Editing Quantentheoretischer Zugang

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<noinclude>{{ScriptKnorr|Thermodynamik|2|1}}</noinclude>
==Einteilchenzustände im Kasten==
==Einteilchenzustände im Kasten==
Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:
Betrachte Gase, also Teilchen im Kasten, auch möglich Mödell für Festkörper:
[[File:Particle in a box wavefunctions.svg|miniatur|Kastne mit Länge L und Energiedifferenz <math>\Delta \epsilon</math>  
[[File:Particle_in_a_box_wavefunctions.svg|miniatur|Kastne mit Länge L und Energiedifferenz <math>\Delta \epsilon</math>  
:<math>V=L^3</math> (Volumen)]]
<math>V=L^3</math> (Volumen)]]
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.
Die Dichte des Energienivieaus ist bestimmt durch die Länge L.
:<math>H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {\vec{r}} \right)</math> für unendlich hohe Wände
<math>H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {\vec{r}} \right)</math> für unendlich hohe Wände
Einteilchenfunktion
Einteilchenfunktion
:<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right)</math> mit <math>\vec{n}=\left( {{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}} \right);\quad{{n}_{i}}=1,2,...</math>
<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{x}}\pi }{L}x \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{y}}\pi }{L}y \right)\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left( \frac{{{n}_{z}}\pi }{L}z \right)</math>
mit
<math>\vec{n}=\left( {{n}_{x}},{{n}_{y}},{{n}_{z}} \right);\quad{{n}_{i}}=1,2,...</math>
und Energieeigenwerten
und Energieeigenwerten
:<math>{{\varepsilon }_{n}}=\frac{\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}\left( {{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2} \right)</math>
<math>{{\varepsilon }_{n}}=\frac{\hbar {{\pi }^{2}}}{2m{{L}^{2}}}\left( {{n}_{x}}^{2}+{{n}_{y}}^{2}+{{n}_{z}}^{2} \right)</math>
Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert
Diracschreibweise: Zustand nur durch Qantenzahlen chartisiert
:<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\left\langle  {\vec{r}} | n \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>(3-Quantenzahlen)
<math>{{\varphi }_{n}}\left( {\vec{r}} \right)=\left\langle  {\vec{r}} | n \right\rangle \to \left| n \right\rangle </math>(3-Quantenzahlen)
==Großer Kasten, dichtliegende Zustände==
==Großer Kasten, dichtliegende Zustände==
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen
in einem großen Kasten sollen die Randbeingungne nicht so wichtig sien, Modell für makroskopischen Körper, nehmen periodische Randbedingungen
:<math>{{\varphi }_{n}}\left( x=0,y,z \right)={{\varphi }_{n}}\left( x=L,y,z \right)\quad \forall {{x}_{i}}</math> periodisch angeordnete Kästen nebeneinander
<math>{{\varphi }_{n}}\left( x=0,y,z \right)={{\varphi }_{n}}\left( x=L,y,z \right)\quad \forall {{x}_{i}}</math> periodisch angeordnete Kästen nebeneinander


'''Ansatz''':
'''Ansatz''':
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:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
   & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}={{e}^{i\vec{k}.\left( \vec{r}+\vec{L} \right)}},\quad \vec{L}=\left( L,L,L \right) \\
   & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}={{e}^{i\vec{k}.\left( \vec{r}+\vec{L} \right)}},\quad \vec{L}=\left( L,L,L \right) \\
  & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}=1\text{  w }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ hlen} \\
  & \Rightarrow {{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}}=1\text{  w }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ hlen} \\
Line 28: Line 29:


Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:
Damit sind die Quantenzahlen k_i im großen (makroskopischen) Kasten festgelegt als:
:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
   & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\
   & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\
  & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\
  & \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\
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k's zu zählen ist oft leichter als n's
k's zu zählen ist oft leichter als n's
z.B <math>\sum\limits_{\text{Zust }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nde}}{...}\triangleq \sum\limits_{\text{k }\!\!'\!\!\text{ s}}{...}</math>
z.B <math>\sum\limits_{\text{Zust }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nde}}{...}\triangleq \sum\limits_{\text{k }\!\!'\!\!\text{ s}}{...}</math>
 
