Editing Quantentheoretischer Zugang
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==Einteilchenzustände im Kasten== | ==Einteilchenzustände im Kasten== | ||
Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper: | Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper: | ||
[[File: | [[File:Particle_in_a_box_wavefunctions.svg|miniatur|Kastne mit Länge L und Energiedifferenz <math>\Delta \epsilon</math> | ||
<math>V=L^3</math> (Volumen)]] | |||
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L. | Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L. | ||
<math>H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {\vec{r}} \right)</math> für unendlich hohe Wände | |||
Einteilchenfunktion | Einteilchenfunktion | ||
<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right)</math> | |||
mit | |||
<math>\vec{n}=\left( {{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}} \right);\quad{{n}_{i}}=1,2,...</math> | |||
und Energieeigenwerten | und Energieeigenwerten | ||
<math>{{\varepsilon }_{n}}=\frac{\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}\left( {{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2} \right)</math> | |||
Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert | Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert | ||
<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\left\langle {\vec{r}} | n \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>(3-Quantenzahlen) | |||
==Großer Kasten, dichtliegende Zustände== | ==Großer Kasten, dichtliegende Zustände== | ||
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen | in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen | ||
<math>{{\varphi }_{n}}\left( x=0,y,z \right)={{\varphi }_{n}}\left( x=L,y,z \right)\quad \forall {{x}_{i}}</math> periodisch angeordnete Kästen nebeneinander | |||
'''Ansatz''': | '''Ansatz''': | ||
Line 21: | Line 23: | ||
<math>\begin{align} | |||
& \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}={{e}^{i\vec{k}.\left( \vec{r}+\vec{L} \right)}},\quad \vec{L}=\left( L,L,L \right) \\ | & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}={{e}^{i\vec{k}.\left( \vec{r}+\vec{L} \right)}},\quad \vec{L}=\left( L,L,L \right) \\ | ||
& \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}=1\text{ w }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ hlen} \\ | & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}=1\text{ w }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ hlen} \\ | ||
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Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als: | Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als: | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\ | & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\ | ||
& \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\ | & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\ | ||
Line 39: | Line 41: | ||
<math>{{\sum }_{\vec{k}\in \text{3-Dim Raum}}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace{{{\Delta }^{\text{3}}}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math> | |||
<math>\Delta k</math> sind dicht ~ <math>\frac{1}{L}\to \int_{{}}^{{}}{{}}</math> | |||
Summe über die k-Quantenzahlen werden also | Summe über die k-Quantenzahlen werden also | ||
Line 52: | Line 54: | ||
Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen? | Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen? | ||
* N-Teilchenzahl, wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt | * N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt | ||
-> nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas | |||
Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem: | Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem: | ||
<math>H=\sum\limits_{i}{{{H}_{i}}}\,;\,{{H}_{i}}=\frac{p_{i}^{2}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {{{\vec{r}}}_{i}} \right)</math> i: Teilchennummer | |||
<math>H{{\Psi }_{n,N}}\left( \underbrace{\left\{ {{r}_{i}} \right\}}_{\text{alle Koordinaten}} \right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)</math> mit Quantenzahln n | |||
