Editing Maxwell- Gleichungen im Vakuum

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|3|2}}</noinclude>

Die Forderungen an dynamische Gleichungen für zeitartige Felder
:<math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
lauten:
1) im quasistatischen Grenzfall sollen die statischen MWGl herauskommen:

:<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}=0 \\
& {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}=0 \\
\end{align}</math>

2) die Gleichungen sollen linear in
:<math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
sein, um das Superpositionsprinzip zu erfüllen!
Die Gleichungen sollen 1. Ordnung in t sein (um das Kausalitätsprinzip zu erfüllen!)

Die linke Seite der Maxwellgleichungen (oben) soll zur Zeit t=0 den Zustand für t> 0 vollständig festlegen!!

Somit sind

:<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}={{a}_{1}}\dot{\bar{E}}+{{b}_{1}}\dot{\bar{B}} \\
& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}={{a}_{2}}\dot{\bar{E}}+{{b}_{2}}\dot{\bar{B}} \\
& {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

Dies sind 6 Vektorgleichungen, die
:<math>\bar{E}(\bar{r},t),\bar{B}(\bar{r},t)</math>
für t> 0 festlegen und 2 skalare Gleichungen

3) Wir fordern TCP- Invarianz:

:<math>\begin{align}
& {{T}_{g}}oder\ {{P}_{g}}\Rightarrow {{a}_{1}}=0 \\
& {{T}_{u}}oder\ {{P}_{u}}\Rightarrow {{b}_{2}}=0 \\
\end{align}</math>

Also bleibt:

:<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}={{b}_{1}}\dot{\bar{B}} \\
& \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j}={{a}_{2}}\dot{\bar{E}} \\
& {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho =0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>

4) Ladungserhaltung:

:<math>\begin{align}
& 0=\frac{\partial }{\partial t}\left( {{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}-\rho  \right)={{\varepsilon }_{0}}{{\nabla }_{r}}\cdot \dot{\bar{E}}-\dot{\rho }=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{B}-{{\mu }_{0}}\bar{j} \right)-\dot{\rho } \\
& \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \nabla \times \bar{B}=0 \\
& \Rightarrow \frac{{{\varepsilon }_{0}}}{{{a}_{2}}}\nabla \cdot \left( {{\mu }_{0}}\bar{j} \right)-\dot{\rho }=0 \\
& \Rightarrow {{a}_{2}}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}} \\
\end{align}</math>

Unter Verwendung der Kontinuitätsgleichung!
Somit (vergl. S. 32, §2.3  folgt die Verschiebungsstromdichte
:<math>{{\varepsilon }_{0}}\dot{\bar{E}}</math>

5) Lorentzkraft

:<math>\bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B}</math>
soll aus einem Extremalprinzip, ergo dem Hamiltonschen Prinzip ableitbar sein.
Suche also eine Lagrange- Funktion

:<math>L(\bar{r},\bar{v},t)</math>
so dass die Lagrangegleichung

:<math>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}} \right)-\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=0</math>

die nichtrelativistische Bewegungsgleichung

:<math>m\ddot{\bar{r}}=q\left[ \bar{E}(\bar{r},t)+\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r},t) \right]</math>

ergibt!

Lösung:

:<math>L=\frac{m}{2}{{v}^{2}}+q\left[ \bar{v}\bar{A}(\bar{r},t)-\Phi (\bar{r},t) \right]</math>

Tatsächlich gilt

:<math>{{p}_{k}}=\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{v}_{k}}+q{{A}_{k}}(\bar{r},t)</math>
= kanonischer Impuls

:<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{\ddot{x}}_{k}}+q\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{r},t)</math>

Dabei ist die Zeitableitung von A als totales Differenzial entlang einer Bahn
:<math>\bar{r}</math>
zu sehen!

:<math>\begin{align}
& \frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}(\bar{r},t)+\frac{\partial {{A}_{k}}(\bar{r},t)}{\partial {{x}_{l}}}\frac{\partial {{x}_{l}}}{\partial t} \right)=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}+\bar{v}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}}(\bar{r},t) \\
& \frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=q\left[ \frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi  \right] \\
& \Rightarrow 0=\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{v}_{k}}}-\frac{\partial L(\bar{r},\bar{v},t)}{\partial {{x}_{k}}}=m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\left( \frac{\partial }{\partial t}+\bar{v}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-q\left[ \frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi  \right] \\
& =m{{{\ddot{x}}}_{k}}+q\frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}(\bar{r},t)+q\left[ \left( \bar{v}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right) \right]+q\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\Phi  \\
& \left[ \left( \bar{v}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}}(\bar{r},t)-\frac{\partial }{\partial {{x}_{k}}}\left( \bar{v}\bar{A} \right) \right]=-{{\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]}_{k}} \\
& \Rightarrow 0=m\ddot{\bar{r}}+q\frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)-q\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]+q\nabla \Phi =m\ddot{\bar{r}}+q\left[ \frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)+\nabla \Phi -\left[ \bar{v}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right] \right] \\
\end{align}</math>

Vergleich mit der Lorentzkraft liefert:

:<math>\begin{align}
& \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}A(\bar{r},t)-\nabla \Phi  \\
& \bar{B}(\bar{r},t)=\nabla \times A(\bar{r},t) \\
\end{align}</math>

und:

:<math>\begin{align}
& \nabla \times \bar{E}(\bar{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times A(\bar{r},t)-\nabla \times \nabla \Phi  \\
& \nabla \times A(\bar{r},t)=\bar{B}(\bar{r},t) \\
& \nabla \times \nabla \Phi =0 \\
& \Rightarrow {{b}_{1}}=-1 \\
\end{align}</math>

<u>'''Vollständige (zeitabhängige) Maxwellgleichungen im Vakuum'''</u>

mit den neuen Feldgrößen

:<math>\bar{D}(\bar{r},t):={{\varepsilon }_{0}}\bar{E}(\bar{r},t)</math>
dielektrische Verschiebung
und

:<math>\bar{H}(\bar{r},t):=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}(\bar{r},t)</math>,
 Magnetfeld
ergibt sich:

:<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{D}=\rho  \\
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j} \\
\end{align}</math>

Dabei sind

:<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\dot{\bar{B}}=0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
\end{align}</math>
die homogenen Gleichungen, die die Wechselwirkung einer Punktladung mit gegebenen Feldern
:<math>\bar{E},\bar{B}</math>
beschreiben
und

:<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{D}=\rho  \\
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{H}-\dot{\bar{D}}=\bar{j} \\
\end{align}</math>
die inhomogenen Gleichungen, die Erzeugung der Felder
:<math>\bar{D},\bar{H}</math>
durch gegebene Ladungen und Ströme

Im Gauß- System:

:<math>\begin{align}
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{E}+\frac{1}{c}\dot{\bar{B}}=0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{B}=0 \\
& {{\nabla }_{r}}\cdot \bar{E}=4\pi \rho  \\
& {{\nabla }_{r}}\times \bar{B}-\dot{\bar{E}}=\frac{4\pi }{c}\bar{j} \\
\end{align}</math>

Mit

:<math>\begin{align}
& \bar{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}-\nabla \Phi  \\
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A} \\
& \bar{D}=\bar{E} \\
& \bar{H}=\bar{B} \\
\end{align}</math>

im Vakuum!