<math>\begin{align}
 
  & {{\varphi }_{{\vec{k}}}}=\frac{1}{\sqrt{V}}{{e}^{i\vec{k}.\vec{r}}},{{k}_{i}}=\frac{2\pi }{L}{{m}_{i}},\,\,{{m}_{i}}\in \mathbb{Z} \\
:<math>{{\sum }_{\vec{k}\in \text{3-Dim Raum}}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{{{\Delta }^{\text{3}}}k}{\underbrace{{{\Delta }^{\text{3}}}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{{{\Delta }^{\text{3}}}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math>
& \vec{k}.\vec{r}=\sum\limits_{i}{{{k}_{i}}{{x}_{i}}} \\
 
  & \sum\limits_{\text{Zust }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ nde}}{...}\triangleq \sum\limits_{\text{k }\!\!'\!\!\text{ s}}{...} \\
 
& \sum\limits_{\text{\vec{k}}\in 3\text{-Dim Raum}}{{}}=\sum\limits_{\text{k}}{\frac{\Delta {}^\text{3}k}{\underbrace{\Delta {}^\text{3}k}_{\Delta {{k}_{x\Delta }}\Delta {{k}_{y}}\Delta {{k}_{z}}}}}={{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\sum\limits_{\text{k}}{\Delta {}^\text{3}k}\to {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int_{{}}^{{}}{d{}^\text{3}k} \\
 
 
:<math>\Delta k</math> sind dicht ~ <math>\frac{1}{L}\to \int_{{}}^{{}}{{}}</math>
Summe über die k-Quantenzahlen werden also
 
So übersetzt:<math>{{\sum }_{k}}\triangleq {{\left( \frac{L}{2\pi } \right)}^{3}}\int{{{d}^{\text{3}}}k}</math>
 
==Vielteilchenzustände==
 
Kasten mit vielen Teilchen, wovon wird der Gesamtzustand abhängen?
* N-Teilchenzahl, wie sind die Teilchen auf die Einzeichenzustände verteilt
→ nur Quantenzahlen der Einteilchenzustände verwenden wenn Wechselwirkungsfreies Gas
 
Hamiltonfunktion, Eingenwertproblem:
 
:<math>H=\sum\limits_{i}{{{H}_{i}}}\,;\,{{H}_{i}}=\frac{p_{i}^{2}}{2m}+{{V}_{Kasten}}\left( {{{\vec{r}}}_{i}} \right)</math> i: Teilchennummer
 
:<math>H{{\Psi }_{n,N}}\left( \underbrace{\left\{ {{r}_{i}} \right\}}_{\text{alle Koordinaten}} \right)={{\varepsilon }_{n,N}}{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)</math> mit Quantenzahln n
 
→ in einem nicht WW. System sind die Lösungen durch {{FB|Produktzustände}} aus 1-Teilchenwellenfunktionen gegeben, die Einergie ist gegegeben durch die Summe aller besetzten Zuständer (Quantenmechanisch)
:<math>{{\varepsilon }_{n,N}}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)}</math> wobei <math>{{\varepsilon }_{n}}\left( i \right)</math> die Einteilchenenergie mit 3 Quantenzahlen ist
'''Vorläuftig''' :
:<math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)={{\varphi }_{n\left( 1 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{1}} \right){{\varphi }_{n\left( 2 \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{2}} \right)\ldots {{\varphi }_{n\left( N \right)}}\left( {{{\vec{r}}}_{N}} \right)</math>
 
aufgrund der Ununterscheidbarkeit der Teilchen sollte
 
<math>{{\left| \Psi \left( {{X}_{1}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{N}} \right) \right|}^{2}}={{\left| \Psi \left( {{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}} \right) \right|}^{2}}</math>
 
die Invarianz von Messgrößen gegen Vertauschung von Teilchenkoordinaten gegeben sein <math>{{X}_{i}}=\left( {{{\vec{r}}}_{i}},{{{\vec{s}}}_{i}} \right)</math>
 
