Editing Klein Gordon und Relativität

<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=1|Abschnitt=2|Prof=Prof. Dr. T. Brandes|Thema=Quantenmechanik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>



Einstein (SRT):

* gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen
* Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe


{{Beispiel|1=[[Datei:Koordinatensysteme.svg|miniatur| Geschwindigkeit v parallel zu x]]
<u>Beispiel</u>: 	Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz <math>\left| r \right|=ct</math> zurück.
{{NumBlk|:|<math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0\quad</math>|(1.9) |RawN=.|extra=(in S)}}
Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt

{{NumBlk|:|<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0\quad</math>|(1.10)|RawN=.|extra=(in S‘)}}
}}


Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der {{FB|Lorentz-Transformation}}

{{NumBlk|:|	

:<math>\left( \begin{align}

& {{x}'} \\

& c{t}' \\

\end{align} \right)=\gamma \left( \begin{matrix}

1 & -\beta   \\

-\beta  & 1  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& x \\

& ct \\

\end{align} \right)</math>

:	|(1.11)|RawN=.}}

mit

:<math>\beta =\frac{v}{c}\quad \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}</math>

Daraus folgt (mit v &rarr; -v) <font color="#3399FF">'''''(CHECK)'''''</FONT>

{{NumBlk|:|	

:<math>\left( \begin{align}

& x \\

& ct \\

\end{align} \right)=\gamma \left( \begin{matrix}

1 & \beta   \\

\beta  & 1  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& {{x}'} \\

& c{t}' \\

\end{align} \right)</math>

:	|(1.12)|RawN=.}}

Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10)

:<math>\begin{align}

& \underline{{{{{x}'}}^{2}}-{{c}^{2}}{{{{t}'}}^{2}}}=\left( \begin{matrix}

{{x}'} & c{t}'  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

1 & 0  \\

0 & -1  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& {{x}'} \\

& c{t}' \\

\end{align} \right)={{\gamma }^{2}}\left( \begin{matrix}

x & ct  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

1 & -\beta   \\

-\beta  & 1  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

1 & 0  \\

0 & -1  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

1 & -\beta   \\

-\beta  & 1  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& x \\

& ct \\

\end{align} \right) \\

& ={{\gamma }^{2}}\left( \begin{matrix}

x & ct  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}

1-{{\beta }^{2}} & 0  \\

0 & -1+{{\beta }^{2}}  \\

\end{matrix} \right)\left( \begin{align}

& x \\

& ct \\

\end{align} \right)=\underline{{{x}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}}

\end{align}</math>

* Unter Lorentz-Transformation bleibt <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}</math> invariant.
* Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges<math>\underline{r}</math>.
* Insbesondere bleiben die {{FB|Lichtabstände}} <math>{{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0</math> invariant.

== Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT) ==


{{FB|Wellengleichung|skalares klassisches Feld}} für skalares klassisches Feld <math>\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>

{{NumBlk|:|	

in S:<math>\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-{{\nabla }^{2}} \right)}_{\square }\phi \left( \underline{x},t \right)=0</math> in S':<math>\quad \quad \underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{{{t}'}}^{2}-{{{{\nabla }'}}^{2}} \right)}_{{{\square }'}}\phi \left( {\underline{x}}',{t}' \right)=0</math>|(1.13)|RawN=.}}

mit <math>{{\nabla }^{2}}=\partial _{{{x}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{x}_{2}}}^{^{2}}+...\quad {{{\nabla }'}^{2}}=\partial _{{{{{x}'}}_{1}}}^{^{2}}+\partial _{{{{{x}'}}_{2}}}^{^{2}}+...</math> und selben c.

Zeige dass unter Lorentz-Transformation <math>\square </math>in <math>{\square }'</math>übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S.

Hierzu

:<math>\begin{align}

& {{\partial }_{x}}={{\partial }_{x}}\left( {{x}'} \right){{\partial }_{{{x}'}}}+{{\partial }_{x}}\left( {{t}'} \right){{\partial }_{{{t}'}}}=\gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \\

& \partial _{x}^{2}={{\partial }_{x}}{{\partial }_{x}}=\left\{ \gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \right\}\left\{ \gamma \,{{\partial }_{{{x}'}}}-\frac{\gamma \beta }{c}{{\partial }_{{{t}'}}} \right\} \\

& \partial _{t}^{2}\,\text{analog} \\

\end{align}</math>

AUFGABE

* d’Alembert-Operator <math>\square ={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math>ist invariant unter LT
* Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT.

== Lösungen der Klein Gordon Gleichung ==


Sind {{FB|ebene Wellen|SRT}} (und deren Überlagerungen):

{{NumBlk|:|	

:<math>\Psi \left( \underline{x},t \right)={{e}^{\mp \frac{\mathfrak{i} }{\hbar }\sqrt{{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}}}\,t+i\underline{p}.\underline{x}}}</math>

:	|(1.14)|RawN=.}}

mit

:<math>\begin{align}

& -:\,\text{ negative Energie +}\sqrt{{}} \\

& +:\,\text{ postivive Energie -}\sqrt{{}} \\

\end{align}</math>

==Literatur==
<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: SKRIPT SCHLICKEISER (QMII BOCHUM), LEHRBUCH SCHWINGER (CLASSICAL ELECTRODYNAMICS)'''</FONT>


<references />
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