Editing Spin- Operatoren und Zustände

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<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|1}}</noinclude>
{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|1}}


{{FB|Stern-Gerlach Experiment}}:  (1922)
'''Stern- Gerlach Experiment:  1922:'''


[[Datei:Stern-Gerlach Experiment de.png]]
Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot Strahl</math>


Für das inhomogene Magnetfeld gilt: <math>\nabla {{B}_{3}}\bot \text{Strahl}</math>
Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß


Die Kraft auf das magnetische Moment ergibt sich gemäß
<math>\bar{F}=\nabla \left( {{\mu }_{3}}{{B}_{3}} \right)={{\mu }_{3}}\nabla {{B}_{3}}</math>


:<math>\bar{F}=\nabla \left( {{\mu }_{3}}{{B}_{3}} \right)={{\mu }_{3}}\nabla {{B}_{3}}</math>
Somit: Ablenkung parallel zu µ3  !!


Somit: Ablenkung proportional zu µ3!!
Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>


Bahndrehimpuls l ergäbe <math>2l+1</math>- fache Strahlaufspaltung (also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)
- fache Strahlaufspaltung ( also in jedem Fall ungeradzahlige Strahlaufspaltung)


Beobachtet wurde zweifache Aufspaltung!!
beobachtet wurde zweifache Aufspaltung !!


:<math>\Rightarrow \bar{\mu }\sim \bar{S}</math>
<math>\Rightarrow \bar{\mu }\tilde{\ }\bar{S}</math>


Eigendrehimpuls ({{FB|Spin}}) des Elektrons!
Eigendrehimpuls ( Spin) des Elektrons !


:<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math>
<math>{{S}_{3}}={{m}_{S}}\hbar </math>


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& {{m}_{S}}=\pm \frac{1}{2} \\
& {{m}_{S}}=\pm \frac{1}{2} \\
Line 33: Line 33:
Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:
Klassische Vorstellung: Rotation eines geladenen Körpers um seine eigene Achse:


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& \Rightarrow \bar{\mu }=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}\bar{S}\quad e<0 \\
& \Rightarrow \bar{\mu }=\frac{+e}{2{{m}_{0}}}\bar{S}\quad e<0 \\
Line 41: Line 41:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


Dies ist jedoch falsch! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:
Dies ist jedoch falsch ! Vielmehr wurde experimentell der folgende Wert ermittelt:


:<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math>
<math>{{\mu }_{3}}=+g\frac{+e}{2{{m}_{0}}}{{S}_{3}}</math>


mit g=2,0023  g sogenannter {{FB|Lande-Faktor}} (gyromagnetischer Faktor)
mit g=2,0023  , g sogenannter Lande´- Faktor  ( gyromagnetischer Faktor)


Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2!!!
Mit relativistischen Korrekturen kommt man zu der Abweichung von der genauen 2 !!!


====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons====
====Spin als Freiheitsgrad des Elektrons====
{{FB|Spin-Eigenzustände}}: <math>\left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}</math>
Spin- Eigenzustände: <math>\left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}}</math>


{{FB|Spin-Hilbertraum}} (zweidimensional!)
Spin- Hilbertraum ( zweidimensional !)


Notation:
Notation:


;Spin up:<math>\left| +\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \uparrow  \right\rangle </math>
<math>\left| +\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \uparrow  \right\rangle </math>
;Spin down:<math>\left| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \downarrow  \right\rangle </math>
 
Spin up !


Dimensionsloser Spinoperator <math>\hat \bar \sigma</math>
<math>\left| -\frac{1}{2} \right\rangle =\left| \downarrow  \right\rangle </math>
 
Spin down !
 
Dimensionsloser Spinoperator


Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:
Mit Eigenwerten und Spinzuständen als Eigenzustände:


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \uparrow  \right\rangle =\frac{\hbar }{2}\left| \uparrow  \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \uparrow  \right\rangle =\left| \uparrow  \right\rangle  \\
& {{{\hat{\bar{S}}}}_{3}}\left| \uparrow  \right\rangle =\frac{\hbar }{2}\left| \uparrow  \right\rangle \Rightarrow \hat{\bar{\sigma }}\left| \uparrow  \right\rangle =\left| \uparrow  \right\rangle  \\
Line 71: Line 76:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


