Editing Quantentheoretischer Zugang

<noinclude>{{ScriptKnorr|Thermodynamik|2|1}}</noinclude>
==Einteilchenzustände im Kasten==
Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:
[[File:Particle in a box wavefunctions.svg|miniatur|Kastne mit Länge L und Energiedifferenz <math>\Delta \epsilon</math> 
:<math>V=L^3</math> (Volumen)]]
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.
:<math>H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {\vec{r}} \right)</math> für unendlich hohe Wände
Einteilchenfunktion
:<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right)</math> mit <math>\vec{n}=\left( {{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}} \right);\quad{{n}_{i}}=1,2,...</math>
und Energieeigenwerten
:<math>{{\varepsilon }_{n}}=\frac{\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}\left( {{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2} \right)</math>
Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert
:<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\left\langle  {\vec{r}} | n \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>(3-Quantenzahlen)
==Großer Kasten, dichtliegende Zustände==
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen
:<math>{{\varphi }_{n}}\left( x=0,y,z \right)={{\varphi }_{n}}\left( x=L,y,z \right)\quad \forall {{x}_{i}}</math> periodisch angeordnete Kästen nebeneinander

'''Ansatz''':

freie Teilchen im Kasten: <math>{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}</math>


:<math>\begin{align}
  & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}={{e}^{i\vec{k}.\left( \vec{r}+\vec{L} \right)}},\quad \vec{L}=\left( L,L,L \right) \\
 & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}=1\text{  w }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ hlen} \\
 & \Rightarrow {{k}_{i}}=\left( {{k}_{x}},{{k}_{y}},{{k}_{z}} \right):\,\,{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\
\end{align}</math>

Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:
:<math>\begin{align}
  & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\
 & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\
\end{align}</math>
man kann mit den ebenen Wellen besser als mit den Sinusfunktionen rechen, weil:
man oft Quantenzahlen bzw. Zuständer zählen mus (wie in der klassichen Statiski beim Würfel =6)

k's zu zählen ist oft leichter als n's
z.B <math>\sum\limits_{\text{Zust }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nde}}{...}\triangleq \sum\limits_{\text{k }\!\!'\!\!\text{ s}}{...}</math>


:<math>{{\sum }_{\vec{k}\in \text{3-Dim Raum}}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace{{{\Delta }^{\text{3}}}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math>




:<math>\Delta k</math> sind dicht ~ <math>\frac{1}{L}\to \int_{{}}^{{}}{{}}</math>
Summe über die k-Quantenzahlen werden also

So übersetzt:<math>{{\sum }_{k}}\triangleq {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math>

==Vielteilchenzustände==

Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?
* N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt
→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas

Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:

:<math>H=\sum\limits_{i}{{{H}_{i}}}\,;\,{{H}_{i}}=\frac{p_{i}^{2}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {{{\vec{r}}}_{i}} \right)</math> i: Teilchennummer

:<math>H{{\Psi }_{n,N}}\left( \underbrace{\left\{ {{r}_{i}} \right\}}_{\text{alle Koordinaten}} \right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)</math> mit Quantenzahln n

→ in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch {{FB|Produktzustände}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)
:<math>{{\varepsilon }_{n,N}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)}</math> wobei <math>{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)</math> die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist
'''Vorläuftig''' :
:<math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)={{\varphi }_{n\left( 1 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{1}} \right){{\varphi }_{n\left( 2 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{2}} \right)\ldots {{\varphi }_{n\left( N \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{N}} \right)</math>

aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte

 <math>{{\left| \Psi \left( {{X}_{1}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{N}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}} \right) \right|}^{2}}</math>

die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein <math>{{X}_{i}}=\left( {{{\vec{r}}}_{i}},{{{\vec{s}}}_{i}} \right)</math>

Das geht für: <math>\Psi \left( {{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}} \right)</math>

Beide Lösungen werden realisiert und als {{FB|symmetrisch}}(+) und {{FB|antisymmetrisch}}(-) bezeichnet:
{{Def|
; Fermionen (-) :  antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin
; Bosonen (-):  symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940))
|Fermionen, Bosonen}}

Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.

