Editing Eichtransformation der Lagrangefunktion

<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|2|3}}</noinclude>
==Uneindeutigkeit der Lagrangefunktion==
Die Lagarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt.

Betrachten wir beispielsweise ein geladenes Teilchen im '''elektrischen''' Feld:


:<math>\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right)=\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right)</math>


e sei die Ladung

Bewegungsgleichung:


:<math>m\frac{{{d}^{2}}^{{}}}{d{{t}^{2}}}\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right)=m\ddot{\bar{q}}=e\bar{E}(\bar{q},t)+e\dot{\bar{q}}\times \bar{B}(\bar{q},t)</math>


Die {{FB|Lorentzkraft}} ist typischerweise '''nicht konservativ'''

Die Darstellung des elektrischen und magnetischen Feldes erfolgt über die Potenziale:


:<math>\begin{align}
  & \bar{E}(\bar{q},t)=-\nabla \Phi (\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}(\bar{q},t) \\
 & \bar{B}(\bar{q},t)=\nabla \times \bar{A}(\bar{q},t) \\
\end{align}</math>


Dabei ist <math>\Phi</math> Skalar und A ein Vektorpotenzial (MKSA- System)

'''Ziel''': Suche eine Lagrangefunktion <math>L(q,\dot{q},t)=T-V</math>  in der Art, dass <math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0</math>


Die Bewegungsgleichung
:<math>m\frac{{{d}^{2}}^{{}}}{d{{t}^{2}}}\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right)=m\ddot{\bar{q}}=e\bar{E}(\bar{q},t)+e\dot{\bar{q}}\times \bar{B}(\bar{q},t)</math>
ergeben.

Ansatz:


:<math>L(q,\dot{q},t)=\frac{m}{2}{{\dot{\bar{q}}}^{2}}+e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}(\bar{q},t)-\Phi (\bar{q},t) \right)</math>


Probe:


:<math>\begin{align}
  & \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\dot{q}}}_{k}}+e{{A}_{k}} \\
 & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\frac{d}{dt}{{A}_{k}}(\bar{q}(t),t) \\
 & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}+\sum\limits_{l}{\frac{\partial {{A}_{k}}}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}} \right) \\
 & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}+\left( \dot{\bar{q}}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}} \right) \\
\end{align}</math>


Weiter:


:<math>\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=e\left[ \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\Phi  \right]</math>


Somit:


:<math>\begin{align}
  & 0=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}+\left( \dot{\bar{q}}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}} \right)-e\left[ \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A} \right)-\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\Phi  \right] \\
 & =m{{{\ddot{q}}}_{k}}+e\left( \frac{\partial }{\partial t}{{A}_{k}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\Phi  \right)+e\left[ -\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \dot{\bar{q}}\cdot \bar{A} \right)+\left( \dot{\bar{q}}\cdot \nabla  \right){{A}_{k}} \right] \\
 & =m{{{\ddot{q}}}_{k}}-e{{E}_{k}}-{{\left[ e\dot{\bar{q}}\times \left( \nabla \times \bar{A} \right) \right]}_{k}} \\
 & =m{{{\ddot{q}}}_{k}}-e{{E}_{k}}-{{\left[ e\dot{\bar{q}}\times \bar{B} \right]}_{k}} \\
\end{align}</math>


Somit erfüllt unser Ansatz die Bewegungsgleichungen

== Eichtransformationen ==


Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der {{FB|Eichfunktion}}
:<math>\chi </math>:


:<math>\begin{align}
  & \bar{A}(\bar{q},t)\to \bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)=\bar{A}(\bar{q},t)+\nabla \chi (\bar{q},t) \\
 & \Phi (\bar{q},t)\to \Phi \acute{\ }(\bar{q},t)=\Phi (\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\chi (\bar{q},t) \\
\end{align}</math>


Durch Einsetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern:


