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| ==Einteilchenzustände im Kasten== | | ==Einteilchenzustände im Kasten== |
| Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper: | | Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper: |
| [[File:Particle in a box wavefunctions.svg|miniatur|Kastne mit Länge L und Energiedifferenz <math>\Delta \epsilon</math> | | [[File:Particle_in_a_box_wavefunctions.svg|miniatur|Kastne mit Länge L und Energiedifferenz <math>\Delta \epsilon</math> |
| :<math>V=L^3</math> (Volumen)]]
| | <math>V=L^3</math> (Volumen)]] |
| Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L. | | Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L. |
| :<math>H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {\vec{r}} \right)</math> für unendlich hohe Wände
| | <math>H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {\vec{r}} \right)</math> für unendlich hohe Wände |
| Einteilchenfunktion | | Einteilchenfunktion |
| :<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right)</math> mit <math>\vec{n}=\left( {{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}} \right);\quad{{n}_{i}}=1,2,...</math>
| | <math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right)</math> |
| | mit |
| | <math>\vec{n}=\left( {{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}} \right);\quad{{n}_{i}}=1,2,...</math> |
| und Energieeigenwerten | | und Energieeigenwerten |
| :<math>{{\varepsilon }_{n}}=\frac{\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}\left( {{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2} \right)</math>
| | <math>{{\varepsilon }_{n}}=\frac{\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}\left( {{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2} \right)</math> |
| Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert | | Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert |
| :<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\left\langle {\vec{r}} | n \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>(3-Quantenzahlen)
| | <math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\left\langle {\vec{r}} | n \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>(3-Quantenzahlen) |
| ==Großer Kasten, dichtliegende Zustände== | | ==Großer Kasten, dichtliegende Zustände== |
| in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen | | in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen |
| :<math>{{\varphi }_{n}}\left( x=0,y,z \right)={{\varphi }_{n}}\left( x=L,y,z \right)\quad \forall {{x}_{i}}</math> periodisch angeordnete Kästen nebeneinander
| | <math>{{\varphi }_{n}}\left( x=0,y,z \right)={{\varphi }_{n}}\left( x=L,y,z \right)\quad \forall {{x}_{i}}</math> periodisch angeordnete Kästen nebeneinander |
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| '''Ansatz''': | | '''Ansatz''': |
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| :<math>\begin{align}
| | <math>\begin{align} |
| & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}={{e}^{i\vec{k}.\left( \vec{r}+\vec{L} \right)}},\quad \vec{L}=\left( L,L,L \right) \\ | | & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}={{e}^{i\vec{k}.\left( \vec{r}+\vec{L} \right)}},\quad \vec{L}=\left( L,L,L \right) \\ |
| & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}=1\text{ w }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ hlen} \\ | | & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}=1\text{ w }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ hlen} \\ |
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| Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als: | | Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als: |
| :<math>\begin{align}
| | <math>\begin{align} |
| & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\ | | & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\ |
| & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\ | | & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\ |
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| :<math>{{\sum }_{\vec{k}\in \text{3-Dim Raum}}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace{{{\Delta }^{\text{3}}}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math>
| | <math>{{\sum }_{\vec{k}\in \text{3-Dim Raum}}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace{{{\Delta }^{\text{3}}}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math> |
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| :<math>\Delta k</math> sind dicht ~ <math>\frac{1}{L}\to \int_{{}}^{{}}{{}}</math>
| | <math>\Delta k</math> sind dicht ~ <math>\frac{1}{L}\to \int_{{}}^{{}}{{}}</math> |
| Summe über die k-Quantenzahlen werden also | | Summe über die k-Quantenzahlen werden also |
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| Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen? | | Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen? |