Das geht für: <math>\Psi \left( {{X}_{1}}\ldots {{X}_{j}}\ldots {{X}_{i}}\ldots {{X}_{N}} \right)</math>
 
Beide Lösungen werden realisiert und als {{FB|symmetrisch}}(+) und {{FB|antisymmetrisch}}(-) bezeichnet:
{{Def|
; Fermionen (-) : antisymmetrisch sind Teilchen mit halbzahligem Spin
; Bosonen (-):  symmetrisch sind Teilchen mit ganzzaligem Spin (Spin-Statistik Theorem (W Pauli 1940))
|Fermionen, Bosonen}}
 
Das heißt: wenn man mit Vielteilchensystenem arbeitet muss man immer die richtige Symmetrie der Wellenfunktion gewährleisten.
 
(klassich: Grenzfall beider <math>T \to \infty</math>)
 
{{Beispiel|'''Beispiel:2 Teilchen'''
 
:<math>i=1,2\,\,;\,\,n=a,b</math>
vorläuftig<math>\Psi ={{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)</math>
Erfüllt die Schrödingergleichung '''aber nicht die Symmetrie'''
Daher (Anti)symmetriesierung durch
:<math>{{\Psi }^{F/B}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right)\mp {{\varphi }_{a}}\left( {{x}_{1}} \right){{\varphi }_{b}}\left( {{x}_{2}} \right) \right)</math>
wobei <math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math> der Normierungsfaktor ist.
}}
((3 Teilchen als Übung))
 
'''Interpretation''':
* In einem fermionischen System können nicht 2 Teilchen im selben Zustand sein (a=b) → Pauliprinzip
* In einem bosonischen System kann man durchaus mehrer Teilchen in dem selben Zustand haben. (lustiger Fall k_i=0 → Bosekondensation)
 
→ völlig unterschiedliches Verhalten der makroskopischen Größen weil die mikroskopischen Verteilungen anders sind.
 
*allgemin Ansätzte für N-Teilchen
:<math>{{\Psi }_{B}}=\frac{1}{\sqrt{\underbrace{N}_{\begin{smallmatrix}
\text{Teilchenzahl} \\
\text{wg Normierung}
\end{smallmatrix}}!}}\frac{1}{\underbrace{\sqrt{\prod\limits_{k}^{K}{{{N}_{k}}!}}}_{\begin{smallmatrix}
  & \text{wenn nur die Orbitale }{{\varphi }_{k}} \\
& k<N\text{ besetzt weil mehrer} \\
& \text{Teilchen in einem Orbital sitzen} \\
& \text{so steht }{{\text{N}}_{k}}\text{ f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r die Zahl der} \\
& \text{Teilchen in dem Orbital} \\
\end{smallmatrix}}}\underbrace{\sum\limits_{P}{P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Zumme  }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ ber alle Permutationen}}</math>
 
:<math>{{\Psi }_{F}}=\frac{1}{\sqrt{N!}}\underbrace{\sum\limits_{P}{\operatorname{sign}\left( P \right)P\left( {{\varphi }_{{{n}_{1}}}}\left( {{x}_{1}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{k}}}}\left( {{x}_{k}} \right)\ldots {{\varphi }_{{{n}_{N}}}}\left( {{x}_{N}} \right) \right)}}_{\text{Anzahl der Vertauschungen um die Permutation zu konstruieren mal }\left( -1 \right)}</math>
 
recht komplizierte Schreibweise:
besser Diracschreibweise für eine übersichtliche Darstellung.
 
jeden möglichen Zustand als Konfiguration vorstellen
 
[[Bild:Fermi-Bose]]
aus einer Konfiguration kann man diesen Zustand im Diracbild schreiben als:
 
