Editing Spezifische Wärme von Festkörpern

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===Spezifische Wärme von Festkörpern===

====Einsteinsche Theorie (1907):====

Jedes Molekül des Festkörpers ist harmonisch an seine Ruhelage gebunden, mit '''gleicher '''Frequenz <math>\omega </math>

:

Also:  Pro Mol 3Na   harmonische Oszillatoren (3 kartesische Koordinaten!)

Nach Parapgraph 5.5:

:<math>\begin{align}

& {{c}_{Vs}}=3{{N}_{A}}\frac{\partial }{\partial T}\left( \frac{1}{\left[ \exp \left( \frac{\hbar \omega }{kT} \right)-1 \right]}+\frac{1}{2} \right)\hbar \omega =3R\frac{{{\left( \frac{{{\Theta }_{S}}}{T} \right)}^{2}}{{e}^{\left( \frac{{{\Theta }_{S}}}{T} \right)}}}{{{\left( {{e}^{\left( \frac{{{\Theta }_{S}}}{T} \right)}}-1 \right)}^{2}}} \\

& {{\Theta }_{S}}:=\frac{\hbar \omega }{k} \\

\end{align}</math>

Damit ergibt sich beispielsweise für Diamant:

Wobei im Nullbereich für kleine Temperaturen:

:<math>\begin{align}

& {{c}_{Vs}}\tilde{\ }{{e}^{-\left( \frac{{{\Theta }_{S}}}{T} \right)}} \\

& {{\Theta }_{S}}:=\frac{\hbar \omega }{k} \\

\end{align}</math>

Ansonsten:

:<math>\begin{align}

& T>>{{\Theta }_{S}} \\

& \Rightarrow {{c}_{vs}}->3R \\

\end{align}</math>

'''Bemerkung:'''

Experimentell gilt jedoch für tiefe Temperaturen nicht <math>\begin{align}

& {{c}_{Vs}}\tilde{\ }{{e}^{-\left( \frac{{{\Theta }_{S}}}{T} \right)}} \\

& {{\Theta }_{S}}:=\frac{\hbar \omega }{k} \\

\end{align}</math>

sondern

:<math>{{c}_{Vs}}\tilde{\ }{{T}^{3}}</math>

!

====Debyesche Theorie (1911):====

Kopplung der Moleküle untereinander

* Festkörper als elastisches Medium mit stehenden Wellen, die der Dispersion unterliegen:
:<math>\omega =\omega \left( {\bar{k}} \right)</math>

Interpretation der Schwingungsquanten als Quasiteilchen (Bosonen): Phononen!

'''Dispersionsrelation'''

Es existieren 3 Zweige (1 longitudinale, 2 transversale Schallwellen (entsprechen akustischen Phononen)

:<math>\begin{align}

& \omega =\omega \left( {\bar{k}} \right):=\omega \left( {\bar{q}} \right) \\

& \omega \left( {\bar{q}} \right)={{v}_{L}}q\left( LA \right) \\

& \omega \left( {\bar{q}} \right)={{v}_{T}}q\left( TA \right) \\

\end{align}</math>

Das Spektrum wird bei <math>q={{q}_{D}}</math>

so abgeschnitten, dass die Zahl der Freiheitsgrade gerade 3N ist (N Gitterpunkte)!

====Zustandsdichte des Phononengases (vergl. Photonengas, S. 145)====

:<math>\begin{align}

& \sum\limits_{{\bar{q}}}^{{}}{{}}->\frac{V}{{{h}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}\left( \hbar \bar{q} \right)=\frac{4\pi V}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}}\int_{0}^{{{q}_{D}}}{{}}dq{{q}^{2}}=\frac{4\pi V}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}}\left( \frac{1}{{{v}_{L}}^{3}}+\frac{2}{{{v}_{T}}^{3}} \right)\int_{0}^{{{\omega }_{D}}}{{}}d\omega {{\omega }^{2}} \\

& \left( \frac{1}{{{v}_{L}}^{3}}+\frac{2}{{{v}_{T}}^{3}} \right)\tilde{\ }\frac{3}{{{{\bar{v}}}^{3}}} \\

