Editing Spin- Operatoren und Zustände
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Latest revision | Your text | ||
Line 1: | Line 1: | ||
<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|1}}</noinclude> | <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|1}}</noinclude> | ||
'''Stern- Gerlach Experiment: 1922:''' | |||
Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot Strahl</math> | |||
Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß | |||
<math>\bar{F}=\nabla \left( {{\mu }_{3}}{{B}_{3}} \right)={{\mu }_{3}}\nabla {{B}_{3}}</math> | |||
: | Somit: Ablenkung parallel zu µ3 !! | ||
Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math> | |||
- fache Strahlaufspaltung ( also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung) | |||
beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !! | |||
<math>\Rightarrow \bar{\mu }\tilde{\ }\bar{S}</math> | |||
Eigendrehimpuls ( | Eigendrehimpuls ( Spin) des Elektrons ! | ||
<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math> | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{m}_{S}}=\pm \frac{1}{2} \\ | & {{m}_{S}}=\pm \frac{1}{2} \\ | ||
Line 33: | Line 33: | ||
Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse: | Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \Rightarrow \bar{\mu }=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}\bar{S}\quad e<0 \\ | & \Rightarrow \bar{\mu }=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}\bar{S}\quad e<0 \\ | ||
Line 41: | Line 41: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Dies ist jedoch falsch! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt: | Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt: | ||
<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math> | |||
mit g=2,0023 g sogenannter | mit g=2,0023 , g sogenannter Lande´- Faktor ( gyromagnetischer Faktor) | ||
Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2!!! | Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!! | ||
====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons==== | ====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons==== | ||
Spin- Eigenzustände: <math>\left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}</math> | |||
Spin- Hilbertraum ( zweidimensional !) | |||
Notation: | Notation: | ||
<math>\left| +\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle </math> | |||
Spin up ! | |||
<math>\left| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math> | |||
Spin down ! | |||
Dimensionsloser Spinoperator | |||
Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände: | Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \uparrow \right\rangle =\frac{\hbar }{2}\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \\ | & {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \uparrow \right\rangle =\frac{\hbar }{2}\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \\ | ||
Line 71: | Line 76: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>{{\hat{S}}_{3}}</math> | |||
ist hermitesch | |||
Eigenwerte: <math>\pm 1</math> | Eigenwerte: <math>\pm 1</math> | ||
Orthonormierung: <math>\begin{align} | |||
& \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\left\langle \downarrow | \downarrow \right\rangle =1 \\ | & \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\left\langle \downarrow | \downarrow \right\rangle =1 \\ | ||
Line 83: | Line 90: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Vollständigkeit: <math>\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|+\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|=1</math> | |||
Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als | Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left| a(t) \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow | & \left| a(t) \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|\left| a(t) \right\rangle +\left| \downarrow \right\rangle \left\langle \downarrow \right|\left| a(t) \right\rangle \\ | ||
& \left\langle \uparrow | & \left\langle \uparrow \right|\left| a(t) \right\rangle :={{a}_{1}}(t) \\ | ||
& \left\langle \downarrow | & \left\langle \downarrow \right|\left| a(t) \right\rangle :={{a}_{2}}(t) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 99: | Line 106: | ||
Aus: | Aus: | ||
<math>\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}</math> | |||
(ganz allgemeine | ( ganz allgemeine Drehimpuls- Vertausch- Relation) | ||
(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert!) | ( Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !) | ||
folgt: | folgt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \hat{\bar{\sigma }}\times \hat{\bar{\sigma }}=2i\hat{\bar{\sigma }} \\ | & \hat{\bar{\sigma }}\times \hat{\bar{\sigma }}=2i\hat{\bar{\sigma }} \\ | ||
Line 115: | Line 122: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle =3\left| \uparrow \right\rangle \\ | & {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \uparrow \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle =3\left| \uparrow \right\rangle \\ | ||
Line 123: | Line 130: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Spin- leiteroperatoren:; | |||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{\pm }}:={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\pm i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \\ | & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{\pm }}:={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\pm i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \\ | ||
Line 135: | Line 142: | ||
Somit folgt: | Somit folgt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow \right\rangle \\ | & \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow \right\rangle \\ | ||
Line 145: | Line 152: | ||
Andererseits gilt: | Andererseits gilt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left| \uparrow \right\rangle \\ | & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left| \uparrow \right\rangle \\ | ||
Line 153: | Line 160: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen! | Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen ! | ||
Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math> | |||
: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}^{+}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle \\ | & \alpha *\alpha =\left\langle \downarrow \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}^{+}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\left\langle \downarrow \right|\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle \\ | ||
Line 175: | Line 184: | ||
Weiter: | Weiter: | ||
<math>\left\langle \uparrow \right|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left| \downarrow \right\rangle =\alpha \left\langle \uparrow | \uparrow \right\rangle =\alpha </math> | |||
Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt: | Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt: | ||
Line 181: | Line 190: | ||
O.B. d. A.: wähle | O.B. d. A.: wähle | ||
<math>\alpha =\beta =2</math> | |||
Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt! | Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt ! | ||
So folgt: | So folgt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | ||
Line 201: | Line 210: | ||
Außerdem: | Außerdem: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | & \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow \right\rangle =2\left| \uparrow \right\rangle \\ | ||
Line 213: | Line 222: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Zusammenfassung: | |||
<math>\left| \uparrow \right\rangle </math> | |||
<math>\left| \downarrow \right\rangle </math> | |||
<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}</math> | |||
<math>\left| \downarrow \right\rangle </math> | |||
<math>\left| \uparrow \right\rangle </math> | |||
<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{2}}</math> | |||
<math>i\left| \downarrow \right\rangle </math> | |||
<math>-i\left| \uparrow \right\rangle </math> | |||
<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math> | |||
<math>\left| \uparrow \right\rangle </math> | |||
<math>\left| \downarrow \right\rangle </math> | |||
Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen: | Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen: | ||
(Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum): | ( Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum): | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} | & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} | ||
Line 247: | Line 260: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Die Matrizen lassen sich ausschreiben: | Die Matrizen lassen sich ausschreiben : Paulische Spinmatrizen: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} | & {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix} | ||
Line 277: | Line 290: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\begin{align} | |||
& \\ | & \\ | ||
Line 313: | Line 326: | ||
Was den bekannten Relationen genügt: | Was den bekannten Relationen genügt: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}=\left( \begin{matrix} | & {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}=\left( \begin{matrix} | ||
Line 353: | Line 366: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
erfüllt,.... usw... | erfüllt, .... usw... | ||
S3- Darstellung der Zustände: | S3- Darstellung der Zustände: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \left( \begin{matrix} | & \left( \begin{matrix} | ||
Line 397: | Line 410: | ||
1 \\ | 1 \\ | ||
\end{matrix} \right)</math> | \end{matrix} \right)</math> | ||
die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren) | |||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle \uparrow \right|=\left( 1,0 \right) \\ | & \left\langle \uparrow \right|=\left( 1,0 \right) \\ | ||
Line 405: | Line 420: | ||
& \left\langle \downarrow \right|=\left( 0,1 \right) \\ | & \left\langle \downarrow \right|=\left( 0,1 \right) \\ | ||
\end{align}</math> Zeilenvektoren (transponiert) | \end{align}</math> | ||
Zeilenvektoren ( transponiert) | |||
<math>\left( \begin{matrix} | |||
0 & 1 \\ | 0 & 1 \\ | ||
Line 429: | Line 446: | ||
was äquivalent ist zu | was äquivalent ist zu | ||
<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left| \uparrow \right\rangle =\left| \downarrow \right\rangle </math> |