:<math>{{\Psi }_{n,N}}\left( \left\{ {{r}_{i}} \right\} \right)=\left\langle  {{{\vec{r}}}_{i}} | N,n \right\rangle \to \left| N,n \right\rangle </math>
 
 
:<math>\left| N,n \right\rangle =?</math>
ist gekennzeichnet durch
# die Gesamtteilchenzahl '''N'''
# wo man die Teilchen sitzen hat '''n'''
 
 
:<math>\left| N,n \right\rangle =\left| \begin{matrix}
  {{n}_{1}} & {{n}_{2}} & \cdots  & {{n}_{k}} & \cdots  & {{n}_{N}}  \\
  {{N}_{1}} & {{N}_{2}} & \cdots  & {{N}_{k}} & \cdots  & {{N}_{N}}  \\
\end{matrix} \right\rangle =\left| \begin{matrix}
  {{N}_{1}} & {{N}_{2}} & \cdots  & {{N}_{k}} & \cdots  & {{N}_{N}}  \\
\end{matrix} \right\rangle </math>
 
 
:<math>{{n}_{k}}</math> als Quantenzahl mit
:<math>{{N}_{k}}</math> Teilchen
 
* Fermionen <math>{{N}_{k}}=0,1</math>
* Bosonen <math>{{N}_{k}}=0,1,...,N</math>
 
{{Beispiel|
2 Bosonen <math>\left| 1,1 \right\rangle oder\left| 0,2 \right\rangle oder\left| 2,0 \right\rangle </math>
2 Fermionen <math>\left| 1,1 \right\rangle </math>
}}
verschiedenen Symmetrien/ Spin erzeugt verschiedene Zustandszahlen, die in Analogie mit klassischen Würfel (6) die makroskopischen Eigenschaften bestimmen.
 
Es gibt 2 Sorgen von Bosonen:
 
; {{FB|massive Bosonen}} : Masse beliebig z.B. Atom Molekül, \alpha-Teilchen
; {{FB|masselose Bosonen}}: z.B. Photon, Ponon, etc (Quantenanregung von Feldern)
 
man kann sich H anschauen:
 
:<math>\frac{\partial H}{\partial N}\ne 0</math> →massive Bosonen
 
 
:<math>\frac{\partial H}{\partial N}=0</math> →masselose Bosonen
 
{{Def|
:<math>\frac{\partial H}{\partial N}:=\mu </math> chemisches Potential|chemisches Potential}}
 
muss am Beispiel später klargemacht werden.
 
 
; massive Bosonen : <math>\mu \neq 0</math>
; masselose Bosonen: <math>\mu =0 </math>
 
==Wechselwirkung von System und Umgebung==
[[File:System boundary.svg|miniatur|System und Umgebung
auf das '''System''' wirken externe Felder (<math>h_\alpha</math>) und die Umgebung oder '''Bad''' enstpricht einem großen Puffer]]
 
:<math>H={{H}_{ges}}=\underbrace{{{H}_{S}}}_{\text{System}}+\underbrace{{{H}_{B}}}_{\text{Bad}}+\underbrace{{{H}_{SB}}}_{\begin{smallmatrix}
\text{Wechsel-} \\
\text{wirkung}
\end{smallmatrix}}+\underbrace{H_{S}^{\alpha }\left( t \right)}_{\begin{smallmatrix}
\text{externe Felder die } \\
\text{auf das System wirken}
\end{smallmatrix}}</math>
 
"Modifikation" der Schrödingergleichung aufgrund der Umgebung
im Allgemeinen:
:<math>\mathfrak{i}\hbar {{\partial }_{t}}\chi =H\chi </math> (immer richtig)
 
Annahme
; System : <math>{{H}_{S}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math>
; Bad : <math>{{H}_{B}}\left| b \right\rangle ={{\varepsilon }_{b}}\left| b \right\rangle </math>
 
Problem gelöst.
System bespielsweise H-Atom
Bad bespielsweise harmonischer Oszillator mit dichten Energiespektren
 