| * N-Teilchenzahl, wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt | | * N-Teilchenzahl , wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt |
| → nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas
| | -> nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas |
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| Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem: | | Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem: |
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| :<math>H=\sum\limits_{i}{{{H}_{i}}}\,;\,{{H}_{i}}=\frac{p_{i}^{2}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {{{\vec{r}}}_{i}} \right)</math> i: Teilchennummer
| | <math>H=\sum\limits_{i}{{{H}_{i}}}\,;\,{{H}_{i}}=\frac{p_{i}^{2}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {{{\vec{r}}}_{i}} \right)</math> i: Teilchennummer |
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| :<math>H{{\Psi }_{n,N}}\left( \underbrace{\left\{ {{r}_{i}} \right\}}_{\text{alle Koordinaten}} \right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)</math> mit Quantenzahln n
| | <math>H{{\Psi }_{n,N}}\left( \underbrace{\left\{ {{r}_{i}} \right\}}_{\text{alle Koordinaten}} \right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)</math> mit Quantenzahln n |
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| → in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch {{FB|Produktzustände}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)
| | -> in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch {{FB|Produktzustände}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch) |
| :<math>{{\varepsilon }_{n,N}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)}</math> wobei <math>{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)</math> die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist
| | <math>{{\varepsilon }_{n,N}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)}</math> wobei <math>{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)</math> die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist |
| '''Vorläuftig''' : | | '''Vorläuftig''' : |
| :<math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)={{\varphi }_{n\left( 1 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{1}} \right){{\varphi }_{n\left( 2 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{2}} \right)\ldots {{\varphi }_{n\left( N \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{N}} \right)</math>
| | <math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)={{\varphi }_{n\left( 1 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{1}} \right){{\varphi }_{n\left( 2 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{2}} \right)\ldots {{\varphi }_{n\left( N \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{N}} \right)</math> |
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| aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte | | aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte |
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| {{Beispiel|'''Beispiel:2 Teilchen''' | | {{Beispiel|'''Beispiel:2 Teilchen''' |
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| :<math>i=1,2\,\,;\,\,n=a,b</math>
| | <math>i=1,2\,\,;\,\,n=a,b</math> |
| vorläuftig<math>\Psi ={{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)</math> | | vorläuftig<math>\Psi ={{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)</math> |
| Erfüllt die Schrödingergleichung '''aber nicht die Symmetrie''' | | Erfüllt die Schrödingergleichung '''aber nicht die Symmetrie''' |
| Daher (Anti)symmetriesierung durch | | Daher (Anti)symmetriesierung durch |
| :<math>{{\Psi }^{F/B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)\mp {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right) \right)</math>
| | <math>{{\Psi }^{F/B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)\mp {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right) \right)</math> |
| wobei <math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math> der Normierungsfaktor ist. | | wobei <math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math> der Normierungsfaktor ist. |
| }} | | }} |
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| '''Interpretation''': | | '''Interpretation''': |
| * In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) → Pauliprinzip | | * In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) --> Pauliprinzip |
| * In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 → Bosekondensation) | | * In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 --> Bosekondensation) |
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| → völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.
| | --> völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind. |
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| *allgemin Ansätzte für N-Teilchen | | *allgemin Ansätzte für N-Teilchen |
| :<math>{{\Psi }_{B}}=\frac{1}{\sqrt{\underbrace{N}_{\begin{smallmatrix}
| | <math>{{\Psi }_{B}}=\frac{1}{\sqrt{\underbrace{N}_{\begin{smallmatrix} |
| \text{Teilchenzahl} \\ | | \text{Teilchenzahl} \\ |
| \text{wg Normierung} | | \text{wg Normierung} |
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| \end{smallmatrix}}}\underbrace{\sum\limits_{P}{P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Zumme }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ ber alle Permutationen}}</math> | | \end{smallmatrix}}}\underbrace{\sum\limits_{P}{P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Zumme }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ ber alle Permutationen}}</math> |
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| :<math>{{\Psi }_{F}}=\frac{1}{\sqrt{N!}}\underbrace{\sum\limits_{P}{\operatorname{sign}\left( P \right)P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }\left( -1 \right)}</math>
| | <math>{{\Psi }_{F}}=\frac{1}{\sqrt{N!}}\underbrace{\sum\limits_{P}{\operatorname{sign}\left( P \right)P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }\left( -1 \right)}</math> |
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| recht komplizierte Schreibweise: | | recht komplizierte Schreibweise: |
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| aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als: | | aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als: |
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| :<math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)=\left\langle {{{\vec{r}}}_{i}} | N,n \right\rangle \to \left| N,n \right\rangle </math>
| | <math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)=\left\langle {{{\vec{r}}}_{i}} | N,n \right\rangle \to \left| N,n \right\rangle </math> |
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| :<math>\left| N,n \right\rangle =?</math>
| | <math>\left| N,n \right\rangle =?</math> |
| ist gekennzeichnet durch | | ist gekennzeichnet durch |
| # die Gesamtteilchenzahl '''N''' | | # die Gesamtteilchenzahl '''N''' |
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| :<math>\left| N,n \right\rangle =\left| \begin{matrix}
| | <math>\left| N,n \right\rangle =\left| \begin{matrix} |
| {{n}_{1}} & {{n}_{2}} & \cdots & {{n}_{k}} & \cdots & {{n}_{N}} \\ | | {{n}_{1}} & {{n}_{2}} & \cdots & {{n}_{k}} & \cdots & {{n}_{N}} \\ |
| {{N}_{1}} & {{N}_{2}} & \cdots & {{N}_{k}} & \cdots & {{N}_{N}} \\ | | {{N}_{1}} & {{N}_{2}} & \cdots & {{N}_{k}} & \cdots & {{N}_{N}} \\ |
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| :<math>{{n}_{k}}</math> als Quantenzahl mit
| | <math>{{n}_{k}}</math> als Quantenzahl mit |
| :<math>{{N}_{k}}</math> Teilchen
| | <math>{{N}_{k}}</math> Teilchen |
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| * Fermionen <math>{{N}_{k}}=0,1</math> | | * Fermionen <math>{{N}_{k}}=0,1</math> |
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| man kann sich H anschauen: | | man kann sich H anschauen: |
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| :<math>\frac{\partial H}{\partial N}\ne 0</math> →massive Bosonen
| | <math>\frac{\partial H}{\partial N}\ne 0</math> -->massive Bosonen |
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| :<math>\frac{\partial H}{\partial N}=0</math> →masselose Bosonen
| | <math>\frac{\partial H}{\partial N}=0</math> -->masselose Bosonen |
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| {{Def| | | {{Def| |
| :<math>\frac{\partial H}{\partial N}:=\mu </math> chemisches Potential|chemisches Potential}}
| | <math>\frac{\partial H}{\partial N}:=\mu </math> chemisches Potential|chemisches Potential}} |
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| muss am Beispiel später klargemacht werden. | | muss am Beispiel später klargemacht werden. |
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| ==Wechselwirkung von System und Umgebung== | | ==Wechselwirkung von System und Umgebung== |
| [[File:System boundary.svg|miniatur|System und Umgebung
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| auf das '''System''' wirken externe Felder (<math>h_\alpha</math>) und die Umgebung oder '''Bad''' enstpricht einem großen Puffer]]
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| :<math>H={{H}_{ges}}=\underbrace{{{H}_{S}}}_{\text{System}}+\underbrace{{{H}_{B}}}_{\text{Bad}}+\underbrace{{{H}_{SB}}}_{\begin{smallmatrix}
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| \text{Wechsel-} \\
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| \text{wirkung}
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| \end{smallmatrix}}+\underbrace{H_{S}^{\alpha }\left( t \right)}_{\begin{smallmatrix}
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| \text{externe Felder die } \\
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| \text{auf das System wirken}
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| \end{smallmatrix}}</math>
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| "Modifikation" der Schrödingergleichung aufgrund der Umgebung
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| im Allgemeinen:
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| :<math>\mathfrak{i}\hbar {{\partial }_{t}}\chi =H\chi </math> (immer richtig)
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| Annahme
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| ; System : <math>{{H}_{S}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math>
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| ; Bad : <math>{{H}_{B}}\left| b \right\rangle ={{\varepsilon }_{b}}\left| b \right\rangle </math>
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| Problem gelöst.
