Editing Generalisierte Koordinaten

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|1|4}}</noinclude>

Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen


:<math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r}}_{3}}(t),...{{\vec{r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f\ddot{u}r\ alle\ t</math>


gekoppelte Koordinaten vor (die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).

Somit können die Punktkoordinaten


:<math>\left\{ {{{\vec{r}}}_{1}}(t),{{{\vec{r}}}_{2}}(t),{{{\vec{r}}}_{3}}(t),...{{{\vec{r}}}_{N}}(t) \right\}</math>
nicht unabhängig voneinander variiert werden.

<u>'''Ziel:'''</u>

*Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren: <math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
*Anschließend können Bewegungsgleichungen für die <math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math> aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.

Wesentlich: Die
:<math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
sind FREI variierbar! Wegen


:<math>{{\vec{r}}_{i}}={{\vec{r}}_{i}}\left( {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right)\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.

{{Beispiel|'''Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene:'''


:<math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>



Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem
:<math>\bar{e}{{\acute{\ }}_{1}},\bar{e}{{\acute{\ }}_{2}}</math>


Für den Radiusvektor existiert dann eine Verallgemeinerung:


:<math>\bar{r}={{\bar{r}}_{o}}(t)+{{q}_{1}}\bar{e}{{\acute{\ }}_{1}}+{{q}_{2}}\bar{e}{{\acute{\ }}_{2}}</math>


Somit existiert eine injektive Abbildung der Koordinaten und wir können als generalisierte Koordinaten bestimmen:


:<math>\left\{ {{q}_{1}},{{q}_{2}} \right\} ,   f=2</math>
}}
{{Beispiel|'''Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:'''

:<math>\begin{align}
  & \bar{r}=R(\cos \phi {{{\bar{e}}}_{1}}+\sin \phi {{{\bar{e}}}_{2}}) \\
 & q=\phi  \\
 & f=1 \\
\end{align}</math>
}}

'''Virtuelle Verrückungen'''

müssen nun auch in den generalisierten Koordinaten ausgedrückt werden, also:


:<math>\delta {{\bar{r}}_{i}}</math>
wird ausgedrückt durch
:<math>\delta {{q}_{1}},...,\delta qf</math>




Betrachten wir eine reale Verrückung (in der Zeit), so gilt:


:<math>{{\vec{v}}_{i}}=\frac{d}{dt}{{\bar{r}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}</math>


Daraus ergibt sich jedoch die Gleichung:


:<math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\left[ \sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right]}_{{}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>


Mit diesen Gleichung kann die {{FB|Virtuelle Arbeit}} der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:


:<math>\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{j}{\left\{ \sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}} \right\}\delta q_{j}^{{}}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{Q}_{j}}\delta }q_{j}^{{}}</math>


Somit kann man als Ausdruck für die verallgemeinerte Kraft angeben:


:<math>{{Q}_{j}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}</math>


Sind die eingeprägten Kräfte '''konservativ''':


:<math>{{\vec{X}}_{i}}=-{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}},...,{{\bar{r}}_{N}})</math>


So folgt:


:<math>-\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}=-\sum\limits_{i}^{{}}{{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},...,{{{\bar{r}}}_{N}})\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}</math>


Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein '''Potenzial''', natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte!