Editing Klein Gordon und Relativität
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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=2|Prof= | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=2|Prof=Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | ||
<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT SCHLICKEISER (QMII BOCHUM), LEHRBUCH SCHWINGER (CLASSICAL ELECTRODYNAMICS)'''</FONT> | |||
Einstein (SRT): | Einstein (SRT): | ||
| Line 7: | Line 7: | ||
* gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen | * gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen | ||
* Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe | * Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe | ||
<u>Beispiel</u>: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left| r \right|=ct</math>zurück. | |||
{{NumBlk|:| | |||
<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0</math> | |||
(in S) | |RawN=.}} | |||
Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt | Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt | ||
{{NumBlk|:|<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0 | {{NumBlk|:| | ||
<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0</math> | |||
(in S‘) |(1.10)|RawN=.}} | |||
Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der {{FB|Lorentz-Transformation}} | Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der Lorentz-Transformation{{FB|Lorentz-Transformation}} | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\left( \begin{align} | |||
& {{x}'} \\ | & {{x}'} \\ | ||
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mit | mit | ||
<math>\beta =\frac{v}{c}\quad \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}</math> | |||
Daraus folgt (mit v | Daraus folgt (mit v -v) <font color="#FFFF00">'''''(CHECK)'''''</FONT> | ||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\left( \begin{align} | |||
& x \\ | & x \\ | ||
| Line 76: | Line 81: | ||
Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10) | Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10) | ||
<math>\begin{align} | |||
& \underline{{{{{x}'}}^{2}}-{{c}^{2}}{{{{t}'}}^{2}}}=\left( \begin{matrix} | & \underline{{{{{x}'}}^{2}}-{{c}^{2}}{{{{t}'}}^{2}}}=\left( \begin{matrix} | ||
| Line 144: | Line 149: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
* Unter Lorentz-Transformation bleibt <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}</math> invariant. | * Unter Lorentz-Transformation bleibt | ||
* Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges<math>\underline{r}</math>. | * <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}</math> | ||
* Insbesondere bleiben die {{FB|Lichtabstände}} <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0</math> invariant. | * invariant. | ||
** Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges<math>\underline{r}</math>. | |||
** Insbesondere bleiben die Lichtabstände{{FB|Lichtabstände}} | |||
** <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0</math> | |||
** invariant. | |||
<font color="#FFFF00">'''''Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT)'''''</font> | |||
Wellengleichung{{FB|Wellengleichung:skalares klassisches Feld}} für skalares klassisches Feld <math>\varphi \left( \underline{x},t \right)</math> | |||
{{NumBlk|:| | |||
{{ | <math>\text{in S: }\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-{{\nabla }^{2}} \right)}_{\square }\phi \left( \underline{x},t \right)=0\quad \quad \text{ in {S}': }\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{{{t}'}}^{2}-{{{{\nabla }'}}^{2}} \right)}_{{{\square }'}}\phi \left( {\underline{x}}',{t}' \right)=0</math> | ||
: |(1.13)|RawN=.}} | |||
mit <math>{{\nabla }^{2}}=\partial _{{{x}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{x}_{2}}}^{^{2}}+...\quad {{{\nabla }'}^{2}}=\partial _{{{{{x}'}}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{{{x}'}}_{2}}}^{^{2}}+...</math> und selben c. | mit <math>{{\nabla }^{2}}=\partial _{{{x}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{x}_{2}}}^{^{2}}+...\quad {{{\nabla }'}^{2}}=\partial _{{{{{x}'}}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{{{x}'}}_{2}}}^{^{2}}+...</math> und selben c. | ||
Zeige dass unter Lorentz-Transformation <math>\square </math>in <math>{\square }'</math>übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S. | Zeige dass unter Lorentz-Transformation <math>\square </math>in <math>{\square }'</math>übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S. | ||
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Hierzu | Hierzu | ||
<math>\begin{align} | |||
& {{\partial }_{x}}={{\partial }_{x}}\left( {{x}'} \right){{\partial }_{{{x}'}}}+{{\partial }_{x}}\left( {{t}'} \right){{\partial }_{{{t}'}}}=\gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \\ | & {{\partial }_{x}}={{\partial }_{x}}\left( {{x}'} \right){{\partial }_{{{x}'}}}+{{\partial }_{x}}\left( {{t}'} \right){{\partial }_{{{t}'}}}=\gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \\ | ||
| Line 177: | Line 188: | ||
* d’Alembert-Operator <math>\square ={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math>ist invariant unter LT | * d’Alembert-Operator <math>\square ={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math>ist invariant unter LT | ||
* Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT. | * Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT. | ||
<font color="#FFFF00">'''''Lösungen der Klein Gordon Gleichung'''''</font> | |||
Sind ebene Wellen{{FB|ebene Wellen:SRT}} (und deren Überlagerungen): | |||
Sind {{FB|ebene Wellen | |||
{{NumBlk|:| | {{NumBlk|:| | ||
<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{\mp \frac{\mathfrak{i} }{\hbar }\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}}}\,t+i\underline{p}.\underline{x}}}</math> | |||
: |(1.14)|RawN=.}} | : |(1.14)|RawN=.}} | ||
| Line 191: | Line 200: | ||
mit | mit | ||
<math>\begin{align} | |||
& -:\,\text{ negative Energie +}\sqrt{{}} \\ | & -:\,\text{ negative Energie +}\sqrt{{}} \\ | ||
| Line 198: | Line 207: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||