Editing Elektrische Multipolentwicklung

<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|4}}</noinclude>
Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen <math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math> in der Nähe des Ursprungs <math>\bar{r}\acute{\ }=0</math>,  so kann man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten  von
:<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}{{d}^{3}}r\acute{\ }</math>
für <math>r\to \infty </math> machen:
{{Methode|Methode: Der Integrand wird als Taylorreihe entwickelt für <math>r>>r\acute{\ }</math>:}}

:<math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{l}}}{l!}{{\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r}} \right)}^{l}}G(\bar{r})</math>

Also

:<math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{l}}}{l!}\int_{{}}^{{}}{d_{^{{}}}^{3}r\acute{\ }}{{\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r}} \right)}^{l}}G(\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>

explizit für unsere Situation:

:<math>G(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}|}</math>

:<math>\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}={{\left( {{r}^{2}}-2rr\acute{\ }\cos \vartheta +r{{\acute{\ }}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{r}{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\cos \vartheta +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>

Wobei <math>\vartheta </math> den Winkel zwischen <math>\bar{r}</math> und <math>\bar{r}\acute{\ }</math> bezeichnet.
Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für <math>r\acute{\ }<r</math> und <math>\left| \cos \vartheta  \right|=\left| \xi  \right|<1</math> konvergiert, so definiert diese Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen ({{FB|Legendre-Polynome}}):
:<math>{{P}_{l}}(\xi )</math>

:<math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}{{P}_{l}}(\xi )</math>

Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer Potenzreihe (Taylorreihe) multipliziert mit <math>{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}</math> in jeweils l-ter Ordnung die Funktion
:<math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>
zu ergeben, die wiederum das r- Fache von
:<math>\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=\frac{1}{r}{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\cos \vartheta +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math> ist.

Also:

:<math>{{P}_{l}}(\xi )=\frac{1}{l!}\left( \frac{{{\partial }^{l}}}{\partial {{t}^{l}}}{{\left( 1-2t\xi +{{t}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right)</math>

Insbesondere folgt damit:

:<math>{{P}_{l}}(\xi )=\frac{1}{l!}\left( \frac{{{\partial }^{l}}}{\partial {{t}^{l}}}{{\left( 1-2t\xi +{{t}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right)</math>

und speziell:

:<math>\begin{align}
& {{P}_{0}}(\xi )=1 \\
& {{P}_{1}}(\xi )=\xi =\cos \vartheta  \\
& {{P}_{2}}(\xi )=\frac{1}{2}\left( 3{{\xi }^{2}}-1 \right)==\frac{1}{4}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta +1 \right) \\
\end{align}</math>

Also:

:<math>\Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{r}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}{{P}_{l}}(\cos \vartheta )=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{Q}_{l}}{{r}^{-l-1}}</math>

Mit

:<math>{{Q}_{l}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }r{{\acute{\ }}^{l}}\rho (\bar{r}\acute{\ }){{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math>
als 2<sup>l</sup>- Pol
Die Multipolentwicklung (Entwicklung nach 2<sup>l</sup>- Polen) entspricht also einer Entwicklung ach Potenzen von r!!

Für stark lokalisierte Ladungsverteilungen (r´<<r) konvergiert die Reihe jedoch sehr schnell!
Man erhält sehr schnelle Konvergenz für dezentrale Ladungsverteilungen, wenn man für
* Punktladungen bis zum Monopol entwickelt
* Ladungsverteilungen entlang einer Geraden bis zum Dipol entwickelt
* Ladungsverteilungen in einem Rechteck bis zum Quadrupol entwickelt usw...

:<math>l=0</math>
:

:<math>{{\Phi }^{(0)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{0}}}{r}</math>

:<math>{{Q}_{0}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
sogenannter {{FB|Monopol}} (die Gesamtladung).
Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab, die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung

'''l=1:'''

:<math>{{\Phi }^{(1)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\bar{p}\cdot \bar{r}}{{{r}^{3}}}</math>

:<math>{{Q}_{1}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })r\acute{\ }\cos \vartheta =\frac{\bar{p}\cdot \bar{r}}{r}</math>

Mit dem {{FB|Dipolmoment}}

:<math>\bar{p}:=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }</math>

Das Dipolpotenzial fällt also <math>\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{2}}}</math> ab.
Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper (<math>{{Q}_{0}}=0</math>).

{{Beispiel:'''Beispiel: 2 Punktladungen q, -q ''' bei<math>{{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}}</math>:

:<math>\begin{align}
& \rho (\bar{r}\acute{\ })=q\left[ \delta \left( \bar{r}\acute{\ }-{{{\bar{r}}}_{1}} \right)-\delta \left( \bar{r}\acute{\ }-{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right] \\
& {{Q}_{0}}=0 \\
& \bar{p}=q\left( {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right)=q\cdot \bar{a} \\
\end{align}</math>

'''Feld des Dipolpotenzials:'''

:<math>{{E}_{i}}=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\frac{{{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{{{r}^{3}}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ \frac{3{{x}_{i}}\cdot {{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{r5}-{{\delta }_{ik}}\frac{{{p}_{k}}}{{{r}^{3}}} \right]</math>

:<math>\Rightarrow E(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)\bar{r}-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math>

Im Fernfeld für r gegen unendlich gilt damit:

:<math>\Rightarrow E(\bar{r})\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{3}}}</math>}}

'''l=2:'''

:<math>{{\Phi }^{(2)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{2}}}{{{r}^{3}}}</math>

:<math>\begin{align}
& {{Q}_{2}}=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })r{{\acute{\ }}^{2}}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}} \right) \\
& \frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}=\frac{{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{k}}{{x}_{l}}\acute{\ }{{x}_{l}}}{{{r}^{2}}} \\
& \Rightarrow {{Q}_{2}}=\frac{1}{2{{r}^{2}}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{l}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{kl}} \right) \\
\end{align}</math>

Dieses Objekt ist jedoch ein Tensor zweiter Stufe. Demnach erhalten wir einen Tenor zweiter Stufe als {{FB|Quadrupolmoment}}:

:<math>\begin{align}
& {{Q}_{2}}=\frac{1}{2{{r}^{2}}}{{Q}_{kl}} \\
& \int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{l}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{kl}} \right)={{Q}_{kl}} \\
\end{align}</math>

:<math>{{Q}_{kl}}</math>
ist ein spurfreier und symmetrischer Tensor:

:<math>\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{Q}_{ii}}=\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{i}}\acute{\ }{{x}_{i}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{ii}} \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}-3\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}} \right)=0</math>

Dies ist jedoch gerade damit gleichbedeutend, dass eine orthogonale Transformation auf Diagonalform existiert:

:<math>\begin{align}
& {{Q}_{kl}}=0f\ddot{u}r\quad k\ne l \\
& {{Q}_{11}}+{{Q}_{22}}+{{Q}_{33}}=0 \\
\end{align}</math>

Somit existieren nur noch 2 unabhängige Komponenten des Quadrupolmoments. Der Rest ergibt sich durch die Spurfreiheit!

Für das Potenzial ergibt sich:

:<math>{{\Phi }^{(2)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{2{{r}^{5}}}{{Q}_{kl}}{{x}_{k}}{{x}_{l}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\bar{r}\cdot \bar{\bar{Q}}\cdot \bar{r}}{2{{r}^{5}}}\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{3}}}</math>

{{Beispiel|<u>Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole:</u>}}
<noinclude>__SHOWFACTBOX__</noinclude>