(klassich: Grenzfall beider <math>T \to \infty</math>)

{{Beispiel|'''Beispiel:2 Teilchen'''

:<math>i=1,2\,\,;\,\,n=a,b</math>
vorläuftig<math>\Psi ={{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)</math>
Erfüllt die Schrödingergleichung '''aber nicht die Symmetrie'''
Daher (Anti)symmetriesierung durch
:<math>{{\Psi }^{F/B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)\mp {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right) \right)</math>
wobei <math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math> der Normierungsfaktor ist.
}}
((3 Teilchen als Übung))

'''Interpretation''':
* In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) → Pauliprinzip
* In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 → Bosekondensation)

→ völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.

*allgemin Ansätzte für N-Teilchen
:<math>{{\Psi }_{B}}=\frac{1}{\sqrt{\underbrace{N}_{\begin{smallmatrix}
 \text{Teilchenzahl} \\
 \text{wg Normierung}
\end{smallmatrix}}!}}\frac{1}{\underbrace{\sqrt{\prod\limits_{k}^{K}{{{N}_{k}}!}}}_{\begin{smallmatrix}
  & \text{wenn nur die Orbitale }{{\varphi }_{k}} \\
 & k<N\text{ besetzt weil mehrer} \\
 & \text{Teilchen in einem Orbital sitzen} \\
 & \text{so steht }{{\text{N}}_{k}}\text{ f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r die Zahl der} \\
 & \text{Teilchen in dem Orbital} \\
\end{smallmatrix}}}\underbrace{\sum\limits_{P}{P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Zumme   }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ ber alle Permutationen}}</math>

:<math>{{\Psi }_{F}}=\frac{1}{\sqrt{N!}}\underbrace{\sum\limits_{P}{\operatorname{sign}\left( P \right)P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }\left( -1 \right)}</math>

recht komplizierte Schreibweise:
besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.

jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen

[[Bild:Fermi-Bose]]
aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als:

:<math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)=\left\langle  {{{\vec{r}}}_{i}} | N,n \right\rangle \to \left| N,n \right\rangle </math>


:<math>\left| N,n \right\rangle =?</math>
ist gekennzeichnet durch
# die Gesamtteilchenzahl '''N'''
# wo man die Teilchen sitzen hat '''n'''


:<math>\left| N,n \right\rangle =\left| \begin{matrix}
   {{n}_{1}} & {{n}_{2}} & \cdots  & {{n}_{k}} & \cdots  & {{n}_{N}}  \\
   {{N}_{1}} & {{N}_{2}} & \cdots  & {{N}_{k}} & \cdots  & {{N}_{N}}  \\
\end{matrix} \right\rangle =\left| \begin{matrix}
   {{N}_{1}} & {{N}_{2}} & \cdots  & {{N}_{k}} & \cdots  & {{N}_{N}}  \\
\end{matrix} \right\rangle </math>


:<math>{{n}_{k}}</math> als Quantenzahl mit
:<math>{{N}_{k}}</math> Teilchen

* Fermionen <math>{{N}_{k}}=0,1</math>
* Bosonen <math>{{N}_{k}}=0,1,...,N</math>

{{Beispiel|
2 Bosonen <math>\left| 1,1 \right\rangle oder\left| 0,2 \right\rangle oder\left| 2,0 \right\rangle </math>
2 Fermionen <math>\left| 1,1 \right\rangle </math>
}}
verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen Würfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen.

Es gibt 2 Sorgen von Bosonen:

; {{FB|massive Bosonen}} : Masse beliebig z.B. Atom Molekül, \alpha-Teilchen
; {{FB|masselose Bosonen}}: z.B. Photon, Ponon, etc (Quantenanregung von Feldern)

man kann sich H anschauen:

:<math>\frac{\partial H}{\partial N}\ne 0</math> →massive Bosonen


:<math>\frac{\partial H}{\partial N}=0</math> →masselose Bosonen

{{Def|
:<math>\frac{\partial H}{\partial N}:=\mu </math> chemisches Potential|chemisches Potential}}

muss am Beispiel später klargemacht werden.


