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Polarisation
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<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|1}}</noinclude> Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine # '''freie Ladungsträger''' Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern * Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft :<math>\bar{K}=q\left[ \bar{E}+\left( \bar{v}\times \bar{B} \right) \right]</math> * elektrische Ströme → Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit * * <math>\sigma </math> * # '''gebundene Ladungen (In Isolatoren)''' * '''Polarisierung im '''<u>'''E- '''</u>'''Feld''' # '''Für '''<u>'''E '''</u>=0 vorhandene mikroskopische Dipole <u>p</u> werden zur Minimierung der potenziellen Energie Wel.=-<u>p</u> <u>E</u> vorzugsweise (entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu <u>E </u>orientiert (z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten!) # Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch <u>E </u> durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu <u>E</u> parallel ausgerichtet sind: :<math>\bar{p}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho \left( {\bar{r}} \right)\bar{r}\ne 0</math> nach Einschalten des Feldes. Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt! <u>'''Makroskopische räumliche Mittelung'''</u> Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld :<math>\begin{align} & \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\ & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\ \end{align}</math> gemäß :<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{\bar{E}}_{p}}={{\rho }_{P}}</math> Das resultierende Gesamtfeld lautet: :<math>\begin{align} & \bar{E}\acute{\ }=\bar{E}+{{{\bar{E}}}_{p}} \\ & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}+{{\rho }_{P}} \\ \end{align}</math> Mit der freien Ladungsdichte :<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho </math> Also: :<math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\acute{\ }=\rho +{{\rho }_{P}}</math> Die Polarisation selbst bestimmt sich nach :<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right):=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}\left( \bar{r},t \right)</math> ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind. Somit: :<math>\begin{align} & \nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)=\rho \\ & \nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{P}} \\ \end{align}</math> Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir :<math>\bar{D}(\bar{r},t)=\left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\acute{\ }+\bar{P} \right)</math> Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen (ohne Polarisationsladungen) auftreten: :<math>\nabla \cdot \bar{D}=\rho </math> Wir bezeichnen mit :<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=d{{Q}_{P}}</math> die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird: Denn (bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist): :<math>\oint_{\partial V}{{}}\bar{P}\left( \bar{r},t \right)d\bar{f}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)=-\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r}{{\rho }_{P}}</math> = Polarisationsladung, die V verläßt! <u>'''Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:'''</u> :<math>{{\rho }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{q}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math> (mikroskopische Ladungsdichte) :<math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{\bar{p}}_{i}}\delta \left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}(t) \right)</math> (mikroskopische Dipoldichte) mit: :<math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\sum\limits_{i}{{}}{{{\bar{p}}}_{i}}}</math> Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen :<math>\Delta V:</math> :<math>{{\left( \Delta V \right)}^{\frac{1}{3}}}<<</math> Längenskala der makroskopischen Dichtevariation Somit: :<math>\rho \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math> (makroskopische Ladungsdichte) :<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)</math> Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION!! '''Beweis:''' Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial: :<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist! Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß :<math>\begin{align} & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ & \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }:=\bar{r}\acute{\ }-\bar{s} \\ & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|} \\ & =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ \end{align}</math> Wobei :<math>\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)=\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right)</math> Die makroskopische Ladungsdichte ist! :<math>\begin{align} & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\rho }_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ & =\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\rho \left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ }+\bar{s},t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ \end{align}</math> '''Analog:''' Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole :<math>{{\bar{p}}_{i}}</math> : :<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\nabla }_{r}}\left\{ \sum\limits_{i}{{}}\frac{1}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{{{\bar{p}}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right) \right\}</math> mit dem mikroskopischen Dipolmoment :<math>{{\bar{p}}_{i}}\left( t-\frac{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}{c} \right)</math> Analog: :<math>{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}</math> mit der mikroskopischen Dipoldichte :<math>{{\bar{P}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)</math> Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial: :<math>\begin{align} & \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s{{\Phi }_{m}}\left( \bar{r}+\bar{s},t \right) \\ & =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{\Delta V}\int_{\Delta V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}s\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{{\bar{P}}}_{m}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}+\bar{s}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\ & =-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ }\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ }\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\} \\ \end{align}</math> '''Umformung:''' :<math>{{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+Korrektur</math> Dabei haben wir das Problem, dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen: :<math>\begin{align} & {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \\ & t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\ & {{\nabla }_{r}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}=-{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left\{ \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right\}+\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \\ \end{align}</math> Also folgt für das Potenzial: Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte :<math>{{\rho }_{p}}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)=\left( -{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{P}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right) \right)</math> Damit können wir die makroskopische Dipoldichte :<math>\bar{P}</math> mit der durch :<math>\bar{P}:=-{{\varepsilon }_{0}}{{\bar{E}}_{p}}</math> bzw. :<math>\nabla \cdot \bar{P}=-{{\rho }_{p}}</math> definierten Polarisation identifizieren.
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