Editing
Dynamik im Schrödinger- Heisenberg- und Wechselwirkungsbild
Jump to navigation
Jump to search
Warning:
You are not logged in. Your IP address will be publicly visible if you make any edits. If you
log in
or
create an account
, your edits will be attributed to your username, along with other benefits.
Anti-spam check. Do
not
fill this in!
<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|2|5}}</noinclude> Betrachte die zeitabhängigen Zustände<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> Die zeitabhängige Schrödingergleichung kann formal gelöst werden: :<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math> Definition des Operators U geschieht über eine Potenzreihe: :<math>U(t,0)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H}t \right)}^{n}}</math> Zeitentwicklungsoperator Setzt man dies in die Schrödingergelichung ein, so folgt: :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{\hat{H}}^{n}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}=\hat{H}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{{}}\frac{1}{n-1!}{{\left( -\frac{i}{\hbar }t \right)}^{n-1}}{{\hat{H}}^{n-1}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math> Da H hermitesch ist, muss U(t,0) ein unitärer Operator sein! Klar: <math>\begin{align} & {{H}^{+}}=H \\ & \Rightarrow {{U}^{+}}=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{n!}{{\left( \frac{i}{\hbar }t \right)}^{n}}{{{\hat{H}}}^{n}}\Rightarrow {{U}^{+}}U=1 \\ \end{align}</math> Die adjungierte Schrödingergleichung lautet: :<math>{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{H}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}</math> Mit der formalen Lösung: :<math>{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0)</math> Der Erwartungswert eines Operators, der auch explizit zeitabhängig sein kann, z.B. über <math>\bar{A}(t)</math> ergibt sich für :<math>\hat{F}=\hat{F}\left( \hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}},t \right)</math> : :<math>\left\langle {\hat{F}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> :<math>\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\frac{d}{dt}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+\left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}} \right)\frac{d}{dt}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}\left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right) \\ & \left( \frac{\partial }{\partial t}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}} \right)=-\frac{1}{i\hbar }{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{H} \\ & \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ \end{align}</math> '''Also:''' :<math>\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\frac{d}{dt}{{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\hat{F}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> Ein nicht explizit zeitabhängiger Operator ist grundsätzlich zeitlich konstant, wenn er mit dem Hamiltonoperator vertauscht. Für einen nicht explizit zeitabhängigen Operator gilt folglich: :<math>\left[ \hat{H},\hat{F} \right]=0\Rightarrow \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =0</math> <u>'''Klassisches Analogon: Poisson- Klammern'''</u> in der klassischen Mechanik finden wir analog die Poissonklammern: Sei <math>F(\bar{q},\bar{p},t)</math> eine klassische Observable und <math>H(\bar{q},\bar{p})</math> die klassische Hamiltonfunktion, so gilt: :<math>\begin{align} & \frac{d}{dt}F(\bar{q},\bar{p},t)=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\sum\limits_{i=1}^{3}{\left( \frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{q}_{i}}}{{{\dot{q}}}_{i}}+\frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{p}_{i}}}{{{\dot{p}}}_{i}} \right)} \\ & \frac{d}{dt}F(\bar{q},\bar{p},t)=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\sum\limits_{i=1}^{3}{\left( \frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{q}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{p}_{i}}}-\frac{\partial F(\bar{q},\bar{p},t)}{\partial {{p}_{i}}}\frac{\partial H}{\partial {{q}_{i}}} \right)}=\frac{\partial }{\partial t}F(\bar{q},\bar{p},t)+\left\{ H,F \right\} \\ \end{align}</math> '''Also gilt in der Quantenmechanik die anschauliche Relation:''' :<math>\left\{ H,F \right\}\to \frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]</math> Definiere: Observable " zeitliche Veränderung von <math>F(\bar{q},\bar{p},t)</math> " als Operator: :<math>\hat{F}{}^\circ =\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}+\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{F} \right]</math> '''Fundamentalbeziehung '''der Dynamik der Quantentheorie, aber keine Differenzialgleichung für <math>\hat{F}</math>, da im Allgemeinen: :<math>\hat{F}{}^\circ \ne \frac{d\hat{F}}{dt}</math> Der Operator der zeitlichen Veränderung ist lediglich über seinen Erwartungswert definiert: :<math>\left\langle \hat{F}{}^\circ \right\rangle =\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{F}} \right\rangle </math> '''Speziell gilt, '''analog zu den klassischen Hamiltonschen Gleichungen: :<math>\begin{align} & \hat{\bar{r}}{}^\circ =\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{r}} \right] \\ & \hat{\bar{p}}{}^\circ =\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},\hat{\bar{p}} \right] \\ \end{align}</math> Merke dazu (Ehrenfest- Theorem): :<math>\begin{align} & {{\partial }_{t}}\hat{\bar{r}}=0 \\ & {{\partial }_{t}}\hat{\bar{p}}=0 \\ \end{align}</math> → die partiellen Zeitableitungen verschwinden. Die Operatoren für Ort und Impuls sind nicht explizit zeitabhängig! Mit der Allgemeinen Hamiltonfunktion für ein Potenzial, nämlich :<math>\hat{H}=\frac{{{{\hat{\bar{p}}}}^{2}}}{2m}+V(\hat{\bar{r}})</math> folgt: :<math>\begin{align} & \left[ \hat{H},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{p}}}_{k}}} \\ & \left[ \hat{H},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=-\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{x}}}_{k}}} \\ \end{align}</math> Also: :<math>\begin{align} & \hat{\bar{r}}{}^\circ =\frac{{\hat{\bar{p}}}}{m} \\ & \hat{\bar{p}}{}^\circ =-\nabla V\left( {\hat{\bar{r}}} \right) \\ \end{align}</math> Denn: :<math>\begin{align} & \left[ \hat{H},{{{\hat{x}}}_{k}} \right]=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{p}}}_{k}}}=\frac{\hbar }{i}{{{\hat{x}}}_{k}}^{\circ }\Rightarrow {{{\hat{x}}}^{\circ }}=\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{p}}=\frac{{\hat{p}}}{m} \\ & \left[ \hat{H},{{{\hat{p}}}_{k}} \right]=-\frac{\hbar }{i}\frac{\partial \hat{H}}{\partial {{{\hat{x}}}_{k}}}\Rightarrow {{{\hat{p}}}^{\circ }}=-\frac{\partial \hat{H}}{\partial \hat{x}}=-\nabla V\left( {\hat{x}} \right) \\ \end{align}</math> Merke: :<math>\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{\bar{r}}}}^{{}^\circ }} \right\rangle \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{\bar{p}}}}^{{}^\circ }} \right\rangle \\ \end{align}</math> Woraus das Ehrenfestsche Theorem folgt: :<math>\begin{align} & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =\frac{1}{m}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle \\ & \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =-\left\langle \nabla V\left( {\hat{\bar{r}}} \right) \right\rangle \\ \end{align}</math> da ja: <math>\begin{align} & {{\partial }_{t}}\hat{\bar{r}}=0 \\ & {{\partial }_{t}}\hat{\bar{p}}=0 \\ \end{align}</math> das heißt, die Erwartungswerte quantenmechanischer Observablen gehorchen den klassischen Bewegungsgleichungen ====Bilder==== Da die Erwartungswerte invariant bei unitären Transformationen U sind, sind Operatoren und Zustände nur bis auf UNITÄR- ÄQUIVALENZ festgelegt: :<math>\begin{align} & \left| \Psi \right\rangle \to \left| \Psi \acute{\ } \right\rangle =U\left| \Psi \right\rangle \\ & \hat{F}\to \hat{F}\acute{\ }=U\hat{F}{{U}^{+}} \\ \end{align}</math> Für verschiedene, zeitabhängige U erhält man sogenannte verschiedene "Bilder": Im Folgenden gelte <math>\frac{\partial \hat{F}}{\partial t}=0</math>, also keine explizite Zeitabhängigkeit! Merke: Hat man ein Bild gefunden, so kann man die Zustände und Operatoren durch eine beliebige unitäre Trafo "verdrehen" und man hat ein neues Bild! =====Schrödingerbild:===== Operatoren <math>{{\hat{F}}_{S}}(\hat{\bar{r}},\hat{\bar{p}})</math> zeitunabhängig Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math> zeitunabhängig Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>\left| \Psi \right\rangle </math> zeitabhängig (Die Zeitabhängigkeit wird dabei durch die Schrödingergleichung beschrieben): :<math>i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\hat{H}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math> Veranschaulichung im <math>{{R}^{2}}</math> : Unitäre Transformationen, wie die Zeitentwicklung, sind IMMER Drehungen im Hilbertraum! Im Schrödingerbild werden somit die Zustände im Hilbertraum durch unitäre Transformationen gedreht! Im <math>{{R}^{2}}</math> entspricht <math>{{\hat{F}}_{S}}</math> einer 2x2- Matrix, definiert eine symmetrische, quadratische Form. (Übungsaufgabe!) Die Eigenvektoren des Systems sind Hauptachsen und die Zeitentwicklung des Zustandes folgt: :<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math> =====Das Heisenbergbild===== :<math>\begin{align} & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{0}}{{U}^{+}}(t,0){{{\hat{F}}}_{S}}U(t,0){{\left| \Psi \right\rangle }_{0}} \\ & {{U}^{+}}(t,0){{{\hat{F}}}_{S}}U(t,0)={{{\hat{F}}}_{H}}(t) \\ \end{align}</math> In diesem Bild sind die Operatoren <math>{{\hat{F}}_{H}}(t)</math> zeitabhängig und damit Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math> zeitabhängig Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>\left| \Psi \right\rangle ={{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}</math> zeitunabhängig: Veranschaulichung im <math>{{R}^{2}}</math> : Im Heisenbergbild werden folglich die Operatoren und ihre Eigenvektoren (zwangsläufig) unter unitären Transformationen im Hilbertraum verdreht (als Zeitentwicklung). Aus :<math>{{\hat{F}}_{H}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}</math> folgt: :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\hat{H}{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}+{{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}{{\hat{F}}_{S}}\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H} \right){{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}t}}</math> Also: :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math> (Operatoren im Heisenbergbild gehorchen der Von- Neumann- Bewegungsgleichung) Somit folgt für das Heisenbergbild: :<math>\hat{F}{{{}^\circ }_{H}}=\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{H}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ \hat{H},{{{\hat{F}}}_{H}} \right]</math> Insbesondere gilt: :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{H}}=0</math> also die bildunabhängige Darstellung :<math>{{\hat{H}}_{H}}={{\hat{H}}_{S}}=\hat{H}</math> Merke: Der Hamiltonian ist grundsätzlich bildunabhängig. =====Wechselwirkungsbild===== Sei <math>\hat{H}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math> mit dem ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math> und der Störung <math>{{\hat{H}}^{1}}</math>. Es gilt die Zeitentwicklung des Operators F für das Wechselwirkungsbild: :<math>{{\hat{F}}_{W}}(t)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\hat{F}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}</math> Somit gilt wieder die Relation :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]</math> Also: :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}^{0}}=0</math> Somit ist auch hier der ungestörte Hamiltonian <math>{{\hat{H}}^{0}}={{\hat{H}}_{S}}={{\hat{H}}_{H}}</math> bildunabhängig. Aber: :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{H}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}_{W}} \right]=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{H}}}^{1}} \right]\ne 0</math> im Allgemeinen :<math>\begin{align} & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ & {{\left\langle \Psi \right|}_{t}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{\left\langle \Psi \right|}_{W}} \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{F}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{F}}}_{W}}(t) \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{0}}={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ & \left\langle {{{\hat{F}}}_{S}} \right\rangle ={{\left\langle \Psi \right|}_{W}}{{{\hat{F}}}_{W}}(t){{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ \end{align}</math> Bemerkung: Die Erwartungswertbildung formal gilt natürlich für alle Bilder. :<math>\begin{align} & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}+{{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}\frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\ & \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }\left( -{{{\hat{H}}}^{0}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}+{{{\hat{H}}}_{W}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \right) \\ & wegen \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{{\hat{H}}}_{S}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}={{{\hat{H}}}_{W}} \\ & {{e}^{+\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{0}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ \end{align}</math> Aber: :<math>{{\hat{H}}_{W}}={{\hat{H}}^{0}}+{{\hat{H}}^{1}}</math> :<math>\begin{align} & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ & \Rightarrow \frac{d}{dt}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}=\frac{1}{i\hbar }{{{\hat{H}}}_{W}}^{1}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}} \\ \end{align}</math> :<math>\frac{d}{dt}{{\hat{F}}_{W}}(t)=\frac{i}{\hbar }\left[ {{{\hat{H}}}^{0}},{{{\hat{F}}}_{W}} \right]</math> Merke: Die Zeitentwicklung der Zustände erfolgt hier über den Störoperator im Hamiltonian: :<math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( t \right)={{e}^{\frac{i}{\hbar }{{{\hat{H}}}^{1}}t}}{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}\left( 0 \right)</math> Zur Verdeutlichung des Wechselwirkungsbildes soll auch der Hamiltonoperator einen Index erhalten. Dies bedeutet: Operatoren, Eigenvektoren und allgemeine Zustände sind zeitabhängig. Operatoren <math>{{\hat{F}}_{W}}(t)</math> zeitabhängig, Abhängigkeit gegeben durch ungestörten Hamiltonoperator <math>{{\hat{H}}^{0}}</math> und damit Eigenvektoren <math>\left| n \right\rangle </math> zeitabhängig, ebenso durch den ungestörten Hamiltonian Aber: Allgemeine Zustände, Zustandsvektoren: <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{W}}</math> zeitabhängig mit gegebener Zeitentwicklung durch den Störoperator <math>{{\hat{H}}_{W}}^{1}</math>.
Summary:
Please note that all contributions to testwiki are considered to be released under the Creative Commons Attribution (see
Testwiki:Copyrights
for details). If you do not want your writing to be edited mercilessly and redistributed at will, then do not submit it here.
You are also promising us that you wrote this yourself, or copied it from a public domain or similar free resource.
Do not submit copyrighted work without permission!
Cancel
Editing help
(opens in new window)
Templates used on this page:
Template:ScriptProf
(
edit
)
Template:Scripthinweis
(
edit
)
Template:Scriptnav
(
edit
)
Navigation menu
Personal tools
Not logged in
Talk
Contributions
Log in
Namespaces
Page
Discussion
English
Views
Read
Edit
Edit source
View history
More
Search
Navigation
Main page
Recent changes
Random page
Physikerwelt
Tools
What links here
Related changes
Special pages
Page information