; massive Bosonen : <math>\mu \neq 0</math>
; masselose Bosonen: <math>\mu =0 </math>

==Wechselwirkung von System und Umgebung==
[[File:System boundary.svg|miniatur|System und Umgebung
auf das '''System''' wirken externe Felder (<math>h_\alpha</math>) und die Umgebung oder '''Bad''' enstpricht einem großen Puffer]]

:<math>H={{H}_{ges}}=\underbrace{{{H}_{S}}}_{\text{System}}+\underbrace{{{H}_{B}}}_{\text{Bad}}+\underbrace{{{H}_{SB}}}_{\begin{smallmatrix} 
 \text{Wechsel-} \\ 
 \text{wirkung} 
\end{smallmatrix}}+\underbrace{H_{S}^{\alpha }\left( t \right)}_{\begin{smallmatrix} 
 \text{externe Felder die } \\ 
 \text{auf das System wirken} 
\end{smallmatrix}}</math>

"Modifikation" der Schrödingergleichung aufgrund der Umgebung 
im Allgemeinen: 
:<math>\mathfrak{i}\hbar {{\partial }_{t}}\chi =H\chi </math> (immer richtig)

Annahme
; System : <math>{{H}_{S}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math>
; Bad : <math>{{H}_{B}}\left| b \right\rangle ={{\varepsilon }_{b}}\left| b \right\rangle </math>

Problem gelöst.
System bespielsweise H-Atom
Bad bespielsweise harmonischer Oszillator mit dichten Energiespektren

ABBILDUNG

"System soll die Temperatur des Bades annehmen aber soll Bad nicht stark beeinflussen"

:<math>\chi </math> hängt noch vom Bad/Systemkoordinaten ab
:<math>\chi =\sum\limits_{n,b}{{{c}_{n,b}}\left( t \right)}\left| n \right\rangle \left| b \right\rangle </math>

Spannt den ganzen Raum auf
:<math>\left| n \right\rangle </math>, <math>\left| b \right\rangle </math> abstrakte Vielteilchenzustände
wollen Systemgröße beobachten

Observable des Systems O_s wirkt nicht auf
:<math>\left| b \right\rangle </math>, nur auf
:<math>\left| n \right\rangle </math>'s:


:<math>\begin{align}
  & \left\langle  \chi  | {{O}_{s}}|\chi  \right\rangle =\sum\limits_{\begin{smallmatrix}
 n,n' \\
 b,b'
\end{smallmatrix}}{c{{*}_{n',b'}}}{{c}_{n,b}}\left\langle  n' \right|\left\langle  b' \right|{{O}_{S}}\underbrace{\left| b \right\rangle }_{{{\delta }_{b,b'}}}\left| n \right\rangle  \\
 & =\sum\limits_{n,n'}{\underbrace{\sum\limits_{b}{c{{*}_{n',b}}}{{c}_{n,b}}}_{\begin{smallmatrix}
 {{\rho }_{n,n'}}-\text{Matrix} \\
 \text{hier findet sich Umgebung }
 \\
 \text{wieder}
\end{smallmatrix}}}\left\langle  n' \right|{{O}_{S}}\left| n \right\rangle  
\end{align}</math>



{{Def|<math>{{\rho }_{n,n'}}</math> wird '''Dichtematrix''' genannt oder Matrix des '''statistischen Operators''' <math>\rho</math> mit den Matrixelementen <math>{{\rho }_{n,n'}}</math>|Dichtematrix}}
→ führe {{FB|statistischen Operator}} ein

Erwartungwert in System mit Umgebung:

:<math>\left\langle  \chi  \right|{{O}_{S}}\left| \chi  \right\rangle =\sum\limits_{n,n'}{\left\langle  n \right|\rho \left| n' \right\rangle }\left\langle  n' \right|{{O}_{S}}\left| n \right\rangle </math> mit <math>1=\sum\limits_{n'}{\left| n' \right\rangle \left\langle  n' \right|}</math>



