Editing Magnetische Induktion

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|2|2}}</noinclude>


== Experimentelle Erfahrung ==


Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kraft wirkt auf Ladungen q, die sich mit v bewegen:

:<math>\bar{F}=q\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r})</math>

Die sogenannte {{FB|Lorentz-Kraft}}!

<math>\bar{B}(\bar{r})</math> ist die {{FB|magnetische Induktion}} am Ort <math>\bar{r}</math>, die erzeugt wird von den anderen Ladungen mit einer zugeordneten {{FB|Stromdichte}} <math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math>.


Die Erzeugung dieser Magnetischen Induktion erfolgt gemäß des '''Ampereschen Gesetzes''':
{{Gln|<math>\bar{B}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math>|Ampersches Gesetz}}

Dies läuft völlig analog zur {{FB|Coulomb-Wechselwirkung}} in der Elektrostatik:

:<math>\begin{align}
& \bar{F}=q\bar{E}(\bar{r}) \\
& \bar{E}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho (\bar{r}\acute{\ })\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\
\end{align}</math>

Die Einheiten im SI- System lauten:

:<math>\left[ B \right]=\frac{1Ns}{Cm}=\frac{1kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}}\cdot \frac{s}{{{m}^{2}}}=1V\frac{s}{{{m}^{2}}}=1T</math>

Mit diesen Einheiten ist dann <math>{{\mu }_{0}}=1,26\cdot {{10}^{-6}}\frac{Vs}{Am}</math> festgelegt, wie die Dielektrizitätskonstante jedoch frei wählbar!!
Die magnetische Induktion beschreibt keine neue, von der Coulomb- Wechselwirkung unabhängige WW: Man betrachte dazu lediglich die Transformation auf das lokale Ruhesystem einer bewegten Ladung:

Im Gauß System:

:<math>\bar{F}=\frac{q}{c}\bar{v}\times \bar{B}(\bar{r})</math>

:<math>\begin{align}
& \bar{B}(\bar{r})=\frac{1}{c}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\
&  \\
\end{align}</math>



== Die Kraft zwischen 2 stromdurchflossenen Leitern: ==


Betrachten wir zwei infinit. dünne Leiter L, L´, die mit konstanten Strömen I und I´ durchflossen werden:

Der Strom durch L´:

:<math>\begin{align}
& \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{v}\acute{\ }=\frac{d}{dt}\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ } \\
& \frac{d}{dt}\rho {{d}^{3}}r\acute{\ }=I\acute{\ } \\
& \Rightarrow \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ } \\
\end{align}</math>

Somit folgt das {{FB|Biot-Savartsche Gesetz}} für unendlich lange Leiter L´:

Die magnetische Induktion ist gerade:
{{Gln|<math>\begin{align}
& \bar{B}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }I\acute{\ }\int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}d\bar{r}\acute{\ }\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\
&  \\
\end{align}</math>|Biot-Savart-Gesetz}}

Die Kraft auf eine Ladung im Volumenelement d³r  von L ist damit gerade:

:<math>d\bar{F}=\rho \bar{v}\times \bar{B}(\bar{r}){{d}^{3}}r=\bar{j}\times \bar{B}{{d}^{3}}r=Id\bar{r}\times \bar{B}</math>

Also:

:<math>\bar{F}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }II\acute{\ }\int_{L}^{{}}{{}}d\bar{r}\times \int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}d\bar{r}\acute{\ }\times \frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math>

Dies ist dann die gesamte Kraft von L´ auf L
mit

:<math>\begin{align}
& d\bar{r}\times \left( d\bar{r}\acute{\ }\times \left( \bar{r}-\bar{r} \right) \right)=\left( d\bar{r}\left( \bar{r}-\bar{r} \right) \right)d\bar{r}\acute{\ }-\left( d\bar{r}d\bar{r}\acute{\ } \right)\left( \bar{r}-\bar{r} \right) \\
& und \\
& \int_{L}^{{}}{{}}d\bar{r}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}=-\left. \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right|_{L-ANfang}^{L-Ende}=0 \\
\end{align}</math>

(Der Leiter ist entweder geschlossen oder die Enden liegen im Unendlichen) folgt:

:<math>\bar{F}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }II\acute{\ }\int_{L}^{{}}{{}}\int_{L\acute{\ }}^{{}}{{}}\left( d\bar{r}d\bar{r}\acute{\ } \right)\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}}</math>

für '''parallele''' Ströme <math>Id\bar{r}I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ }>0</math> folgt '''Anziehung'''

für '''antiparallele''' Ströme <math>Id\bar{r}I\acute{\ }d\bar{r}\acute{\ }<0</math> dagegen '''Abstoßung'''

Man sieht außerdem das dritte Newtonsche Gesetz:

:<math>\begin{align}
& \bar{r}\leftrightarrow \bar{r}\acute{\ } \\
& d\bar{r}\leftrightarrow d\bar{r}\acute{\ } \\
& I\leftrightarrow I\acute{\ } \\
\end{align}</math>

Somit:

:<math>\bar{F}\leftrightarrow -\bar{F}</math>
(actio gleich reactio)