ABBILDUNG
 
"System soll die Temperatur des Bades annehmen aber soll Bad nicht stark beeinflussen"
 
:<math>\chi </math> hängt noch vom Bad/Systemkoordinaten ab
:<math>\chi =\sum\limits_{n,b}{{{c}_{n,b}}\left( t \right)}\left| n \right\rangle \left| b \right\rangle </math>
 
Spannt den ganzen Raum auf
:<math>\left| n \right\rangle </math>, <math>\left| b \right\rangle </math> abstrakte Vielteilchenzustände
wollen Systemgröße beobachten
 
Observable des Systems O_s wirkt nicht auf
:<math>\left| b \right\rangle </math>, nur auf
:<math>\left| n \right\rangle </math>'s:
 
 
:<math>\begin{align}
  & \left\langle  \chi  | {{O}_{s}}|\chi  \right\rangle =\sum\limits_{\begin{smallmatrix}
n,n' \\
b,b'
\end{smallmatrix}}{c{{*}_{n',b'}}}{{c}_{n,b}}\left\langle  n' \right|\left\langle  b' \right|{{O}_{S}}\underbrace{\left| b \right\rangle }_{{{\delta }_{b,b'}}}\left| n \right\rangle  \\
& =\sum\limits_{n,n'}{\underbrace{\sum\limits_{b}{c{{*}_{n',b}}}{{c}_{n,b}}}_{\begin{smallmatrix}
{{\rho }_{n,n'}}-\text{Matrix} \\
\text{hier findet sich Umgebung }
\\
\text{wieder}
\end{smallmatrix}}}\left\langle  n' \right|{{O}_{S}}\left| n \right\rangle 
\end{align}</math>
 
 
 
{{Def|<math>{{\rho }_{n,n'}}</math> wird '''Dichtematrix''' genannt oder Matrix des '''statistischen Operators''' <math>\rho</math> mit den Matrixelementen <math>{{\rho }_{n,n'}}</math>|Dichtematrix}}
→ führe {{FB|statistischen Operator}} ein
 
Erwartungwert in System mit Umgebung:
 
:<math>\left\langle  \chi  \right|{{O}_{S}}\left| \chi  \right\rangle =\sum\limits_{n,n'}{\left\langle  n \right|\rho \left| n' \right\rangle }\left\langle  n' \right|{{O}_{S}}\left| n \right\rangle </math> mit <math>1=\sum\limits_{n'}{\left| n' \right\rangle \left\langle  n' \right|}</math>
 
 
 
{{Def|<math>\left\langle {{O}_{S}} \right\rangle =\sum\limits_{n}{\left\langle  n \right|\rho {{O}_{S}}\left| n \right\rangle }\equiv \text{Tr}\left( \rho {{O}_{S}} \right)</math> ist die '''Mittelungsformel der statistischen Physik'''.|Mittelwert}}
 
===statistischer Operator===
Frage: Was kann man über <math>\rho</math> herausfinden?
 
kann 2 Eigenschaften
:<math>{{\rho }_{n,n'}}=\sum\limits_{b}{c{{*}_{{n}',b}}}{{c}_{n,b}}</math>
 
*hermitische Matrix → kann diagonalisiert werden
*<math>\text{Tr}\left( \rho {{O}_{S}} \right)=1</math> denn <math>{{\sum\limits_{bn}{\left| {{c}_{n,b}} \right|}}^{2}}=1</math> ebenso Diagonalelemente <math>0\le {{\left| {{c}_{n,b}} \right|}^{2}}\le 1</math> (wegen Wahrscheinlichkeitsinterpretation)
 
 
wenn man diagonalisiert, so bleiben die Eigenschaften
 
:<math>\text{Tr}\left( \rho  \right)=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}=1\quad {{w}_{i}}\in [0,1],\quad \mathfrak{i}\hbar {{\partial }_{t}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle =\left( {{H}_{S}}+H_{S}^{\alpha } \right)\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math>
 
 
es existiert die '''Diagonaldarstellung'''
 
