:

(Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):

:<math>\begin{align}

& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix}

\left\langle  \uparrow  \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \uparrow  \right\rangle  & \left\langle  \uparrow  \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \downarrow  \right\rangle   \\

\left\langle  \downarrow  \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \uparrow  \right\rangle  & \left\langle  \downarrow  \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}}\left| \downarrow  \right\rangle   \\

\end{matrix} \right) \\

& \alpha ,\beta =1,2 \\

& i=1,2,3 \\

\end{align}</math>

Die Matrizen lassen sich ausschreiben: {{FB|Paulische Spinmatrizen}}:

:<math>\begin{align}

& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix}

0 & 1  \\

1 & 0  \\

\end{matrix} \right) \\

& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix}

0 & -i  \\

i & 0  \\

\end{matrix} \right) \\

& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix}

1 & 0  \\

0 & -1  \\

\end{matrix} \right) \\

\end{align}</math>

:<math>\begin{align}

&  \\

& \hat{\bar{S}}=\left( \begin{matrix}

\left( \begin{matrix}

0 & \frac{\hbar }{2}  \\

\frac{\hbar }{2} & 0  \\

\end{matrix} \right)  \\

\left( \begin{matrix}

0 & -i\frac{\hbar }{2}  \\

\frac{\hbar }{2} & 0  \\

\end{matrix} \right)  \\

\left( \begin{matrix}

\frac{\hbar }{2} & 0  \\

0 & -\frac{\hbar }{2}  \\

\end{matrix} \right)  \\

\end{matrix} \right) \\

\end{align}</math>

Was den bekannten Relationen genügt:

:<math>\begin{align}

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}=\left( \begin{matrix}

0 & 1  \\

1 & 0  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

0 & -i  \\

i & 0  \\

\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}

-i & 0  \\

0 & i  \\

\end{matrix} \right)=i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\

& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}=\left( \begin{matrix}

0 & -i  \\

i & 0  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

0 & 1  \\

1 & 0  \\

\end{matrix} \right)=-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\

& \Rightarrow \left[ {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1,}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right]=2i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\

\end{align}</math>

erfüllt, .... usw...

S3- Darstellung der Zustände:

:<math>\begin{align}

& \left( \begin{matrix}

\left\langle  \alpha  | \uparrow  \right\rangle ={{\delta }_{\alpha 1}}  \\

\left\langle  \alpha  | \downarrow  \right\rangle ={{\delta }_{\alpha 2}}  \\

\end{matrix} \right) \\

& \left| \uparrow  \right\rangle =\left( \begin{matrix}

1  \\

0  \\

\end{matrix} \right) \\

& \left| \downarrow  \right\rangle =\left( \begin{matrix}

0  \\

1  \\

\end{matrix} \right) \\

\end{align}</math>

Dabei kennzeichnen <math>\left| \uparrow  \right\rangle =\left( \begin{matrix}

1  \\

0  \\

\end{matrix} \right),\left| \downarrow  \right\rangle =\left( \begin{matrix}

0  \\

1  \\

\end{matrix} \right)</math> die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren)

:<math>\begin{align}

& \left\langle  \uparrow  \right|=\left( 1,0 \right) \\

& \left\langle  \downarrow  \right|=\left( 0,1 \right) \\

\end{align}</math> Zeilenvektoren ( transponiert)

:<math>\left( \begin{matrix}

0 & 1  \\

1 & 0  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

1  \\

0  \\

\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}

0  \\

1  \\

\end{matrix} \right)</math>

was äquivalent ist zu

:<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left| \uparrow  \right\rangle =\left| \downarrow  \right\rangle </math>