Editing SchwingendeRollendeWagen

Das im Bild dargestellte System besteht aus zwei Wagen mit einer Feder.

[[Datei:SchwingendeRollendeWagen.jpg|minatur|Schwingende-rollende-Wagen]]

Für t < 0 befindet sich das System unter Wirkung der Kraft <math>F = 1, 3 kN</math> im Gleichgewicht, die die Feder mit der Federsteifigkeit <math>k = 2500N/m</math> ist zusammengedrückt. Für <math>t = 0</math> wird die Kraft F plötzlich entfernt und die Wagen setzen sich in Bewegung. Die Masse des Wagens A ist gegeben mit <math>m_A = 1,2 kg</math> und die von B mit <math>m_B = 0,6 kg</math>.
 
a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit <math>v_B</math>, mit der sich der Wagen B nach dem Ablösen von A bewegt.
{{Lösung|{{PhIngGl|3.5|3.5.E}}Auflösung von {{FB|Federkraft}} und {{FB|Energieerhaltung}} nach x und v| Code=N[F] = 1300; N@k = 2500; N@mA = 1.2; N@mB = 0.6; v =.; x =.

{x, v} = {x, v} /. 

  Solve[{k x == F, 1/2 k x^2 == 1/2 (mA + mB) v^2}, {v, x}][[2]]

N@v |Zahl=19.3793|Einheit=m/s}}
b)	Wagen B prallt zentral auf einen ruhenden Wagen C der Masse mC = 1 kg. Wagen B kommt komplett zum stehen (inelastischer Stoß). Wie schnell fährt Wagen C?

{{Lösung|{{PhIngGl|2.2}} {{FB|Impulserhaltung}}|Code=N@mC = 1; v2 =.

v2 = v2 /. Solve[mB v == mC v2, v2][[1]]

N@v2|Zahl=11.6276|Einheit=m/s}}

  
c)	Geben Sie die Differentialgleichung an, mit der der Wagen A harmonisch schwingt. (Beachten Sie, dass der Wagen B sich abgelöst hat.)

{{Lösung|{{PhIngGl|2.4|2.2|1.7|3.5}} <math>m\dot \dot x =-kx</math>}}

d)	Mit welcher Frequenz  schwingt der Wagen A nach dem Ablösen?  
{{Lösung|{{PhIngGl|4.29}}es handelt sich um ein [[Federpendel]]|Code=Clear[x];

DSolve[mA D[x[t], {t, 2}] == -k x[t], x[t], t]
N[Sqrt[k/mA]]|Zahl=45.6435|Einheit=1/s|Ende=Die Lösung der Differtialgleichung lautet 
:<math>x(t)\to c_2 \sin \left(\frac{\sqrt{k} t}{\sqrt{m_A}}\right)+c_1 \cos \left(\frac{\sqrt{k} t}{\sqrt{m_A}}\right)</math> Die {{FB|Kreisfrequenz}} ist der Vorfaktor vor dem t. Man kann das Ergebnis noch durch <math>2 \pi</math> teilen um die "normale" Frequenz zu erhalten (<math>\nu=11.4109 s^{-1}</math>) }}
e)	Berechnen Sie die Frequenz ω, wenn Wagen A mit β =r/2m  =15 s^(-1) gebremst würde.
{{Lösung|{{PhIngGl|4.33}}|Code=
r =.;
DSolve[mA x''[t] == -k x[t] - r x'[t], x[t], t]
N@\[Beta] = 15;
r = \[Beta] 2 mA
N@(Sqrt[4 k mA - r^2]/(2 mA))|Zahl=43.1084|Einheit=1/s|Ende=Die Lösung der Differtialgleichung lautet

:<math>x(t)\to c_1 e^{\frac{t \left(-\sqrt{r^2-4 k m_A}-r\right)}{2 m_A}}+c_2 e^{\frac{t \left(\sqrt{r^2-4 k m_A}-r\right)}{2 m_A}}</math>.
<math>\nu=6.86091 \frac{1}{s}</math>}}

{{Klausuraufgabe
|KADatum=SS08
|KAAufgabe=4
|KAAbschnitt=MSW
|KAPunkte=10
}}