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| System bespielsweise H-Atom
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| Bad bespielsweise harmonischer Oszillator mit dichten Energiespektren
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| ABBILDUNG
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| "System soll die Temperatur des Bades annehmen aber soll Bad nicht stark beeinflussen"
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| :<math>\chi </math> hängt noch vom Bad/Systemkoordinaten ab
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| :<math>\chi =\sum\limits_{n,b}{{{c}_{n,b}}\left( t \right)}\left| n \right\rangle \left| b \right\rangle </math>
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| Spannt den ganzen Raum auf
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| :<math>\left| n \right\rangle </math>, <math>\left| b \right\rangle </math> abstrakte Vielteilchenzustände
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| wollen Systemgröße beobachten
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| Observable des Systems O_s wirkt nicht auf
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| :<math>\left| b \right\rangle </math>, nur auf
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| :<math>\left| n \right\rangle </math>'s:
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| :<math>\begin{align}
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| & \left\langle \chi | {{O}_{s}}|\chi \right\rangle =\sum\limits_{\begin{smallmatrix}
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| n,n' \\
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| b,b'
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| \end{smallmatrix}}{c{{*}_{n',b'}}}{{c}_{n,b}}\left\langle n' \right|\left\langle b' \right|{{O}_{S}}\underbrace{\left| b \right\rangle }_{{{\delta }_{b,b'}}}\left| n \right\rangle \\
| |
| & =\sum\limits_{n,n'}{\underbrace{\sum\limits_{b}{c{{*}_{n',b}}}{{c}_{n,b}}}_{\begin{smallmatrix}
| |
| {{\rho }_{n,n'}}-\text{Matrix} \\
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| \text{hier findet sich Umgebung }
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| \\
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| \text{wieder}
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| \end{smallmatrix}}}\left\langle n' \right|{{O}_{S}}\left| n \right\rangle
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| \end{align}</math>
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| {{Def|<math>{{\rho }_{n,n'}}</math> wird '''Dichtematrix''' genannt oder Matrix des '''statistischen Operators''' <math>\rho</math> mit den Matrixelementen <math>{{\rho }_{n,n'}}</math>|Dichtematrix}}
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| → führe {{FB|statistischen Operator}} ein
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| Erwartungwert in System mit Umgebung:
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| :<math>\left\langle \chi \right|{{O}_{S}}\left| \chi \right\rangle =\sum\limits_{n,n'}{\left\langle n \right|\rho \left| n' \right\rangle }\left\langle n' \right|{{O}_{S}}\left| n \right\rangle </math> mit <math>1=\sum\limits_{n'}{\left| n' \right\rangle \left\langle n' \right|}</math>
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| {{Def|<math>\left\langle {{O}_{S}} \right\rangle =\sum\limits_{n}{\left\langle n \right|\rho {{O}_{S}}\left| n \right\rangle }\equiv \text{Tr}\left( \rho {{O}_{S}} \right)</math> ist die '''Mittelungsformel der statistischen Physik'''.|Mittelwert}}
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| ===statistischer Operator===
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| Frage: Was kann man über <math>\rho</math> herausfinden?