:<math>\rho ={{w}_{i}}\underbrace{\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}_{\text{Systemwellenfunktionen}}</math>
 
 
Bemerkungen
 
====Interpreatation====
Interpreation von \rho
 
in Diagonaldarstellung
 
:<math>\begin{align}
  & \left\langle {{O}_{S}} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \rho {{O}_{s}} \right)=\underbrace{\sum\limits_{n}{\left\langle  n \right|\rho {{O}_{s}}\left| n \right\rangle }}_{\begin{smallmatrix}
n\text{ vollst}\text{. System im} \\
\text{Vielteilchenraum des }
\\
\text{Systems}
\end{smallmatrix}} \\
& =\sum\limits_{n}{\left\langle  n \right|\underbrace{\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}}_{\rho }{{O}_{s}}\left| n \right\rangle }=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|\underbrace{\sum\limits_{n}{\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|}}_{1}}{{O}_{s}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle  \\
& =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\underbrace{\left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|{{O}_{s}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle }_{\begin{smallmatrix}
\text{Erwartungswert einer} \\
\text{Gr }\!\!\ddot{\mathrm{o}}\!\!\text{ sse}\text{, bei der sich das System }
\\
\text{im Zustand }\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \text{ befindet}
\end{smallmatrix}}}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
 
<math>\Delta k</math> sind dicht ~ <math>\frac{1}{L}\to \int_{{}}^{{}}{{}}</math>
:<math>{{w}_{i}}</math>
Summe über die k-Quantenzahlen werden also so übersetzt
werdeb als Wahrscheinlichkeiten mit der ein Zustand
:<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle </math> realisiert wird interpretiert.
 
 
:<math>\left\langle {{O}_{S}} \right\rangle </math> klassich Mittelung aller möglichen Erwartungswerte der "normalen" Quantenmechanik.
 
:<math>\sum\limits_{i}{{}}</math> Mittelung über das besprochene Ensenble
 
Jedes Ensenblemitglied trägt mit der Wahrscheinlichkeit w<sub>i</sub> zum Meßergebnis bei.
 
 
 
====Zeitabhängigkeit====
w<sub>i</sub>= Zeitlich konstatn, weil \rho(t) wird über die Wellenfunktion
:<math>\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle (t)</math> vermittelt (Schrödingerbild) d.h. die w_i sind durch Anfangsbedingungen vorgegeben. zB. w_i fest durch Präperation von t=0 S
 
 
 
====Reine und gemischte Zustände====
{{Def|'''reiner Zustand''' <math>\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle </math> ist System, dass sich iohne Einwirkung der Umgebung entwickelt <math> w_{i0}=1</math>, alle anderen <math>w_i</math>'s sind 0
 
Setzt exakte Präperation der Anfagnsbedingungn durch Messung voraus!
 
:<math>{{\rho }_{\text{rein}}}=\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i0}} \right|</math>
 
 
|reiner Zustand}}
Dies geht aber im allgemeinen nicht, deswegen muß man
{{Def|quantenmechanisches Gemisch betrachten mit vielen <math>w_i \neq 0</math>
 
z.B. Präperation bei kontinuirlichem Spektrum nicht möglich
 
 
:<math>{{\rho }_{\text{gemisch}}}=\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}</math>
 
|gemischter Zustand}}
 
====Eingenwertgleichung====
 
Lösung der Eigenwergleichung für \rho :
 
:<math>\begin{align}
  & \rho \left| r \right\rangle =r\left| r \right\rangle  \\
& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle =r\left| r \right\rangle \quad |\centerdot \left\langle  r \right| \\
& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  r  |  {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle =r
\end{align}</math>
daraus folgt
#<math>{{w}_{i}}\le 1</math>, <math>{{\left| \left\langle  r | {{\Psi }_{i}} \right\rangle  \right|}^{2}}\le 1</math> somit <math>\Rightarrow 0\le r\le 1</math>
# <math>\begin{align}
  & \sum\limits_{r}{\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left\langle  r  |  {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|}\left| r \right\rangle }=\sum\limits_{r}{r} \\
& \sum\limits_{i}{{{w}_{i}}}=\sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r} \\
& \Rightarrow \sum\limits_{\left\{ r \right\}}{r}=1
\end{align}</math>
 
 
Eigenwerte von <math>\rho</math> sind von 0 bis 1 und ergeben in ihrer Summe 1.
 
