Editing Spin- Operatoren und Zustände
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{{FB|Stern-Gerlach Experiment}}: (1922) | {{FB|Stern-Gerlach Experiment}}: (1922) | ||
[[Datei:Stern- | [[Datei:Stern-Gerlach_Experiment_de.png]] | ||
Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot \text{Strahl}</math> | Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot \text{Strahl}</math> | ||
Line 15: | Line 15: | ||
Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung) | Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung) | ||
Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung!! | Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !! | ||
:<math>\Rightarrow \bar{\mu }\sim \bar{S}</math> | :<math>\Rightarrow \bar{\mu }\sim \bar{S}</math> | ||
Eigendrehimpuls ({{FB|Spin}}) des Elektrons! | Eigendrehimpuls ({{FB|Spin}}) des Elektrons ! | ||
:<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math> | :<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math> | ||
Line 41: | Line 41: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Dies ist jedoch falsch! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt: | Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt: | ||
:<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math> | :<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math> | ||
Line 47: | Line 47: | ||
mit g=2,0023 g sogenannter {{FB|Lande-Faktor}} (gyromagnetischer Faktor) | mit g=2,0023 g sogenannter {{FB|Lande-Faktor}} (gyromagnetischer Faktor) | ||
Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2!!! | Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!! | ||
====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons==== | ====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons==== | ||
{{FB|Spin-Eigenzustände}}: <math>\left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}</math> | {{FB|Spin-Eigenzustände}}: <math>\left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}</math> | ||
{{FB|Spin-Hilbertraum}} (zweidimensional!) | {{FB|Spin-Hilbertraum}} (zweidimensional !) | ||
Notation: | Notation: | ||
Line 71: | Line 71: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>{{\hat{S}}_{3}}</math> ist hermitesch | |||
Eigenwerte: <math>\pm 1</math> | Eigenwerte: <math>\pm 1</math> | ||
Line 103: | Line 103: | ||
(ganz allgemeine {{FB|Drehimpuls-Vertauschungs-Relation}}) | (ganz allgemeine {{FB|Drehimpuls-Vertauschungs-Relation}}) | ||
(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert!) | (Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !) | ||
folgt: | folgt: | ||
Line 153: | Line 153: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen! | Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen ! | ||
Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>: | Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>: | ||
Line 175: | Line 175: | ||
Weiter: | Weiter: | ||
<math>\left\langle \uparrow \right|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\alpha </math> | |||
Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt: | Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt: | ||
Line 181: | Line 181: | ||
O.B. d. A.: wähle | O.B. d. A.: wähle | ||
<math>\alpha =\beta =2</math> | |||
Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt! | Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt ! | ||
So folgt: | So folgt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | ||
Line 201: | Line 201: | ||
Außerdem: | Außerdem: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | ||
Line 218: | Line 218: | ||
{| class="wikitable" border="1" | {| class="wikitable" border="1" | ||
|+ Zusammenfassung | |+ Zusammenfassung | ||
!!!<math>\left| \uparrow \right\rangle </math>!! <math>\left| \downarrow \right\rangle </math> | ! !!<math>\left| \uparrow \right\rangle </math> !! <math>\left| \downarrow \right\rangle </math> | ||
|- | |- | ||
| <math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}</math> || <math>\left| \downarrow \right\rangle </math> || <math>\left| \uparrow \right\rangle </math> | | <math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}</math> || <math>\left| \downarrow \right\rangle </math> || <math>\left| \uparrow \right\rangle </math> | ||
Line 353: | Line 353: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
erfüllt,.... usw... | erfüllt, .... usw... | ||
S3- Darstellung der Zustände: | S3- Darstellung der Zustände: | ||
Line 397: | Line 397: | ||
1 \\ | 1 \\ | ||
\end{matrix} \right)</math> die Basis- Spinoren (Spaltenvektoren) | \end{matrix} \right)</math> die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren) | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle \uparrow \right|=\left( 1,0 \right) \\ | & \left\langle \uparrow \right|=\left( 1,0 \right) \\ | ||
Line 405: | Line 405: | ||
& \left\langle \downarrow \right|=\left( 0,1 \right) \\ | & \left\langle \downarrow \right|=\left( 0,1 \right) \\ | ||
\end{align}</math> Zeilenvektoren (transponiert) | \end{align}</math> Zeilenvektoren ( transponiert) | ||
<math>\left( \begin{matrix} | |||
0 & 1 \\ | 0 & 1 \\ | ||
Line 429: | Line 429: | ||
was äquivalent ist zu | was äquivalent ist zu | ||
<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math> |