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| kann 2 Eigenschaften
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| :<math>{{\rho }_{n,n'}}=\sum\limits_{b}{c{{*}_{{n}',b}}}{{c}_{n,b}}</math>
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| *hermitische Matrix → kann diagonalisiert werden
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| *<math>\text{Tr}\left( \rho {{O}_{S}} \right)=1</math> denn <math>{{\sum\limits_{bn}{\left| {{c}_{n,b}} \right|}}^{2}}=1</math> ebenso Diagonalelemente <math>0\le {{\left| {{c}_{n,b}} \right|}^{2}}\le 1</math> (wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation)
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| wenn man diagonalisiert, so bleiben die Eigenschaften
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| :<math>\text{Tr}\left( \rho \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}=1\quad {{w}_{i}}\in [0,1],\quad \mathfrak{i}\hbar {{\partial }_{t}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =\left( {{H}_{S}}+H_{S}^{\alpha } \right)\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math>
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| es existiert die '''Diagonaldarstellung'''
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| :<math>\rho ={{w}_{i}}\underbrace{\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}_{\text{Systemwellenfunktionen}}</math>
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| Bemerkungen
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| ====Interpreatation====
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| Interpreation von \rho
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| in Diagonaldarstellung
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| :<math>\begin{align}
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| & \left\langle {{O}_{S}} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \rho {{O}_{s}} \right)=\underbrace{\sum\limits_{n}{\left\langle n \right|\rho {{O}_{s}}\left| n \right\rangle }}_{\begin{smallmatrix}
| |
| n\text{ vollst}\text{. System im} \\
| |
| \text{Vielteilchenraum des }
| |
| \\
| |
| \text{Systems}
| |
| \end{smallmatrix}} \\
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| & =\sum\limits_{n}{\left\langle n \right|\underbrace{\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}}_{\rho }{{O}_{s}}\left| n \right\rangle }=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|\underbrace{\sum\limits_{n}{\left| n \right\rangle \left\langle n \right|}}_{1}}{{O}_{s}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \\
| |
| & =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\underbrace{\left\langle {{\Psi }_{i}} \right|{{O}_{s}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle }_{\begin{smallmatrix}
| |
| \text{Erwartungswert einer} \\
| |
| \text{Gr }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ sse}\text{, bei der sich das System }
| |
| \\
| |
| \text{im Zustand }\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \text{ befindet}
| |
| \end{smallmatrix}}}
| |
| \end{align}</math>
| |
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| |
| :<math>{{w}_{i}}</math>
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| werdeb als Wahrscheinlichkeiten mit der ein Zustand
| |
| :<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> realisiert wird interpretiert.
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| :<math>\left\langle {{O}_{S}} \right\rangle </math> klassich Mittelung aller möglichen Erwartungswerte der "normalen" Quantenmechanik.
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| :<math>\sum\limits_{i}{{}}</math> Mittelung über das besprochene Ensenble
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| Jedes Ensenblemitglied trägt mit der Wahrscheinlichkeit w<sub>i</sub> zum Meßergebnis bei.
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| ====Zeitabhängigkeit====
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| w<sub>i</sub>= Zeitlich konstatn, weil \rho(t) wird über die Wellenfunktion
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| :<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle (t)</math> vermittelt (Schrödingerbild) d.h. die w_i sind durch Anfangsbedingungen vorgegeben. zB. w_i fest durch Präperation von t=0 S
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| ====Reine und gemischte Zustände====
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| {{Def|'''reiner Zustand''' <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt <math> w_{i0}=1</math>, alle anderen <math>w_i</math>'s sind 0
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| Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus!