{{Def|<math>\left\langle {{O}_{S}} \right\rangle =\sum\limits_{n}{\left\langle  n \right|\rho {{O}_{S}}\left| n \right\rangle }\equiv \text{Tr}\left( \rho {{O}_{S}} \right)</math> ist die '''Mittelungsformel der statistischen Physik'''.|Mittelwert}}

===statistischer Operator===
Frage: Was kann man über <math>\rho</math> herausfinden?

kann 2 Eigenschaften
:<math>{{\rho }_{n,n'}}=\sum\limits_{b}{c{{*}_{{n}',b}}}{{c}_{n,b}}</math>

*hermitische Matrix → kann diagonalisiert werden
*<math>\text{Tr}\left( \rho {{O}_{S}} \right)=1</math> denn <math>{{\sum\limits_{bn}{\left| {{c}_{n,b}} \right|}}^{2}}=1</math> ebenso Diagonalelemente <math>0\le {{\left| {{c}_{n,b}} \right|}^{2}}\le 1</math> (wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation)


wenn man diagonalisiert, so bleiben die Eigenschaften

:<math>\text{Tr}\left( \rho  \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}=1\quad {{w}_{i}}\in [0,1],\quad \mathfrak{i}\hbar {{\partial }_{t}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =\left( {{H}_{S}}+H_{S}^{\alpha } \right)\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math>


es existiert die '''Diagonaldarstellung'''

:<math>\rho ={{w}_{i}}\underbrace{\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}_{\text{Systemwellenfunktionen}}</math>


 
Bemerkungen

====Interpreatation====
Interpreation von \rho

in Diagonaldarstellung

:<math>\begin{align}
  & \left\langle {{O}_{S}} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \rho {{O}_{s}} \right)=\underbrace{\sum\limits_{n}{\left\langle  n \right|\rho {{O}_{s}}\left| n \right\rangle }}_{\begin{smallmatrix}
 n\text{ vollst}\text{. System im} \\
 \text{Vielteilchenraum des }
 \\
 \text{Systems}
\end{smallmatrix}} \\
 & =\sum\limits_{n}{\left\langle  n \right|\underbrace{\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}}_{\rho }{{O}_{s}}\left| n \right\rangle }=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|\underbrace{\sum\limits_{n}{\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|}}_{1}}{{O}_{s}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle  \\
 & =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\underbrace{\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|{{O}_{s}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle }_{\begin{smallmatrix}
 \text{Erwartungswert einer} \\
 \text{Gr }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ sse}\text{, bei der sich das System }
 \\
 \text{im Zustand }\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \text{ befindet}
\end{smallmatrix}}} 
\end{align}</math>

:<math>{{w}_{i}}</math>
werdeb als Wahrscheinlichkeiten mit der ein Zustand
:<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> realisiert wird interpretiert.


:<math>\left\langle {{O}_{S}} \right\rangle </math> klassich Mittelung aller möglichen Erwartungswerte der "normalen" Quantenmechanik.

:<math>\sum\limits_{i}{{}}</math> Mittelung über das besprochene Ensenble

Jedes Ensenblemitglied trägt mit der Wahrscheinlichkeit w<sub>i</sub> zum Meßergebnis bei.



====Zeitabhängigkeit====
w<sub>i</sub>= Zeitlich konstatn, weil \rho(t) wird über die Wellenfunktion
:<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle (t)</math> vermittelt (Schrödingerbild) d.h. die w_i sind durch Anfangsbedingungen vorgegeben. zB. w_i fest durch Präperation von t=0 S



====Reine und gemischte Zustände====
{{Def|'''reiner Zustand''' <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt <math> w_{i0}=1</math> , alle anderen <math>w_i</math>'s sind 0

Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus!

