Editing Spin- Operatoren und Zustände
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<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|1}}</noinclude> | <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|1}}</noinclude> | ||
'''Stern- Gerlach Experiment: 1922:''' | |||
[[Datei:Stern- | [[Datei:Datei:Stern-Gerlach_Experiment_de.png]] | ||
Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot | Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot Strahl</math> | ||
Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß | Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß | ||
| Line 15: | Line 15: | ||
Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung) | Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung) | ||
Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung!! | Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !! | ||
:<math>\Rightarrow \bar{\mu }\ | :<math>\Rightarrow \bar{\mu }\tilde{\ }\bar{S}</math> | ||
Eigendrehimpuls ( | Eigendrehimpuls ( Spin) des Elektrons ! | ||
:<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math> | :<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math> | ||
| Line 41: | Line 41: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Dies ist jedoch falsch! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt: | Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt: | ||
:<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math> | :<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math> | ||
mit g=2,0023 g sogenannter | mit g=2,0023 ,g sogenannter Lande´- Faktor (gyromagnetischer Faktor) | ||
Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2!!! | Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!! | ||
====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons==== | ====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons==== | ||
Spin- Eigenzustände: <math>\left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}</math> | |||
Spin- Hilbertraum ( zweidimensional !) | |||
Notation: | Notation: | ||
| Line 59: | Line 59: | ||
;Spin down:<math>\left| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math> | ;Spin down:<math>\left| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math> | ||
Dimensionsloser Spinoperator | Dimensionsloser Spinoperator | ||
Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände: | Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \uparrow \right\rangle =\frac{\hbar }{2}\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \\ | & {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \uparrow \right\rangle =\frac{\hbar }{2}\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \\ | ||
| Line 71: | Line 71: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>{{\hat{S}}_{3}}</math> | |||
ist hermitesch | |||
Eigenwerte: <math>\pm 1</math> | Eigenwerte: <math>\pm 1</math> | ||
Orthonormierung: <math>\begin{align} | |||
& \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\left\langle \downarrow | \downarrow \right\rangle =1 \\ | & \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\left\langle \downarrow | \downarrow \right\rangle =1 \\ | ||
| Line 83: | Line 85: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Vollständigkeit: <math>\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|+\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|=1</math> | |||
Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als | Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left| a(t) \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow | & \left| a(t) \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\left| a(t) \right\rangle +\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|\left| a(t) \right\rangle \\ | ||
& \left\langle \uparrow | & \left\langle \uparrow \right|\left| a(t) \right\rangle :={{a}_{1}}(t) \\ | ||
& \left\langle \downarrow | & \left\langle \downarrow \right|\left| a(t) \right\rangle :={{a}_{2}}(t) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| Line 101: | Line 103: | ||
:<math>\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}</math> | :<math>\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}</math> | ||
(ganz allgemeine | (ganz allgemeine Drehimpuls- Vertausch- Relation) | ||
(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert!) | (Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !) | ||
folgt: | folgt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \hat{\bar{\sigma }}\times \hat{\bar{\sigma }}=2i\hat{\bar{\sigma }} \\ | & \hat{\bar{\sigma }}\times \hat{\bar{\sigma }}=2i\hat{\bar{\sigma }} \\ | ||
| Line 115: | Line 117: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle =3\left| \uparrow \right\rangle \\ | & {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle =3\left| \uparrow \right\rangle \\ | ||
| Line 123: | Line 125: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Spin- leiteroperatoren:; | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{\pm }}:={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\pm i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \\ | & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{\pm }}:={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\pm i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \\ | ||
| Line 135: | Line 137: | ||
Somit folgt: | Somit folgt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow \right\rangle \\ | & \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow \right\rangle \\ | ||
| Line 145: | Line 147: | ||
Andererseits gilt: | Andererseits gilt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left| \uparrow \right\rangle \\ | & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left| \uparrow \right\rangle \\ | ||
| Line 153: | Line 155: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen! | Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen ! | ||
Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>: | Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>: | ||
| Line 175: | Line 177: | ||
Weiter: | Weiter: | ||
<math>\left\langle \uparrow \right|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\alpha </math> | |||
Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt: | Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt: | ||
| Line 181: | Line 183: | ||
O.B. d. A.: wähle | O.B. d. A.: wähle | ||
<math>\alpha =\beta =2</math> | |||
Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt! | Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt ! | ||
So folgt: | So folgt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | ||
| Line 201: | Line 203: | ||
Außerdem: | Außerdem: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | ||
| Line 214: | Line 216: | ||
== Zusammenfassung == | |||
<math>\left| \uparrow \right\rangle </math> | |||
<math>\left| \downarrow \right\rangle </math> | |||
<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}</math> | |||
<math>\left| \downarrow \right\rangle </math> | |||
<math>\left| \uparrow \right\rangle </math> | |||
<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{2}}</math> | |||
<math>i\left| \downarrow \right\rangle </math> | |||
<math>-i\left| \uparrow \right\rangle </math> | |||
<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math> | |||
<math>\left| \uparrow \right\rangle </math> | |||
<math>\left| \downarrow \right\rangle </math> | |||
Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen: | Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen: | ||
(Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum): | ( Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum): | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} | & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} | ||
| Line 247: | Line 255: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Die Matrizen lassen sich ausschreiben: | Die Matrizen lassen sich ausschreiben : Paulische Spinmatrizen: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} | & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} | ||
| Line 277: | Line 285: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\begin{align} | |||
& \\ | & \\ | ||
| Line 313: | Line 321: | ||
Was den bekannten Relationen genügt: | Was den bekannten Relationen genügt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}=\left( \begin{matrix} | & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}=\left( \begin{matrix} | ||
| Line 353: | Line 361: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
erfüllt,.... usw... | erfüllt, .... usw... | ||
S3- Darstellung der Zustände: | S3- Darstellung der Zustände: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left( \begin{matrix} | & \left( \begin{matrix} | ||
| Line 397: | Line 405: | ||
1 \\ | 1 \\ | ||
\end{matrix} \right)</math> die Basis- Spinoren (Spaltenvektoren) | \end{matrix} \right)</math> | ||
die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren) | |||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle \uparrow \right|=\left( 1,0 \right) \\ | & \left\langle \uparrow \right|=\left( 1,0 \right) \\ | ||
| Line 405: | Line 415: | ||
& \left\langle \downarrow \right|=\left( 0,1 \right) \\ | & \left\langle \downarrow \right|=\left( 0,1 \right) \\ | ||
\end{align}</math> Zeilenvektoren (transponiert) | \end{align}</math> | ||
Zeilenvektoren ( transponiert) | |||
<math>\left( \begin{matrix} | |||
0 & 1 \\ | 0 & 1 \\ | ||
| Line 429: | Line 441: | ||
was äquivalent ist zu | was äquivalent ist zu | ||
<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math> | |||