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| :<math>{{\rho }_{\text{rein}}}=\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}} \right|</math>
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| |reiner Zustand}}
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| Dies geht aber im allgemeinen nicht, deswegen muß man
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| {{Def|quantenmechanisches Gemisch betrachten mit vielen <math>w_i \neq 0</math>
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| z.B. Präperation bei kontinuirlichem Spektrum nicht möglich
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| :<math>{{\rho }_{\text{gemisch}}}=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}</math>
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| |gemischter Zustand}}
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| ====Eingenwertgleichung====
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| Lösung der Eigenwergleichung für \rho :
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| :<math>\begin{align}
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| & \rho \left| r \right\rangle =r\left| r \right\rangle \\
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| & \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle =r\left| r \right\rangle \quad |\centerdot \left\langle r \right| \\
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| & \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle r | {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle =r
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| \end{align}</math>
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| daraus folgt
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| #<math>{{w}_{i}}\le 1</math>, <math>{{\left| \left\langle r | {{\Psi }_{i}} \right\rangle \right|}^{2}}\le 1</math> somit <math>\Rightarrow 0\le r\le 1</math>
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| # <math>\begin{align}
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| & \sum\limits_{r}{\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle r | {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle }=\sum\limits_{r}{r} \\
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| & \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}=\sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r} \\
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| & \Rightarrow \sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r}=1
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| \end{align}</math>
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| Eigenwerte von <math>\rho</math> sind von 0 bis 1 und ergeben in ihrer Summe 1.
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| ==Beispiel für gemischten Zustand==
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| :<math>{{H}_{s}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math>: einfach machen
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| Photon: mit Polarisation
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| :<math>\uparrow ,\to </math> = 2 Zustände <math>\left| n=1,2 \right\rangle </math>
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| :<math>\left| {{\Psi }_{i}}\left( t \right) \right\rangle =a\left( t \right)\left| \to \right\rangle +b\left( t \right)\left| \uparrow \right\rangle </math>
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| :<math>\left| {{\Psi }_{i}}\left( t \right) \right\rangle </math> wird druch
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| Zustände <math>\uparrow ,\downarrow ,a,b:{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1</math> sind alle Möglich.
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| ===reiner Zustand===
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| reiner zustand
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| :<math>{{\rho }_{\text{rein}}}=\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i0}} \right|</math>
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| für festes a,b
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| :<math>\begin{align}
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| & {{\rho }_{\text{rein}}}=a\left| \to \right\rangle +b\left| \uparrow \right\rangle +{{\left( a\left| \to \right\rangle +b\left| \uparrow \right\rangle \right)}^{*}} \\
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| & ={{\left| a \right|}^{2}}\left| \to \right\rangle \left\langle \to \right|+a{{b}^{*}}\left| \to \right\rangle \left\langle \uparrow \right|+b{{a}^{*}}\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \to \right|+{{\left| b \right|}^{2}}\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right|
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| \end{align}</math>
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| mit a,b beliebig <math>{{\left| a \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}=1</math> z.B
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| :<math>a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\text{oder}\ a=1,b=0</math>... alles reine Zustände
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| ===gemischter Zustand===
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| :<math>\rho =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle {{\Psi }_{i}} \right|},\ \quad \left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left| \to \right\rangle ,\quad \left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle ,\quad {{w}_{1}}={{w}_{2}}=\frac{1}{2}</math>
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| dann ist
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| :<math>\rho =\frac{1}{2}\left( \left| \to \right\rangle \left\langle \to \right|+\left| \uparrow \right\rangle \left\langle \uparrow \right| \right)</math>
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| wie kann man geschickt zwischen reinen und gemsichten <math>\rho</math> unterscheiden?
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| Läuft über Spur (Übungsaufgabe)
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| ((LÖSUNG <math>\rho^2<1</math> :gemischt sonst rein))
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| immer noch nicht bekannt <math>w_i</math> 's → ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen
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| ==Aufgaben der statistischen Physik==
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| 3wichtige
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| * dynamische Gelichungen für <math>\rho_{n,n'}(t)</math> um den statistischen Operator <math>\rho(t)</math> zu bestimmen <math>\left\langle {{O}_{s}} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \rho \left( t \right){{O}_{s}} \right)</math> bei externen Feldern
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| * Anfangsbedinugungen <math>\rho_{n,n'}(t=0)</math> festlegen vor Einschalten externer Felder
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| * Methoden finden die Umgebung in den Anfangsbedingungen durch wenige Parameter in <math>\rho_{n,n'}(t=0)</math> einzubauen (z.B. Temperatur)
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