==Beispiel für gemischten Zustand==
 
:<math>{{H}_{s}}\left| n \right\rangle ={{\varepsilon }_{n}}\left| n \right\rangle </math>: einfach machen
 
Photon: mit Polarisation
:<math>\uparrow ,\to </math> = 2 Zustände  <math>\left| n=1,2 \right\rangle </math>
 
:<math>\left| {{\Psi }_{i}}\left( t \right) \right\rangle =a\left( t \right)\left| \to  \right\rangle +b\left( t \right)\left| \uparrow  \right\rangle </math>
 
 
:<math>\left| {{\Psi }_{i}}\left( t \right) \right\rangle </math> wird druch
Zustände <math>\uparrow ,\downarrow ,a,b:{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1</math> sind alle Möglich.
 
===reiner Zustand===
reiner zustand
:<math>{{\rho }_{\text{rein}}}=\left| {{\Psi }_{i0}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i0}} \right|</math>
 
für festes a,b
 
:<math>\begin{align}
  & {{\rho }_{\text{rein}}}=a\left| \to  \right\rangle +b\left| \uparrow  \right\rangle +{{\left( a\left| \to  \right\rangle +b\left| \uparrow  \right\rangle  \right)}^{*}} \\
& ={{\left| a \right|}^{2}}\left| \to  \right\rangle \left\langle  \to  \right|+a{{b}^{*}}\left| \to  \right\rangle \left\langle  \uparrow  \right|+b{{a}^{*}}\left| \uparrow  \right\rangle \left\langle  \to  \right|+{{\left| b \right|}^{2}}\left| \uparrow  \right\rangle \left\langle  \uparrow  \right|
\end{align}</math>
 
mit a,b beliebig <math>{{\left| a \right|}^{2}}+{{\left| b \right|}^{2}}=1</math> z.B
:<math>a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\,\,\text{oder}\ a=1,b=0</math>... alles reine Zustände
 
 
 
===gemischter Zustand===
 
:<math>\rho =\sum\limits_{i}{{{w}_{i}}\left| {{\Psi }_{i}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }_{i}} \right|},\ \quad \left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle =\left| \to  \right\rangle ,\quad \left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle =\left| \uparrow  \right\rangle ,\quad {{w}_{1}}={{w}_{2}}=\frac{1}{2}</math>
dann ist
 
:<math>\rho =\frac{1}{2}\left( \left| \to  \right\rangle \left\langle  \to  \right|+\left| \uparrow  \right\rangle \left\langle  \uparrow  \right| \right)</math>
 
 
wie kann man geschickt zwischen reinen und gemsichten <math>\rho</math> unterscheiden?
Läuft über Spur (Übungsaufgabe)
 
((LÖSUNG <math>\rho^2<1</math> :gemischt sonst rein))
 
immer noch nicht bekannt <math>w_i</math> 's → ausrechnen für bestimmte experimentelle Bedingungen
 
==Aufgaben der statistischen Physik==
3wichtige
* dynamische Gelichungen für <math>\rho_{n,n'}(t)</math> um den statistischen Operator <math>\rho(t)</math> zu bestimmen <math>\left\langle {{O}_{s}} \right\rangle =\operatorname{Tr}\left( \rho \left( t \right){{O}_{s}} \right)</math>  bei externen Feldern
* Anfangsbedinugungen <math>\rho_{n,n'}(t=0)</math> festlegen vor Einschalten externer Felder
* Methoden finden die Umgebung in den Anfangsbedingungen durch wenige Parameter in <math>\rho_{n,n'}(t=0)</math>  einzubauen (z.B. Temperatur)
 
 
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