& \Rightarrow 3N=!=\frac{4\pi V}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}}\left( \frac{1}{{{v}_{L}}^{3}}+\frac{2}{{{v}_{T}}^{3}} \right)\int_{0}^{{{\omega }_{D}}}{{}}d\omega {{\omega }^{2}}=\frac{4\pi V}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}}\frac{3}{{{{\bar{v}}}^{3}}}\int_{0}^{{{\omega }_{D}}}{{}}d\omega {{\omega }^{2}}=\frac{4\pi V}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}}\frac{{{\omega }_{D}}^{3}}{{{{\bar{v}}}^{3}}} \\

\end{align}</math>

Dabei ist

:<math>{{\omega }_{D}}</math>

die mittlere Abschneidefrequenz (= Debye- Frequenz)

Nach § 5.5  trägt jede Frequenz mit

:<math>{{U}_{\omega }}=\left( \left\langle {{n}_{\omega }} \right\rangle +\frac{1}{2} \right)\hbar \omega =\left( \frac{1}{{{e}^{\beta \hbar \omega }}-1}+\frac{1}{2} \right)\hbar \omega </math>

zur inneren Energie bei!

Also ergibt sich als gesamte innere Energie:

:<math>U=\frac{9N}{{{\omega }_{D}}^{3}}\int_{0}^{{{\omega }_{D}}}{{}}d\omega {{\omega }^{2}}\left( \frac{1}{{{e}^{\beta \hbar \omega }}-1}+\frac{1}{2} \right)\hbar \omega </math>

Mit der '''Debye- Temperatur'''

:<math>{{\Theta }_{D}}:=\frac{\hbar {{\omega }_{D}}}{k}</math>

folgt:

:<math>\begin{align}

& U=9NkT\Psi \left( \frac{{{\Theta }_{D}}}{T} \right)+{{U}_{0}} \\

& \Psi \left( \xi  \right):=\frac{1}{{{\xi }^{3}}}\int_{0}^{\xi }{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1} \\

& \xi =\frac{{{\Theta }_{D}}}{T} \\

\end{align}</math>

Typische Debye- Temperaturen:

'''Diamant: '''<math>{{\Theta }_{D}}=1860K</math>

→ ungewöhnlich hoch → Quanteneffekte beobachtbar!

Aluminium: <math>{{\Theta }_{D}}=390K</math>

Blei: <math>{{\Theta }_{D}}=88K</math>

Näherungen:

:<math>\begin{align}

& T<<{{\Theta }_{D}} \\

& \xi >>1 \\

& \Rightarrow \Psi \left( \xi  \right):=\frac{1}{{{\xi }^{3}}}\int_{0}^{\xi }{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}\approx \frac{1}{{{\xi }^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}=\frac{1}{{{\xi }^{3}}}\frac{{{\pi }^{4}}}{15} \\

& U=9\frac{{{\pi }^{4}}}{15}NkT{{\left( \frac{T}{{{\Theta }_{D}}} \right)}^{3}} \\

& \Rightarrow {{C}_{V}}=\frac{\partial U}{\partial T}=\frac{36}{15}{{\pi }^{4}}Nk{{\left( \frac{T}{{{\Theta }_{D}}} \right)}^{3}} \\

& {{c}_{v}}=\frac{12}{5}{{\pi }^{4}}R{{\left( \frac{T}{{{\Theta }_{D}}} \right)}^{3}} \\

\end{align}</math>

* extremer Quantenlimes der spezifischen Wärmekapazität, entsprechend dem experimentell beobachteten Tieftemperaturverhalten!

:<math>\begin{align}

& T>>{{\Theta }_{D}} \\

& \xi <<1 \\

& \Rightarrow \Psi \left( \xi  \right)\approx \frac{1}{{{\xi }^{3}}}\int_{0}^{\xi }{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{x}=\frac{1}{3} \\

& U=3NkT \\

& {{c}_{v}}=3R \\

\end{align}</math>

Gesetz von Dulong- Petit (klassisch)

'''Nebenbemerkung'''

Falls mehr als Ein Atom in der Elementarzelle des Gitters sitzt, so existieren weitere Zweige der Dispersionsrelation! (optische Phononen). Diese können mit der Einsteinschen Theorie

:<math>\omega \left( q \right)=const.</math>

besser beschrieben werden!