:<math>{{\hat{S}}_{3}}</math> ist hermitesch
<math>{{\hat{S}}_{3}}</math>
 
ist hermitesch


Eigenwerte: <math>\pm 1</math>
Eigenwerte: <math>\pm 1</math>


'''Orthonormierung''': <math>\begin{align}
Orthonormierung: <math>\begin{align}


& \left\langle  \uparrow  | \uparrow  \right\rangle =\left\langle  \downarrow  | \downarrow  \right\rangle =1 \\
& \left\langle  \uparrow  | \uparrow  \right\rangle =\left\langle  \downarrow  | \downarrow  \right\rangle =1 \\
Line 83: Line 90:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


'''Vollständigkeit''': <math>\left| \uparrow  \right\rangle \left\langle  \uparrow  \right|+\left| \downarrow  \right\rangle \left\langle  \downarrow  \right|=1</math>
Vollständigkeit: <math>\left| \uparrow  \right\rangle \left\langle  \uparrow  \right|+\left| \downarrow  \right\rangle \left\langle  \downarrow  \right|=1</math>


Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als
Das heißt, jeder beliebige, auch zeitabhängige Spinzustand kann entwickelt werden als


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& \left| a(t) \right\rangle =\left| \uparrow  \right\rangle \left\langle  \uparrow   | a(t) \right\rangle +\left| \downarrow  \right\rangle \left\langle  \downarrow   | a(t) \right\rangle  \\
& \left| a(t) \right\rangle =\left| \uparrow  \right\rangle \left\langle  \uparrow \right|\left| a(t) \right\rangle +\left| \downarrow  \right\rangle \left\langle  \downarrow \right|\left| a(t) \right\rangle  \\


& \left\langle  \uparrow   | a(t) \right\rangle :={{a}_{1}}(t) \\
& \left\langle  \uparrow \right|\left| a(t) \right\rangle :={{a}_{1}}(t) \\


& \left\langle  \downarrow   | a(t) \right\rangle :={{a}_{2}}(t) \\
& \left\langle  \downarrow \right|\left| a(t) \right\rangle :={{a}_{2}}(t) \\


\end{align}</math>
\end{align}</math>
Line 99: Line 106:
Aus:
Aus:


:<math>\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}</math>
<math>\hat{S}\times \hat{S}=i\hbar \hat{S}</math>


(ganz allgemeine {{FB|Drehimpuls-Vertauschungs-Relation}})
( ganz allgemeine Drehimpuls- Vertausch- Relation)


(Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert!)
( Operatoren, die dieser Relation genügen sind als Drehimpulse definiert !)


folgt:
folgt:


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& \hat{\bar{\sigma }}\times \hat{\bar{\sigma }}=2i\hat{\bar{\sigma }} \\
& \hat{\bar{\sigma }}\times \hat{\bar{\sigma }}=2i\hat{\bar{\sigma }} \\
Line 115: Line 122:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \uparrow  \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \uparrow  \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \uparrow  \right\rangle =3\left| \uparrow  \right\rangle  \\
& {{{\hat{\bar{S}}}}^{2}}\left| \uparrow  \right\rangle ={{\hbar }^{2}}s(s+1)\left| \uparrow  \right\rangle \Rightarrow s=\frac{1}{2}\Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}^{2}}\left| \uparrow  \right\rangle =3\left| \uparrow  \right\rangle  \\
Line 123: Line 130:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


{{FB|Spin-Leiteroperatoren}}:
Spin- leiteroperatoren:;


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{\pm }}:={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\pm i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \\
& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{\pm }}:={{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\pm i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \\
Line 135: Line 142:
Somit folgt:
Somit folgt:


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow  \right\rangle =-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow  \right\rangle  \\
& \Rightarrow {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}\left| \uparrow  \right\rangle =-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}\left| \uparrow  \right\rangle  \\
Line 145: Line 152:
Andererseits gilt:
Andererseits gilt:


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow  \right\rangle =\alpha \left| \uparrow  \right\rangle  \\
& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow  \right\rangle =\alpha \left| \uparrow  \right\rangle  \\
Line 153: Line 160:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen!
Beliebige Koeffizienten als Ansatz setzen !
 
Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>


Berechnung der Koeffizienten <math>\alpha ,\beta </math>:
:


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& \alpha *\alpha =\left\langle  \downarrow  \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}^{+}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow  \right\rangle =\left\langle  \downarrow  \right|\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle  \\
& \alpha *\alpha =\left\langle  \downarrow  \right|{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}^{+}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{+}}\left| \downarrow  \right\rangle =\left\langle  \downarrow  \right|\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}-i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle  \\
Line 175: Line 184:
Weiter:
Weiter:


:<math>\left\langle  \uparrow  \right|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left| \downarrow  \right\rangle =\alpha \left\langle  \uparrow  | \uparrow  \right\rangle =\alpha </math>
<math>\left\langle  \uparrow  \right|{{\hat{\bar{\sigma }}}_{+}}\left| \downarrow  \right\rangle =\alpha \left\langle  \uparrow  | \uparrow  \right\rangle =\alpha </math>


Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:
Aber gleichzeitig, wenn man den Operator gekreuzt nach links wirken läßt:
Line 181: Line 190:
O.B. d. A.:  wähle
O.B. d. A.:  wähle


:<math>\alpha =\beta =2</math>
<math>\alpha =\beta =2</math>


Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt!
Auch hier gewinnt man wieder Bestimmungsgleichungen für die Eigenwerte bzw. die Koeffizienten, wir haben ja keine Eigenwerte hier, indem man die gesuchten Operatoren durch bekannte ausdrückt !


So folgt:
So folgt:


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle =2\left| \uparrow  \right\rangle  \\
& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle =\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle =2\left| \uparrow  \right\rangle  \\
Line 201: Line 210:
Außerdem:
Außerdem:


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle =2\left| \uparrow  \right\rangle  \\
& \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle =\left( i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}+i{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}} \right)\left| \downarrow  \right\rangle =2\left| \uparrow  \right\rangle  \\
Line 213: Line 222:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


Zusammenfassung:
<math>\left| \uparrow  \right\rangle </math>
<math>\left| \downarrow  \right\rangle </math>
<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}</math>
<math>\left| \downarrow  \right\rangle </math>
<math>\left| \uparrow  \right\rangle </math>
<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{2}}</math>
<math>i\left| \downarrow  \right\rangle </math>
<math>-i\left| \uparrow  \right\rangle </math>


   
<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>
<math>\left| \uparrow \right\rangle </math>
<math>\left| \downarrow  \right\rangle </math>


{| class="wikitable" border="1"
|+ Zusammenfassung
!!!<math>\left| \uparrow  \right\rangle </math>!! <math>\left| \downarrow  \right\rangle </math>
|-
| <math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}</math> || <math>\left| \downarrow  \right\rangle </math> || <math>\left| \uparrow  \right\rangle </math>
|-
|<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{2}}</math>||<math>i\left| \downarrow  \right\rangle </math>||<math>-i\left| \uparrow  \right\rangle </math>
|-
|<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>||<math>\left| \uparrow  \right\rangle </math>||<math>\left| \downarrow  \right\rangle </math>
|}


Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:
Die Spin- Operatoren lassen sich in diesem Sinne durch 2x2 Matrizen darstellen:


(Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):
( Im zweidimensionalen Spin- Eigenraum):


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix}
& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{i}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix}
Line 247: Line 260:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


Die Matrizen lassen sich ausschreiben: {{FB|Paulische Spinmatrizen}}:
Die Matrizen lassen sich ausschreiben : Paulische Spinmatrizen:


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix}
& {{\left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}} \right)}_{\alpha \beta }}=\left( \begin{matrix}
Line 277: Line 290:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


&  \\
&  \\
Line 313: Line 326:
Was den bekannten Relationen genügt:
Was den bekannten Relationen genügt:


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}=\left( \begin{matrix}
& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{1}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{2}}=\left( \begin{matrix}
Line 353: Line 366:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


erfüllt,.... usw...
erfüllt, .... usw...


S3- Darstellung der Zustände:
S3- Darstellung der Zustände:


:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}


& \left( \begin{matrix}
& \left( \begin{matrix}
Line 397: Line 410:
1  \\
1  \\


\end{matrix} \right)</math> die Basis- Spinoren (Spaltenvektoren)
\end{matrix} \right)</math>


:<math>\begin{align}
die Basis- Spinoren ( Spaltenvektoren)
 
<math>\begin{align}


& \left\langle  \uparrow  \right|=\left( 1,0 \right) \\
& \left\langle  \uparrow  \right|=\left( 1,0 \right) \\
Line 405: Line 420:
& \left\langle  \downarrow  \right|=\left( 0,1 \right) \\
& \left\langle  \downarrow  \right|=\left( 0,1 \right) \\


\end{align}</math> Zeilenvektoren (transponiert)
\end{align}</math>
 
Zeilenvektoren ( transponiert)


:<math>\left( \begin{matrix}
<math>\left( \begin{matrix}


0 & 1  \\
0 & 1  \\
Line 429: Line 446:
was äquivalent ist zu
was äquivalent ist zu


:<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left| \uparrow  \right\rangle =\left| \downarrow  \right\rangle </math>
<math>{{\hat{\bar{\sigma }}}_{1}}\left| \uparrow  \right\rangle =\left| \downarrow  \right\rangle </math>
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