-> in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch {{FB|Produktzustände}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch) | |||
<math>{{\varepsilon }_{n,N}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)}</math> wobei <math>{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)</math> die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist | |||
'''Vorläuftig''' : | '''Vorläuftig''' : | ||
<math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)={{\varphi }_{n\left( 1 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{1}} \right){{\varphi }_{n\left( 2 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{2}} \right)\ldots {{\varphi }_{n\left( N \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{N}} \right)</math> | |||
aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte | aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte | ||
Line 86: | Line 88: | ||
{{Beispiel|'''Beispiel:2 Teilchen''' | {{Beispiel|'''Beispiel:2 Teilchen''' | ||
<math>i=1,2\,\,;\,\,n=a,b</math> | |||
vorläuftig<math>\Psi ={{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)</math> | vorläuftig<math>\Psi ={{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)</math> | ||
Erfüllt die Schrödingergleichung '''aber nicht die Symmetrie''' | Erfüllt die Schrödingergleichung '''aber nicht die Symmetrie''' | ||
Daher (Anti)symmetriesierung durch | Daher (Anti)symmetriesierung durch | ||
<math>{{\Psi }^{F/B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)\mp {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right) \right)</math> | |||
wobei <math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math> der Normierungsfaktor ist. | wobei <math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math> der Normierungsfaktor ist. | ||
}} | }} | ||
Line 96: | Line 98: | ||
'''Interpretation''': | '''Interpretation''': | ||
* In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) | * In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) --> Pauliprinzip | ||
* In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 | * In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 --> Bosekondensation) | ||
--> völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind. | |||
*allgemin Ansätzte für N-Teilchen | *allgemin Ansätzte für N-Teilchen | ||
<math>{{\Psi }_{B}}=\frac{1}{\sqrt{\underbrace{N}_{\begin{smallmatrix} | |||
\text{Teilchenzahl} \\ | \text{Teilchenzahl} \\ | ||
\text{wg Normierung} | \text{wg Normierung} | ||
Line 113: | Line 115: | ||
\end{smallmatrix}}}\underbrace{\sum\limits_{P}{P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Zumme }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ ber alle Permutationen}}</math> | \end{smallmatrix}}}\underbrace{\sum\limits_{P}{P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Zumme }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ ber alle Permutationen}}</math> | ||
<math>{{\Psi }_{F}}=\frac{1}{\sqrt{N!}}\underbrace{\sum\limits_{P}{\operatorname{sign}\left( P \right)P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }\left( -1 \right)}</math> | |||
recht komplizierte Schreibweise: | recht komplizierte Schreibweise: | ||
Line 123: | Line 125: | ||
aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als: | aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als: | ||
<math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)=\left\langle {{{\vec{r}}}_{i}} | N,n \right\rangle \to \left| N,n \right\rangle </math> | |||
<math>\left| N,n \right\rangle =?</math> | |||
ist gekennzeichnet durch | ist gekennzeichnet durch | ||
# die Gesamtteilchenzahl '''N''' | # die Gesamtteilchenzahl '''N''' | ||
Line 132: | Line 134: | ||
<math>\left| N,n \right\rangle =\left| \begin{matrix} | |||
{{n}_{1}} & {{n}_{2}} & \cdots & {{n}_{k}} & \cdots & {{n}_{N}} \\ | {{n}_{1}} & {{n}_{2}} & \cdots & {{n}_{k}} & \cdots & {{n}_{N}} \\ | ||
{{N}_{1}} & {{N}_{2}} & \cdots & {{N}_{k}} & \cdots & {{N}_{N}} \\ | {{N}_{1}} & {{N}_{2}} & \cdots & {{N}_{k}} & \cdots & {{N}_{N}} \\ | ||
Line 140: | Line 142: | ||
<math>{{n}_{k}}</math> als Quantenzahl mit | |||
