Editing Maxwell- Gleichungen in Materie

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|5|3}}</noinclude>

Die vollständigen Potenziale enthalten
* die freie Ladungs- und Stromdichten
* <math>\rho ,\bar{j}</math>
*
* die Polarisations- und Magnetisierungsbeiträge
* <math>{{\rho }_{p}},{{\bar{j}}_{p}},{{\bar{j}}_{m}}</math>
*

Somit folgt für die vollständigen Potenziale:

:<math>\begin{align}
& t\acute{\ }=t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \\
& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{{\bar{j}}}_{M}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\
& \Phi \left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\left[ \rho \left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+{{\rho }_{P}}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right) \right] \\
&  \\
\end{align}</math>

Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung

:<math>\begin{align}
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{\acute{\ }0}}\left[ \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right] \\
& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left[ \rho +{{\rho }_{P}} \right] \\
&  \\
\end{align}</math>

Für die Felder in Materie folgt:

:<math>\begin{align}
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen:

:<math>\begin{align}
& 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

* Wie im Vakuum

:<math>\begin{align}
& 3)\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi  \\
& \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi  \\
& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi  \\
\end{align}</math>

In Lorentz Eichung!

:<math>\nabla \cdot \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \cdot \nabla \Phi =\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi -\Delta \Phi =-\#\Phi =\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho +{{\rho }_{p}} \right)=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left( \rho -\nabla \cdot \bar{P} \right)</math>

per Definition von
:<math>{{\rho }_{p}}</math>.


:<math>\begin{align}
& \Rightarrow 3)\nabla \cdot \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\
& \left( {{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \right):=\bar{D}\left( \bar{r},t \right) \\
& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

Die Dielektrische Verschiebung

4) Letzte Gleichung:

:<math>\begin{align}
& \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi  \\
& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\nabla \Phi  \\
& \nabla \Phi =-\bar{E}-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\
& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=-\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \\
& ={{\mu }_{0}}\left( \bar{j}+{{{\bar{j}}}_{P}}+{{{\bar{j}}}_{M}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E} \\
& {{{\bar{j}}}_{P}}=\dot{\bar{P}} \\
& {{{\bar{j}}}_{M}}=\nabla \times \bar{M} \\
& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{P}+{{\varepsilon }_{0}}\bar{E} \right)+{{\mu }_{0}}\nabla \times \bar{M}+{{\mu }_{0}}\bar{j} \\
& \Rightarrow 4) \\
& \Rightarrow \nabla \times \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M} \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\
& \left( \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M} \right)=H\left( \bar{r},t \right) \\
& \Rightarrow \nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D} \\
\end{align}</math>

Mit dem Magnetfeld
:<math>H\left( \bar{r},t \right)</math>,
 welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:

<u>'''Zusammenfassung:'''</u>

:<math>\begin{align}
& 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

:<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)</math>

:<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)=\bar{j}+\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}</math>

:<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}</math>

Dabei beschreibt

:<math>\begin{align}
& 1)\nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und

:<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\rho \left( \bar{r},t \right)</math>

:<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\bar{j}</math>

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

:<math>\begin{align}
& \bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
& \bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-\bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

Im Gauß System (weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):

:<math>\begin{align}
& 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

:<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)</math>

:<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math>

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

:<math>\begin{align}
& 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
& 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

Unsere 6 Feldgleichungen (wenn man so will, also (es kann nicht oft genug gezeigt werden):

:<math>\begin{align}
& 1)\nabla \times \bar{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{B}=0 \\
& 2)\nabla \cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

:<math>3)\nabla \cdot \bar{D}\left( \bar{r},t \right)=4\pi \rho \left( \bar{r},t \right)</math>

:<math>4)\nabla \times H\left( \bar{r},t \right)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{D}=\frac{4\pi }{c}\bar{j}</math>

:<math>\begin{align}
& 5)\bar{D}\left( \bar{r},t \right)=\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+4\pi \bar{P}\left( \bar{r},t \right) \\
& 6)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B}\left( \bar{r},t \right)-4\pi \bar{M}\left( \bar{r},t \right) \\
\end{align}</math>

sind nicht vollständig. Es muss noch der Zusammenhang zwischen Polarisation und E- Feld, bzw. B- Feld und Magnetisierung angegeben werden. Dies sind die sogenannten " Materialgleichungen".