:<math>{{\rho }_{\text{rein}}}=\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i0}} \right|</math>


|reiner Zustand}}
Dies geht aber im allgemeinen nicht, deswegen muß man
{{Def|quantenmechanisches Gemisch betrachten mit vielen <math>w_i \neq 0</math>

z.B. Präperation bei kontinuirlichem Spektrum nicht möglich


:<math>{{\rho }_{\text{gemisch}}}=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}</math>

 |gemischter Zustand}}

====Eingenwertgleichung====

Lösung der Eigenwergleichung für \rho :

:<math>\begin{align}
  & \rho \left| r \right\rangle =r\left| r \right\rangle  \\
 & \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle =r\left| r \right\rangle \quad |\centerdot \left\langle  r \right| \\
 & \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  r  |  {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle =r 
\end{align}</math>
daraus folgt
#<math>{{w}_{i}}\le 1</math>, <math>{{\left| \left\langle  r | {{\Psi }_{i}} \right\rangle  \right|}^{2}}\le 1</math> somit <math>\Rightarrow 0\le r\le 1</math>
# <math>\begin{align}
  & \sum\limits_{r}{\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  r  |  {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle }=\sum\limits_{r}{r} \\
 & \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}=\sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r} \\
 & \Rightarrow \sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r}=1 
\end{align}</math>


Eigenwerte von <math>\rho</math> sind von 0 bis 1 und ergeben in ihrer Summe 1.

==Beispiel für gemischten Zustand==

:<math>{{H}_{s}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math>: einfach machen

Photon: mit Polarisation
:<math>\uparrow ,\to </math> = 2 Zustände  <math>\left| n=1,2 \right\rangle </math>

:<math>\left| {{\Psi }_{i}}\left( t \right) \right\rangle =a\left( t \right)\left| \to  \right\rangle +b\left( t \right)\left| \uparrow  \right\rangle </math>


:<math>\left| {{\Psi }_{i}}\left( t \right) \right\rangle </math> wird druch
Zustände <math>\uparrow ,\downarrow ,a,b:{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1</math> sind alle Möglich.

===reiner Zustand===
reiner zustand
:<math>{{\rho }_{\text{rein}}}=\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i0}} \right|</math>

für festes a,b

:<math>\begin{align}
  & {{\rho }_{\text{rein}}}=a\left| \to  \right\rangle +b\left| \uparrow  \right\rangle +{{\left( a\left| \to  \right\rangle +b\left| \uparrow  \right\rangle  \right)}^{*}} \\
 & ={{\left| a \right|}^{2}}\left| \to  \right\rangle \left\langle  \to  \right|+a{{b}^{*}}\left| \to  \right\rangle \left\langle  \uparrow  \right|+b{{a}^{*}}\left| \uparrow  \right\rangle \left\langle  \to  \right|+{{\left| b \right|}^{2}}\left| \uparrow  \right\rangle \left\langle  \uparrow  \right| 
\end{align}</math>

mit a,b beliebig <math>{{\left| a \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}=1</math> z.B
:<math>a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\text{oder}\ a=1,b=0</math> ... alles reine Zustände



===gemischter Zustand===

:<math>\rho =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|},\ \quad \left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left| \to  \right\rangle ,\quad \left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left| \uparrow  \right\rangle ,\quad {{w}_{1}}={{w}_{2}}=\frac{1}{2}</math>
 dann ist

:<math>\rho =\frac{1}{2}\left( \left| \to  \right\rangle \left\langle  \to  \right|+\left| \uparrow  \right\rangle \left\langle  \uparrow  \right| \right)</math>


wie kann man geschickt zwischen reinen und gemsichten <math>\rho</math> unterscheiden?
Läuft über Spur (Übungsaufgabe)

((LÖSUNG <math>\rho^2<1</math> :gemischt sonst rein))

immer noch nicht bekannt <math>w_i</math> 's → ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen

==Aufgaben der statistischen Physik==
 3wichtige
* dynamische Gelichungen für <math>\rho_{n,n'}(t)</math> um den statistischen Operator <math>\rho(t)</math> zu bestimmen <math>\left\langle {{O}_{s}} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \rho \left( t \right){{O}_{s}} \right)</math>  bei externen Feldern
* Anfangsbedinugungen <math>\rho_{n,n'}(t=0)</math> festlegen vor Einschalten externer Felder
* Methoden finden die Umgebung in den Anfangsbedingungen durch wenige Parameter in <math>\rho_{n,n'}(t=0)</math>  einzubauen (z.B. Temperatur)


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