<math>{{N}_{k}}</math> Teilchen | |||
* Fermionen <math>{{N}_{k}}=0,1</math> | * Fermionen <math>{{N}_{k}}=0,1</math> | ||
Line 159: | Line 161: | ||
man kann sich H anschauen: | man kann sich H anschauen: | ||
<math>\frac{\partial H}{\partial N}\ne 0</math> -->massive Bosonen | |||
<math>\frac{\partial H}{\partial N}=0</math> -->masselose Bosonen | |||
{{Def| | {{Def| | ||
<math>\frac{\partial H}{\partial N}:=\mu </math> chemisches Potential|chemisches Potential}} | |||
muss am Beispiel später klargemacht werden. | muss am Beispiel später klargemacht werden. | ||
Line 174: | Line 176: | ||
==Wechselwirkung von System und Umgebung== | ==Wechselwirkung von System und Umgebung== | ||
[[File: | [[File:System_boundary.svg|miniatur|System und Umgebung | ||
auf das '''System''' wirken externe Felder (<math>h_\alpha</math>) und die Umgebung oder '''Bad''' enstpricht einem großen Puffer]] | auf das '''System''' wirken externe Felder (<math>h_\alpha</math>) und die Umgebung oder '''Bad''' enstpricht einem großen Puffer]] | ||
<math>H={{H}_{ges}}=\underbrace{{{H}_{S}}}_{\text{System}}+\underbrace{{{H}_{B}}}_{\text{Bad}}+\underbrace{{{H}_{SB}}}_{\begin{smallmatrix} | |||
\text{Wechsel-} \\ | \text{Wechsel-} \\ | ||
\text{wirkung} | \text{wirkung} | ||
Line 187: | Line 189: | ||
"Modifikation" der Schrödingergleichung aufgrund der Umgebung | "Modifikation" der Schrödingergleichung aufgrund der Umgebung | ||
im Allgemeinen: | im Allgemeinen: | ||
<math>\mathfrak{i}\hbar {{\partial }_{t}}\chi =H\chi </math> (immer richtig) | |||
Annahme | Annahme | ||
Line 201: | Line 203: | ||
"System soll die Temperatur des Bades annehmen aber soll Bad nicht stark beeinflussen" | "System soll die Temperatur des Bades annehmen aber soll Bad nicht stark beeinflussen" | ||
<math>\chi </math> hängt noch vom Bad/Systemkoordinaten ab | |||
<math>\chi =\sum\limits_{n,b}{{{c}_{n,b}}\left( t \right)}\left| n \right\rangle \left| b \right\rangle </math> | |||
Spannt den ganzen Raum auf | Spannt den ganzen Raum auf | ||
<math>\left| n \right\rangle </math>, <math>\left| b \right\rangle </math> abstrakte Vielteilchenzustände | |||
wollen Systemgröße beobachten | wollen Systemgröße beobachten | ||
Observable des Systems O_s wirkt nicht auf | Observable des Systems O_s wirkt nicht auf | ||
<math>\left| b \right\rangle </math>, nur auf | |||
<math>\left| n \right\rangle </math>'s: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle \chi | {{O}_{s}}|\chi \right\rangle =\sum\limits_{\begin{smallmatrix} | & \left\langle \chi | {{O}_{s}}|\chi \right\rangle =\sum\limits_{\begin{smallmatrix} | ||
n,n' \\ | n,n' \\ | ||
Line 229: | Line 231: | ||
{{Def|<math>{{\rho }_{n,n'}}</math> wird '''Dichtematrix''' genannt oder Matrix des '''statistischen Operators''' <math>\rho</math> mit den Matrixelementen <math>{{\rho }_{n,n'}}</math>|Dichtematrix}} | {{Def|<math>{{\rho }_{n,n'}}</math> wird '''Dichtematrix''' genannt oder Matrix des '''statistischen Operators''' <math>\rho</math> mit den Matrixelementen <math>{{\rho }_{n,n'}}</math>|Dichtematrix}} | ||
--> führe {{FB|statistischen Operator}} ein | |||
Erwartungwert in System mit Umgebung: | Erwartungwert in System mit Umgebung: | ||
<math>\left\langle \chi \right|{{O}_{S}}\left| \chi \right\rangle =\sum\limits_{n,n'}{\left\langle n \right|\rho \left| n' \right\rangle }\left\langle n' \right|{{O}_{S}}\left| n \right\rangle </math> | |||
mit | |||
<math>1=\sum\limits_{n'}{\left| n' \right\rangle \left\langle n' \right|}</math> | |||
Line 240: | Line 245: | ||
===statistischer Operator=== | ===statistischer Operator=== | ||
Frage: Was kann man über | Frage: Was kann man über \rho herausfinden? | ||
kann 2 Eigenschaften | kann 2 Eigenschaften | ||
====Interpreatation==== | ====Interpreatation==== | ||
====Zeitabhängigkeit==== | ====Zeitabhängigkeit==== | ||
====Reine und gemischte Zustände==== | ====Reine und gemischte Zustände==== | ||
====Eingenwertgleichung==== | ====Eingenwertgleichung==== | ||
==Beispiel für gemischten Zustand== | ==Beispiel für gemischten Zustand== | ||
__SHOWFACTBOX__ | __SHOWFACTBOX__ |