:<math>\begin{align}
  & \bar{E}\acute{\ }(\bar{q},t)=-\nabla \Phi \acute{\ }(\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)=-\nabla \left( \Phi (\bar{q},t)-\frac{\partial }{\partial t}\chi (\bar{q},t) \right)-\frac{\partial }{\partial t}\left( \bar{A}(\bar{q},t)+\nabla \chi (\bar{q},t) \right)=\bar{E}(\bar{q},t) \\
 & \bar{B}\acute{\ }(\bar{q},t)=\nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)=\nabla \times \left( \bar{A}(\bar{q},t)+\nabla \chi (\bar{q},t) \right)=\bar{B}(\bar{q},t) \\
\end{align}</math>


Betrachten wir die Lagrangefunktion, so ergibt sich:


:<math>\begin{align}
  & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=\frac{m}{2}{{{\dot{\bar{q}}}}^{2}}+e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}\acute{\ }(\bar{q},t)-\Phi \acute{\ }(\bar{q},t) \right) \\
 & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=\frac{m}{2}{{{\dot{\bar{q}}}}^{2}}+e\left( \dot{\bar{q}}\bar{A}(\bar{q},t)+\dot{\bar{q}}\cdot \nabla \chi -\Phi (\bar{q},t)+\dot{\chi } \right) \\
 & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+e\left( \dot{\chi }+\dot{\bar{q}}\cdot \nabla \chi  \right)\acute{\ }=L+\frac{d}{dt}\left( e\chi (\bar{q},t) \right) \\
\end{align}</math>


Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L.

{{Def|Die Eichtransformation
:<math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math>
mit einer beliebigen Eichfunktion M (skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.|Eichtransformation}}

Allgemein gilt:

Sei <math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math> beliebig und
:<math>\begin{align}
  & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\left( \dot{M}+\dot{\bar{q}}\cdot \nabla M \right)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right) \\
 & L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \\
\end{align}</math>


dann erfüllen die


:<math>\left\{ {{q}_{k}}(t) \right\}</math>
 das hamiltonsche Prinzip

Also:


:<math>\delta \int{L\acute{\ }dt=0\Leftrightarrow \delta \int{Ldt=0}}</math>


Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art
:<math>L(q,\dot{q},t)\to L\acute{\ }(q,\dot{q},t)=L+\frac{d}{dt}\left( M(\bar{q},t) \right)</math> mit <math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math>
beliebig.

'''Beweis:'''
:<math>\begin{align}
  & \frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right) \\
 & =\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\frac{dM}{dt}-\frac{d}{dt}\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \\
\end{align}</math> mit <math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \sum\limits_{l=1}^{f}{\frac{\partial M}{\partial {{q}_{l}}}{{{\dot{q}}}_{l}}+\frac{\partial M}{\partial t}} \right)=\frac{\partial M}{\partial {{q}_{k}}}</math>


Einzige Nebenbedingung:


:<math>M(\bar{q},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}</math>
darf nicht explizit von
:<math>{{\dot{q}}_{k}}</math>
abhängen.

{{Beispiel|'''Beispiel: eindimensionaler Oszi'''


:<math>L=T-V=\frac{m}{2}{{\dot{q}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}</math>


Beispielhafte Eichfunktion:
:<math>M(q):=\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}{{q}^{2}}\Rightarrow \frac{dM}{dt}=m{{\omega }^{2}}q\dot{q}</math>



:<math>L\acute{\ }=\frac{m}{2}{{\dot{q}}^{2}}-\frac{m{{\omega }^{2}}}{2}\left( {{q}^{2}}-2q\dot{q} \right)</math>


Die Lagrangegleichungen lauten:
:<math>\begin{align}
  & \frac{d}{dt}\frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{{\dot{q}}}_{{}}}}=m\ddot{q}+m{{\omega }^{2}}\dot{q} \\
 & \frac{\partial L\acute{\ }}{\partial {{q}_{k}}}=-m{{\omega }^{2}}q+m{{\omega }^{2}}\dot{q} \\
\end{align}</math>


Es folgt als Bewegungsgleichung
:<math>\ddot{q}+{{\omega }^{2}}q=0</math>}}