Editing Quantentheoretischer Zugang

[[File:Particle in a box wavefunctions.svg|miniatur|Kastne mit Länge L und Energiedifferenz <math>\Delta \epsilon</math>  

:<math>V=L^3</math> (Volumen)]]

:<math>H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {\vec{r}} \right)</math> für unendlich hohe Wände

:<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right)</math> mit <math>\vec{n}=\left( {{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}} \right);\quad{{n}_{i}}=1,2,...</math>

:<math>{{\varepsilon }_{n}}=\frac{\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}\left( {{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2} \right)</math>

:<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\left\langle  {\vec{r}} | n \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>(3-Quantenzahlen)

:<math>{{\varphi }_{n}}\left( x=0,y,z \right)={{\varphi }_{n}}\left( x=L,y,z \right)\quad \forall {{x}_{i}}</math> periodisch angeordnete Kästen nebeneinander

:<math>\begin{align}

:<math>\begin{align}

:<math>{{\sum }_{\vec{k}\in \text{3-Dim Raum}}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace{{{\Delta }^{\text{3}}}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math>

:<math>\Delta k</math> sind dicht ~ <math>\frac{1}{L}\to \int_{{}}^{{}}{{}}</math>

* N-Teilchenzahl, wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt

→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas

:<math>H=\sum\limits_{i}{{{H}_{i}}}\,;\,{{H}_{i}}=\frac{p_{i}^{2}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {{{\vec{r}}}_{i}} \right)</math> i: Teilchennummer

:<math>H{{\Psi }_{n,N}}\left( \underbrace{\left\{ {{r}_{i}} \right\}}_{\text{alle Koordinaten}} \right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)</math> mit Quantenzahln n

→ in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch {{FB|Produktzustände}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)

:<math>{{\varepsilon }_{n,N}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)}</math> wobei <math>{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)</math> die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist

:<math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)={{\varphi }_{n\left( 1 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{1}} \right){{\varphi }_{n\left( 2 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{2}} \right)\ldots {{\varphi }_{n\left( N \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{N}} \right)</math>

:<math>i=1,2\,\,;\,\,n=a,b</math>

:<math>{{\Psi }^{F/B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)\mp {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right) \right)</math>

* In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) → Pauliprinzip

* In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 → Bosekondensation)

→ völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.

:<math>{{\Psi }_{B}}=\frac{1}{\sqrt{\underbrace{N}_{\begin{smallmatrix}

:<math>{{\Psi }_{F}}=\frac{1}{\sqrt{N!}}\underbrace{\sum\limits_{P}{\operatorname{sign}\left( P \right)P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }\left( -1 \right)}</math>

:<math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)=\left\langle  {{{\vec{r}}}_{i}} | N,n \right\rangle \to \left| N,n \right\rangle </math>

:<math>\left| N,n \right\rangle =?</math>

:<math>\left| N,n \right\rangle =\left| \begin{matrix}

:<math>{{n}_{k}}</math> als Quantenzahl mit

:<math>{{N}_{k}}</math> Teilchen

:<math>\frac{\partial H}{\partial N}\ne 0</math> →massive Bosonen

:<math>\frac{\partial H}{\partial N}=0</math> →masselose Bosonen

:<math>\frac{\partial H}{\partial N}:=\mu </math> chemisches Potential|chemisches Potential}}

[[File:System boundary.svg|miniatur|System und Umgebung

:<math>H={{H}_{ges}}=\underbrace{{{H}_{S}}}_{\text{System}}+\underbrace{{{H}_{B}}}_{\text{Bad}}+\underbrace{{{H}_{SB}}}_{\begin{smallmatrix}  

:<math>\mathfrak{i}\hbar {{\partial }_{t}}\chi =H\chi </math> (immer richtig)

:<math>\chi </math> hängt noch vom Bad/Systemkoordinaten ab

:<math>\chi =\sum\limits_{n,b}{{{c}_{n,b}}\left( t \right)}\left| n \right\rangle \left| b \right\rangle </math>

:<math>\left| n \right\rangle </math>, <math>\left| b \right\rangle </math> abstrakte Vielteilchenzustände

:<math>\left| b \right\rangle </math>, nur auf

:<math>\left| n \right\rangle </math>'s:

:<math>\begin{align}

→ führe {{FB|statistischen Operator}} ein

:<math>\left\langle  \chi  \right|{{O}_{S}}\left| \chi  \right\rangle =\sum\limits_{n,n'}{\left\langle  n \right|\rho \left| n' \right\rangle }\left\langle  n' \right|{{O}_{S}}\left| n \right\rangle </math> mit <math>1=\sum\limits_{n'}{\left| n' \right\rangle \left\langle  n' \right|}</math>