<u>'''Einfachster Fall:'''</u>

# isotrope Materie:

:<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)||\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>

und für paramagnetische Stoffe
:<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \uparrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>

für diamagnetische Stoffe:
:<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\uparrow \downarrow \bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>,

also ein skalarer Zusammenhang

# bei nicht zu hohen Feldern:

:<math>\bar{E}\tilde{\ }\bar{P}</math>

:<math>\bar{B}\tilde{\ }\bar{M}</math>

also ein linearer Zusammenhang

# ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung (keine Phasenkohärenzen):

:<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>

:<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)\tilde{\ }\bar{M}\left( \bar{r},t \right)</math>

neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang!

Dann kann man schreiben:

:<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\chi }_{e}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math>

:<math>\bar{M}\left( \bar{r},t \right)={{\chi }_{M}}\bar{H}\left( \bar{r},t \right)</math>

Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität

:<math>{{\chi }_{e}}</math>
und der magnetischen Suszeptibilität
:<math>{{\chi }_{M}}</math>
(Materialkonstanten).
Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien (z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.

:<math>\bar{D}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}\left( \bar{r},t \right)+\bar{P}={{\varepsilon }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)\bar{E}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\varepsilon \bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math> mit <math>\varepsilon =\left( 1+{{\chi }_{e}} \right)</math>,
 der relativen Dielektrizitätskonstante (permittivity)

:<math>\bar{B}={{\mu }_{0}}\left( \bar{H}+\bar{M} \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)\bar{H}\left( \bar{r},t \right)={{\mu }_{0}}\mu \bar{H}</math> mit <math>\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)=\mu </math>,
 der relativen Permeabilität

:<math>\Rightarrow \bar{M}={{\chi }_{M}}\bar{H}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\mu }\bar{B}=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}\bar{B}</math>

Man sagt:
Ein Stoff ist paramagnetisch für
:<math>\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}>0</math>

diamagnetisch für
:<math>\frac{{{\chi }_{M}}}{\left( 1+{{\chi }_{M}} \right)}<0</math>

paramagnetisch:
:<math>{{\chi }_{M}}>0\Rightarrow \mu >1</math> diamagnetisch <math>0>{{\chi }_{M}}>-1\Rightarrow 0<\mu <1</math>

Bemerkungen

:<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)=0\Rightarrow \bar{P}=0</math>
beschreibt kein Ferroelektrikum

:<math>\bar{B}=0\Rightarrow \bar{M}=0</math>
kein Ferromagnet

Es gilt stets
:<math>{{\chi }_{e}}>0</math>
(Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit → es existiert keine negative Polarisierbarkeit)

:<math>{{\chi }_{M}}\begin{matrix}
>  \\
<  \\
\end{matrix}0</math>
Para- ODER Diamagnet

Ein Term
:<math>\tilde{\ }\bar{B}</math> in <math>\bar{P}</math> oder <math>\tilde{\ }\bar{E}</math> in <math>\bar{M}</math>
kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens!

:<math>\bar{E}</math>
ist polarer Vektor,
:<math>\bar{B}</math>
ist axialer Vektor!

:<math>{{\rho }_{P}}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \cdot \bar{P}\left( \bar{r},t \right)</math>
ist ein Skalar

:<math>{{\bar{j}}_{M}}=rot\bar{M}</math>
ist ein polarer Vektor.

<u>'''Abweichungen'''</u>

1)Für anisotrope Kristalle :
:<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}\bar{E}</math>

drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor
:<math>{{\bar{\bar{\chi }}}_{e}}</math>.


2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:

:<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\left( {{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(1)}\bar{E}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(2)}{{{\bar{E}}}^{2}}+{{{\bar{\bar{\chi }}}}_{e}}^{(3)}{{{\bar{E}}}^{3}}+... \right)</math>

Anwendung: optische Nichtlinearität,
Beispiel: optische Bistabilität, optische Schalter:


Für hochfrequente Felder folgt:

:<math>\bar{P}\left( \bar{r},t \right)={{\varepsilon }_{0}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }dt\acute{\ }{{\chi }_{e}}\left( \bar{r},\bar{r}\acute{\ },t,t\acute{\ } \right)\bar{E}\left( \bar{r}\acute{\ },t\acute{\ } \right)</math>

(räumliche bzw. zeitliche Dispersion):

:<math>\hat{\bar{P}}\left( \bar{k},\omega  \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\hat{\chi }}_{e}}\left( \bar{k},\omega  \right)\hat{\bar{E}}\left( \bar{k},\omega  \right)</math>